《历算全书》·6

历算全书佚名 著

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乃顺甲丙直线进退闚乙至戊得

　　乙戊丙角为乙丙甲角之半又横

　　过至丁从丁闚丙至乙成一直线顺此直线进退闚甲至丁得甲丁丙角亦为丙角之半则丁戊即乙甲又法不必立表但任指一防为丙而于甲丙直线上任取己防乙丙直线上任取庚防作庚丙己三角形有己角庚角即知丙角末乃如上作丁戊两角为丙角之半即所求

　　论曰此因乙甲在斜面髙处而不能到故借用丁丙戊形测之以丁丙戊乙丙甲两形相等故也何则丙交角既等而乙丙甲外角原兼有丙乙戊乙戊丙两角之度戊角既分其半乙角亦半则两角等而乙丙戊丙两邉亦等矣凖此论之则甲丁丙角为丙外角之半者丁甲丙角亦必为丙外角之半而甲丙丁丙亦等矣两形之角既等各两邉又等则三邉俱等而戊丁即乙甲若甲乙两所在下而丁戊两测在上亦同

　　三角测斜坡第二术

　　斜坡测对山之斜髙

　　对山之斜髙如甲戊乙于对

　　山之斜坡测之如丙丁先量

　　得丙丁之距于丙安仪噐得

　　丙角二【一乙丙丁二戊丙丁】于丁安仪

　　噐得丁角四【一乙丁丙二乙丁戊三戊丁丙四乙丁甲】成各三角形

　　先用乙丙丁形【有丙角丁角及丁丙邉】测乙丁邉　次用戊丙丁形【有丙丁二角及丁丙邉】测丁戊邉　三用乙丁戊形【有乙丁戊丁二邉及丁角】测乙角及乙戊邉　四用乙丁甲形【有乙角丁角及乙丁邉】测乙甲邉乙甲内减乙戊得戊甲邉【乙戊甲为垂线之髙法同】

　　三角测斜坡第三术

　　测对坡之斜髙及其岩洞

　　从丙从丁测对面之斜坡戊甲及乙戊

　　一乙丙丁形【有丙丁两测之距丙角丁角】可求乙丁邉　二戊丙丁形

　　【有丙丁邉丁角丙角】可求丁戊丙戊二

　　邉　三乙丁戊形【有乙丁邉戊丁邉丁

　　角】可求乙戊邉为所测对山

　　上斜入之岩　四丙丁甲形【有丁角丙角丙丁邉】可求丙甲邉五甲丙戊形【有丙戊邉丙甲邉丙角】可求戊甲邉为所测对坡斜髙

　　或戊为髙处基址乙为房檐亦同

　　三角测深第一术

　　测井之深及濶

　　甲乙为井口之濶于甲作垂线至丁【或用砖石投之以识其处】从乙

　　测之得乙角成甲乙丁句股

　　形即以甲乙井口为句得甲

　　丁股为井之深　既得乙丙

　　深【即甲丁】即可用乙己戊形得

　　己戊为底濶法以半径当井

　　深【乙丙】以两乙角【一戊乙丙二己乙丙】之

　　切线并当井底之濶【己戊】若不知井口则立表于井口

　　如庚甲求庚甲二角成庚甲

　　丁形测之

　　三角测深第二术

　　登两山测谷深

　　先于二山取甲乙之平而得其距

　　数为横线即可用三角形求丙丁

　　垂线为谷之深与测髙同理【亦可用以】

　　【测髙也】法为甲乙两角之余切线并比半径若甲乙与丙丁论曰深与髙同理测深之法即测髙之法也存此数则以发其例有不尽者于测髙诸术详之可也

　　附隔水量田法

　　甲乙丙丁田在水中不可

　　得量于岸上戊庚两处用

　　仪噐测之得诸三角形算

　　得其邉【一甲乙二乙丙三丙丁四丁甲】次

　　求乙丁对角线分为两三

　　角形【一甲乙丁二丙乙丁】末用和较法求得分形之两垂线【一甲癸二壬丙】并两垂线而半之以乗乙丁即得田积

　　或用三较连乗法求三角形积并之亦同

　　凡有平面形在峭壁悬崖之上及屋上承尘可以仰观者并可以此法测之

　　解测量全义一卷十二题加减法

　　甲寅象限弧　甲乙半径全数

　　为首率

　　丙寅弧之正丙辛为一率

　　丁寅弧之正丁庚为三率

　　戊己为四率

　　二三相乗为实首率为法法除实得四此本法也今以加减得之则不用乗除

　　丙寅加丁寅【即辰丙】为辰寅总弧其余辰卯【即子癸】丙寅内减丁寅为丑寅【即丙丁】存弧其余癸丑以子癸减癸丑余子丑平分之于壬为壬子或壬丑即

　　四率【其壬子壬丑皆与戊己等】　此因总弧

　　不及象限故以两余相减

　　甲寅象限弧甲乙半径全数

　　为首率

　　丙寅弧之正丙辛为二率

　　丁寅弧之正丁庚为三率

　　戊己为四率

　　以上皆与前同

　　丙寅加丁寅【即辰丙】为辰寅总弧【此总弧大于象限】其余卯辰【即子癸】　丙寅内减丁寅【即丙丑】余丑寅为存弧其余丑癸

　　以子癸加丑癸为子丑半之于壬分为壬子及壬丑二线皆与戊己同即为四率如所求

　　此因总弧过象限故以两余相加

　　今订本书之譌

　　甲寅皆象限弧　甲乙半径

　　一○○○○○为首率

　　丙辛○五九九九五为二率

　　丁庚○二五○一○为三率

　　以三率法取之得○一五○

　　○四为四率

　　今用加减法

　　以丙辛线为正查其弧得丙寅三十六度五十二分亦以丁庚线为正查其弧得丁寅十四度二十九分以丙寅弧与丁寅弧相加得总弧辰寅五十一度二十一分其余○六二四五六如辰卯【即子癸】

　　又以丙寅弧与丁寅弧相减得存弧丑寅二十二度二十三分其余○九二四六六如丑癸

　　因总弧小于象限当以两余相减其较○三○○一○如子丑【于丑癸内减子癸得之】乃平分子丑于壬其数○一五○○五为壬丑或壬子皆与戊己同即为四率　此所得与三率所推但有微差而不相逺

　　按此以加减代乗除依其法宜如此今刻本相减相并讹为并而相减又于相并之弧讹为五十度二十分相减之存弧讹为二十二度二十四分故其正皆讹而所得之四率只一四三一与三率所推不合矣

　　又按以加减代乗除之法不过以明图法之妙其中又有此用耳若以入算终不如乗除之便何也设问毎多整数而正之数皆有畸零不能恰合一也先用设数求弧度必用中比例始得相合则于弧度亦有畸零二也弧度既有畸零则其查余又必用中比例三也两余有用加之时有用减之时易至于讹四也及其所得四率以较三率法之所得终有尾数之差五也盖论数学则宜造其防而施之于用则贵其简易若可以简易者而故引之繁重又何贵乎故曰不如乗除之便也观设例之时便有讹错如此则其不便于用亦可见矣又按此加减法即测量全义第七卷所言加减也其以总存两余相加减而半之者即初得数也然彼以两正相乗得之此以加减得之而省一乗矣实弧三角中大法而彼但举例而隠其图姑示其端于此而又不直言其即弧度之初得数此皆译书者秘惜之故耳向后二图发明所以然之故

　　甲寅象限弧　乙丙半径为首率

　　丙寅弧之正丙辛为次率

　　丙丑弧之正丑戊为三率【辰丙弧同丙丑其正辰戊亦同丑戊】得戊巳为四率【丑壬及壬子并同】

　　论曰戊巳辰【或丑壬戊亦同】句股形与

　　丙辛乙句股形相似故其比例

　　等法为乙丙与丙辛若丑戊与

　　丑壬也【或辰戊与戊巳亦同】

　　又论曰凡两十字垂线相交作

　　句股则其形俱相似如辰丑线即丙丑及丙辰之正与丙乙半径相交于戊防一十字也辰午线【辰寅弧之正也】丑癸线【丑寅弧之余】相交于子防一十字也此两十字相交而成诸句股形则俱相似矣故戊壬庚与丑壬戊相似而戊壬庚原与丙辛乙相似则丑壬戊与丙辛乙不得不为相似之形矣

　　解曰乙丙首率半径也丙辛正为次率其弧丙寅丑戊正为三率其弧丙丑丙丑既与丙辰同则以丙丑【三率之弧也】加丙寅【次率之弧】成辰寅总弧而辰卯则总弧之余也以丙丑【三率之弧】减丙寅【次率之弧】其余丑寅为存弧而丑癸则存弧之余两余相减其较为子丑【子癸同辰卯故以子癸减癸丑得较子丑】子丑折半于壬而壬丑与壬子皆同戊巳是为所求之四率也

　　如此以量法代算法的确不易但细数难分耳

　　若以酉丙为过象限之大弧丙丑为小弧则酉丑为总弧其正丑丁余丑癸【即丁乙】

　　酉辰为存弧其正辰午余辰卯【即子癸】算法略同但先所用者存弧之正小于总弧今则总弧正小于存弧正大则余小正小则余反大加减之用以小从大其理无二故其图可通用也

　　又按壬丑即初得数也两正相乗以半径除之者也乙亥即次得数也两余相乗以半径除之者也今改用加减则以两弧相并为总弧而相较之余为存弧存总两余相加减而半之成初得数省两正乗矣又以初得数去减余成次得数省两余乗矣

　　两余加减例

　　凡总存二弧俱在象限内或俱出象限外则两余相减　若存弧在象限内总弧在象限外则两余相加

　　初得数减余弧例

　　凡存弧之正小于总弧即用存弧之余在位以初得数减之余为次得数　若总弧之正小于存弧即用总弧之余在位以初得数减之余为次得数盖

　　小者余大其余内

　　皆兼有初得次得两数详

　　见环中黍尺

　　甲寅象限弧　乙丙半径

　　为首率

　　丙寅弧之正【丙辛】为次率

　　丙丑弧之正丑戊为三

　　率【辰丙弧同丙丑其正辰戊亦同丑戊】

　　求得戊巳为四率【丑壬壬子并同】

　　以上皆与前图同

　　论曰凖前论丙辛乙句股形与丑壬戊句股形相似法为乙丙与丙辛若丑戊与丑壬也【或辰戊与戊巳亦同】

　　解曰乙丙首率半径全数也丙辛正为次率其弧丙寅丑戊正为三率其弧丙丑而丙丑【三率】即丙辰以加丙寅【次率之弧】成辰寅总弧而辰卯亦总弧之余也以丙丑【三率之弧】减丙寅【次率之弧】其余丑寅为存弧而丑癸则亦存弧之余也两余相加成子丑【子癸同辰卯皆总弧余】子丑折半于壬而壬丑同壬子亦同戊巳则所求之四率也

　　厯算全书卷五十四

　　钦定四库全书

　　厯算全书卷五十五

　　宣城梅文鼎撰

　　解八线割圆之根

　　八线割圆説

　　天体至圆最中一防为心过心直线为径圆面诸圏为弧弧与径古用径一围三之比例【有宻术徽术各家不同】然终非弧度之真葢圆为曲线径为直线两者为异类亘古无相通之率夫日月星辰之道皆弧线也人目测视之线皆直线也苟非由直线以得曲线纵推算极精皆非确数于推歩测量诸用所关甚钜其可畧欤西儒几何等书别立数法求得弧与径相凖之率更以逐度之弧准逐度之线内用矢外用割切于是始则因弧而求线继则因线而知弧交互推求虽分秒之弧度尽得其准立法之善即首商髙复生无以易也苐割圆八线表虽乆传于世而立法之根未得専书剖晰大测中如十边五边形之理皆缺焉弗讲薛青州作正解亦仅依式推衍未能有所发明予于厯算生平癖嗜凡有奥义必欲直穷其所以然而后快窃思割圆八线乃厯算之本源岂可习焉不察因反覆抽绎耿耿于心者数年积思之乆乃得渐次防通遂着其图衍其算理之隠赜者明之法之缺畧者补之防而成帙以备好学者之采择云尔

　　立表之根有七

　　一大圆中止有径线初无边角可寻乃作者慿空结撰求得七弧之通而全割圆表即从此推出又絶无假借纽合之病割圆之巧孰有加于是焉

　　表根一　圆内作六等邉切形求得六十度之通法曰六十度之通与圈之半径等作表时命为十万亦曰全数

　　解曰如图辛为心作甲丙丁圈甲丁为全径辛丁为半径次取丁为心辛为界作戊庚辛圈与原圈相交于丙于戊次引长丁辛线至庚必平分丙戊弧于丁亦平分戊丙弧于辛【以丁为戊庚圈心故】次作辛丙丙丁丁戊戊辛四线成丁辛丙丁辛戊二形必皆三邉等三角形何则丁为

　　心辛为界则丁辛与丁丙皆

　　为戊庚圏之半径仍用辛丁

　　为度辛为心丁为界则辛丁

　　又为甲己圈之半径辛丙亦

　　同则辛丁丁丙辛丙三线俱等而辛丁丙为三邉等形丁辛丙三角俱自相等每角六十度夫辛角在心者也则丙丁弧为六十度丙丁即六十度之通与辛丁半径等矣丁戊辛形仿此

　　次以丙辛引至己戊辛引至乙其甲辛己乙辛甲交角俱与丙辛丁戊辛丁角等角等弧亦等即平分大圈为六分次作丙丁等六线相连成六等邉内切形等邉等角葢乙辛己丙辛戊两交角之弧既当六分圈之四则中间己戊乙丙二弧亦必各为六分圈之一故成六等邉形皆以半径为邉此天地自然之数也

　　表根二　圈内作四等邉切形求得九十度之通法曰半径上方形倍之开方得九十度之通

　　解曰圈内四等邉切形即内切

　　直角方形也　如图甲癸丁圏

　　庚为心作丁癸全径又作甲己

　　全径与丁癸十字相交为凑心

　　四直角即平分大圆为四分每分九十度次作甲癸己癸己丁甲丁四线相连成四邉等形其切圏之甲丁己癸四角俱为直角【以各角俱乗半圈故】所容之癸甲丁己为正方形甲癸等为九十度之通用甲庚癸直角形甲庚半径上方与庚癸半径上方并开方得甲癸句股求术也

　　巳上二根并仍厯书之旧

　　表根三　圈内作十等邉切形用理分中末线求得三十六度之通

　　法曰圏径上作理分中末线其大分为十邉等形之一邉即三十六度之通今欲明十邉形之理先解理分

　　中末线欲明理分中末线先解方形

　　及矩形

　　一解曰凡正方形内【如乙庚戊丙方】依一角

　　复作正方形【如丁庚方】以小方之各邉引长之如甲午辛壬即分元方戊庚为四分小方之各邉与大方之各邉俱两两平行其与小方丁庚相对之丁戊形亦必正方形左右所截之午壬甲辛二形必皆矩形而恒自相等一解曰任设一线如甲戊两平分之于乙又任引长之为戊庚【长短不论】其全线甲庚偕引长线戊庚【即子庚】矩内形

　　【甲子矩】及半元线甲乙【癸丑等】上

　　方形【癸辛方】并成子丑壬甲磬

　　折形此形与半元线【乙戊】偕引

　　长线乙庚上之乙丙方形等

　　何则乙庚上方乙丙与磬折形子丑壬甲共用乙子矩形今试以此两率各试去乙子矩形两所余为乙壬矩及丑丙矩夫此两矩形邉各相等【辛丙与乙辛等辛丑与壬辛亦等以壬丑为正方故】其幂亦必等则于乙子形加丑丙得乙丙方于乙子形加乙壬得子甲壬磬折形亦无不等矣　又己辛亦正方形以相对之己庚为正方故己辛方与壬丑方亦等以同在甲庚癸子两平行线内又甲乙乙戊相等故也分中末线

　　解理分中末线　明上二图可论理分中末线矣法曰如图任作甲戊线两平分于乙以甲戊线自之作戊卯方从乙平分处向丁作乙丁线次以甲戊引至庚令乙庚与乙丁等于乙庚上作乙丙方又取庚子与戊庚等作癸子线分戊丁于己则戊己为戊丁元线之大分己丁为小分戊己丁己戊丁三线成连比例戊丁与戊己若戊己与己丁而戊己为中

　　解曰依上二图之论甲庚线偕戊庚矩形及乙戊【即甲乙】上方形并与乙庚上方等今乙庚线既令与乙丁等则

　　乙丁上方亦与乙庚上方等是

　　甲庚偕戊庚矩形及乙戊上方

　　并与乙丁上方等而乙丁上方

　　与乙戊丁戊上两方之并等此

　　二率者共用乙戊上方试以此二率各减去乙戊上方则所存之戊卯方与甲子矩形必等矣夫戊卯方既与甲子矩等又共用甲己矩形试各减去甲己矩形则所存戊子方与卯巳矩形必等矣卯巳与戊子两矩形既等又以巳直角相连则两形之邉为互相似之比例癸己与巳子若戊己与己丁夫癸己即戊丁也则戊丁与戊己若戊己与己丁为连比例而戊己为中率戊己上方【二三率】与戊丁【一率】偕己丁【四率】矩形等戊丁全线为首率戊己大分为中率减戊丁【甲戊同】存己丁小分为末率葢理分中末线云者于一直线上作连比例之谓也求之法以所设甲戊半于乙为句甲戊为股【即戊丁】求乙丁即乙庚也减乙戊句存戊庚即戊己大分减戊丁元线存己丁小分

　　又甲戊引长线止于庚者欲令乙庚等乙丁也若不为连比例戊庚可任意引长之如前二图之论然理分中末线法实从二图之理推出其关键全在乙庚乙丁二线等也

　　解理分中末线大分为三十六度之通　观上诸论可明理分中末线之法然何以知其大分能为十等邉形之一边如图任作甲乙线用上法分之于内为理分中末线甲乙与甲丙若甲丙与丙乙甲丙其大分丙乙其小分次用甲乙全线为半径甲为心乙为界作圏又从乙作乙丁合圏线令与甲丙等末从圏心作甲丁线相连其甲乙甲丁两半径等即甲丙丁为两腰等三角形夫此三角形其腰间之甲乙丁甲丁乙二角必各倍大于底上甲角何则试从丙作丙丁线于甲丙丁角形外作甲丙丁外切圏其甲乙偕乙丙矩内直角形与甲丙上方形等【因连比例等】亦即与至规外之乙丁上方等而乙丁切小圏于丁为切线即乙丁切线偕丁丙线所作乙丁丙角与负丁甲丙圏分之甲角交互相等【见几何三巻三

　　十二】此二率者每加一丙丁

　　甲角即甲丁乙全角与丙

　　甲丁丙丁甲两角并等夫

　　乙丙丁外角与丁甲相对

　　之内两角并等即乙丙丁

　　角与甲丁乙全角等而与相等之甲乙丁亦等丙丁与乙丁两线亦等夫乙丁原与甲丙等即丙丁与丙甲亦等因丙甲丁丙丁甲两角亦等又甲角既与乙丁丙角等即乙丁丙甲丁丙两角亦相等是甲丁乙倍大于丙丁甲亦即倍大于相等之丙甲丁角也而甲乙邉与甲丁等则甲乙丁角亦倍大于甲角也

　　次解曰丙丁乙角何以知其与丙甲丁角交互相等试作未丁全径与乙丁为直角又作未丙线成未丙丁直角夫丙未丁丙丁未二角并与一直角等乙丁未亦一直角此二率者各减去未丁丙角所存丙丁乙丙未丁二角必等夫丙未丁负圏角也丙甲丁亦负圏角也同负丙丁弧则丙甲丁角与丙未丁角等夫未角与丙丁乙角等也今既与丙甲丁等则丙甲丁角亦必与丙丁乙角等

　　依上论显甲乙丁形之乙丁二角俱倍大于底上甲角形内之丙丁乙形与甲乙丁原形相似其丙乙二角亦倍大于乙丁丙角乙丁丙丁甲丙三线俱等夫甲丁乙形之甲乙丁三角并等两直角今乙丁二角既倍大于甲角是合乙甲丁角而为五分两直角矣则乙甲丁角该五分两直角之一为三十六度夫五分两直角之一与十分四直角【全周】之一等则乙甲丁角或乙丁弧即十分圏之一分乙甲丁甲又各为半径则乙丁即十等边形之一边夫乙丁与丙丁等丙丁与甲丙等则甲丙与乙丁亦等而甲丙即理分中末线之大分故圏径上作理分中末线其大分为三十六度之通

　　圏内作十等边切形法　先依上作甲丁乙两腰等三角形以甲乙甲丁各引至圏界为乙己丁戊其己戊弧与乙丁等次以戊乙弧半于庚作乙庚戊庚二线各半之于辛于壬又作癸丑子寅卯庚诸线俱过甲心各抵圏界即平分大圆为十分末作戊己等十线相连即所求十边形之理据厯书见几何十三卷九题而几何六卷巳后之书未经翻译不可得见考之他书未有发明其义者余特作此解之

　　表根四　圈内作五等邉内切形求得七十二度之通法曰六邉形上方形及十邉形上方形并开方得七十二度通

　　解内切五等邉形法　法曰甲乙丁圈于圈内作甲丙

　　丁两腰等乗圈角形令腰间丙丁

　　二角各倍大于甲角即甲角所乗

　　之丙丁弧为全圈五分之一何则

　　甲丙丁形之三角并等两直角今丙丁二角既各倍大于甲角则甲角为五分两直角之一又甲为乗圈角所乗之丙丁弧必更倍大于甲角之度为全圏五之一矣【七十二度】夫丙于二角又倍大于甲角则其所乗甲丙甲丁二弧亦必倍大于丙丁为全圈五分之二即作丙戊丁乙二线平分丙丁二角亦平分甲丁甲丙二弧分大圈为五平分丙丁线即五等邉之一末作丁戊等四线相连成五等邉内切形等邉等角　此系歴书原法新増作五等邉形法

　　甲庚壬平圆内作五邉等形法任作

　　切圆直线如子丑切平圆于甲乃以

　　切防甲为心任作半圈如子寅丑次

　　匀分半圆周为五平分如子辰等次

　　从半圆上取五平分之各防作直线至切防甲此直线必过半圆周【如甲辰线必过庚寅甲线必过戊余仿此】末于平圆内联各防作通即成五等邉形【庚甲乙甲本为通补作戊庚丁戊乙丁三线并与庚甲乙甲

　　等皆七十二度通也】

　　解曰卯甲寅负圈角正得丁心戊

　　分圆角之半卯甲寅既为十等面

　　凑心之角必三十六度也则丁心

　　戊角必七十二度而为五等邉角矣　或作半圆于外如下图亦同前论

　　解六邉十邉两方并等五邉上方形　法曰依前理分中末线法作己丁丁丙二邉为十分圏之一乙己乙丙甲乙三线俱为中末线之大分与十边形之一等乙丁

　　其小分次取己丁

　　弧之倍至丙作甲

　　丙线得己丙七十

　　二度为五分圏之

　　一【己丁丙为十分圏之二即五分

　　圏之一矣】作丙己线即

　　五等形之一边也

　　己甲丙为七十二度之角次取己为心己丁大分为界作丁未庚圏又以丙为心丙甲半径为界作子甲丑图两圏相交于辛末从丙心向交防【辛】作丙辛线从己心向交防【辛】作己辛线成丙己辛三角形此形辛为直角丙辛六边形之边【即子丙】为股己辛十边形之边【即己丁】为句己丙五边形之边为用句股术得己丙七十二度之通

　　解曰丙辛己形何以知辛防必为直角试观乙己丁乙丙丁俱为两腰等形又自相等合之成己乙丙丁四等

　　邉斜方形则丙己线必平分

　　乙丁小分于壬甲丁线因己

　　丙弧为己丁之倍亦平分丙

　　己于壬壬防为直角又形

　　内所分之乙壬己乙壬丙丁壬己丁壬丙四句股形俱自相等夫丙己邉上方形为壬己上方形之四倍【几何言全线上方形为半元线上方形之四倍】而壬己上方乃乙己上方减去乙壬上方之数【句求股】是以乙己上方四倍之【即己乙己丁丙丁丙乙四线上方之并】减去乙丁小分上方【乙丁上方为乙壬上方之四倍以乙壬为乙丁之半故也即乙壬等四小句方之并】所余即与丙己上方等矣而此四乙己方减乙丁上方之余又与全数上方及中末线大分之方并等【即十邉形之一】何则试观二图【即理分中末线图】甲丁为全数甲戊为全数上方丁乙为大分丁子为大分上方两方之并成甲壬子戊磬折形此形内容丁子大分方形之四则重一庚己小分之方【取丙丁与乙丁等则己丁壬乙俱为大分之方而庚壬矩与丁子方等甲壬矩又与庚壬矩等是共有大分上方形之四倍而庚己小方则重叠在内庚己乃辛己小分之方也】今试于磬折形内减去重叠之方【癸辛方】是即于四个大分方内减一小分上方亦犹之前图四乙己方内减去乙丁上方而所余必等矣夫此磬折形既与前四乙己方内减乙丁上方之余幂等而此余幂又与丙己上方等则此磬折形亦与五等边之一丙己上方等而磬折形乃甲戊丁子两方之并也甲戊方之根甲丁即前丙辛己形之丙辛边丁子方形之根丁己即前丙己辛形之己辛边今丙辛己辛上两方并既等于丙己上方是丙辛己为句股形而辛为直角矣丙辛半径股也己辛大分句也丙子弧六十度之边子丙即丙辛股己丁弧三十六度之边丁己即己辛句而丙辛己辛丙己三边适凑成句股形故厯书言六边上方并十边上方与五边上方等葢以此也

　　若作戊乙线成戊丁乙句股形与前丙辛己形等戊乙即五边形之一益可见辛之必为直角矣

　　求七十二度通法取迳甚竒大测止具算术未着其理【据云见几何十三卷十题】薛书及孔林宗説殊多牵附余此图与原算脗合乃知古人立法之简奥也因更推衍四法如下

　　如图午丁大圈依理分中末线法作十邉等内切形丁午等俱大分次从癸昴诸防【癸甲昴甲俱为大分】作癸昴昴壁等线俱为小分各连之则中末线之大小两分成内外两十邉等形俱各两两平行一切于周一切于径次任取

　　戊为心甲为界作圈

　　亦依上法用其大分

　　小分作内外两十邉

　　等形末作乙丙乙丑

　　等五线为五邉形之

　　各邉诸线交错得求

　　乙丙邉之法有五

　　一丁乙丙形有丁丙全径有丁卯全数及卯乙大分并为丁乙【丁乙与午戊必平行】乙为直角用股求句法得乙丙邉二乙丙寅形有乙寅小分为句有丙戊戌寅两大分并得丙寅为求得乙丙股

　　三乙甲丙形用其半甲壬丙形有甲丙全数有甲辛大分有辛壬为辛戊小分之半并为甲壬求壬丙勾倍之得丙乙邉

　　四乙壬戊形有乙戊大分为有壬戊小分之半为句求乙壬股倍之得乙丙邉

　　又形中两圈相交内有甲卯乙戊未为小五邉形其各邉即大分甲辰戊丙庚形同又有甲卯乙戊丙庚为小六邉形其各邉亦即大分又小五邉形与午丑乙丙氐大五邉形相似而体势等则其各邉俱成比例乙甲全数与甲卯大分若乙午与午丑则以甲卯与午乙相乗全数除之亦得五邉形之一其午乙线以乙亢午直角形用句求股术取之

　　表根五　圈内作三等邉内切形求得一百二十度通

　　半之为六十度正

　　法曰全径上方形内减六边形

　　上方形开方得一百二十度之

　　通

　　解曰甲为圏心甲乙为半径作圏次乙为心仍用乙甲为半径作弧与大圏相交于丁于戊其所截之丁乙戊弧即三分圏之一何则依前六边形之论丁乙戊乙二弧俱为六分圈之一今丁乙戊弧乃倍大于丁乙必三分圈之一矣【一百二十度】即作丁戊线为三等边形之边次以乙甲引至丙必平分丁丙戊大半圏于丙以丙乙为过心线既平分丁戊弧于乙亦必平分丁丙戊弧于丙也从丙作丙戊丙丁二线成丁丙戊三边等内切形求之用乙丁丙三角形丁为直角【以丁角乗丙戊乙半圏故】丁乙为六边形之一丙乙全径上方减去丁乙半径上方【丁乙即乙甲】余开方得丙丁边句求股术也

　　表根六　圏内作十五等边内切形求得二十四度之通

　　法曰三边等形与五邉等形之较即十五分圏之一可求二十四度通

　　解曰戊丙大圈丑为心作丙子全径取丙防为宗依前法作丙甲辛三邉等形又作丙戊乙己庚五边等形丙甲弧为三分圈之一【一百二十度】丙戊乙弧为五分圈之二【七十二度】相较得甲乙弧二十四度即十五分圈之一也其求甲乙之邉以五邉形之邉乙己半于癸三邉形之邉甲辛半于壬得乙癸与甲壬相减【丁壬即乙癸】存甲丁为股次作乙丑甲丑两半径成乙丑癸甲丑壬二直角形以

　　乙丑半径上方减乙癸半

　　上方余开方得癸丑邉又以

　　甲丑半径上方减甲壬半

　　上方余开方得丑壬邉次以

　　丑癸与丑壬相减得壬癸【即乙丁】为句末用甲丁乙直角形甲丁上方与丁乙上方并开方得甲乙为十五等邉内切形之边

　　又解曰甲乙弧何以知为十五分圏之一凡一圏内作三边等形又作五边等形以其边数三与五相乗得十五即知可为十五等边切形其两弧之较必有十五分圏之一如甲乙也余仿此推　此亦厯书原法

　　表根七　圈内作九等边内切形求得四十度之通【新増】求内切九等边形　法曰甲为圆心于圆内先作庚子辛三边等形【法见前】平分大圆为三分次用甲庚为度作

　　庚己线与庚辛为直角庚为

　　心己为界作己壬弧为全圏

　　六之一【六十度】次于己壬弧上

　　任取癸防向甲心作癸甲直

　　线与庚辛交于戊其自癸至戊之度令与甲乙半径等次癸为心戊为界作圏与大圏相交于丙于庚【庚防为己壬弧圏心又癸戊半径与庚己等必相交于庚】从癸又作癸庚癸丙二线得庚戊丙圈所割之庚乙丙弧必为庚辛弧三之二辛丙为三之一即全圏九分之一也末作丙辛线为内切九等形之邉依此作丙乙乙庚诸线成九等邉内切形等邉等角解曰癸戊线既等甲乙半径则两圈相交之庚戊丙庚乙丙两弧必等又癸甲线既过两心【甲大圆心癸庚戊丙圈心】试作庚丙通必平分通于丁亦平分庚丙弧于乙与丙庚弧于戊而庚乙与丙乙等庚戊与丙戊等又两弧【庚乙丙庚戊丙】共用庚丙通则丙戊与丙乙庚戊与庚乙亦各相等其丙戊丙乙庚戊庚乙四线亦等又癸丙癸戊癸庚三线俱即半径【癸为庚戊丙圈心故】则癸庚戊癸丙戊为两腰等三角形而两癸角又等【庚戊丙戊二弧等故】则两形之邉角俱自相等又丙戊辛形其戊辛二角亦等何则戊角之余为丙戊庚角而丙戊庚乃庚戊癸丙戊癸两角之并亦即癸丙戊癸戊丙两角之并【癸戊庚角与癸戊丙等因两形为等形亦与癸丙戊角等】是丙戊辛角必与戊癸丙角等其丙辛戊角乗庚丙弧则辛角必得庚丙之半与乙丙弧等亦与丙戊等是丙辛戊角亦与戊癸两角等而辛丙戊为两腰等形因得戊丙与辛丙两邉亦等夫丙戊边本与戊庚等则丑丙与戊庚亦等而丙戊即丙乙庚戊即庚乙是辛丙丙乙乙庚三线等也而辛丙丙乙乙庚三圈分亦等矣前庚乙辛弧乃全圈三之一今庚乙又为庚辛三之一即全圈九之一为四十度而庚乙即四十度通　按癸丙线必与庚甲平行其交己壬弧之丑防必居癸壬弧之中而壬丑丑癸癸己为三平分各得十二度

　　求九边形之边　法曰取十边形相较可得九分圏之

　　边如图乙辛戊圆甲为心取

　　辛丙弧为十边形之一【三十六度】戊乙弧为九邉形之一【四十度】辛丙为十邉形之邉乙戊为

　　九边形之边二线令平行则其较弧辛乙与丙戊相等【各二度】次作辛乙丙乙诸线成辛乙戊丙四邉形此形有丙辛边【前第五根所得】有辛乙边【一度正之倍用后法所得】先求丙乙线用丙辛乙钝角形作辛丁垂线以辛丙半之因乙辛得辛丁次以辛丁上方减辛乙上方开方得乙丁又以减辛丙上方开方得丁丙并之得乙丙线与辛戊等次以乙丙自乗方内减去辛乙自乗方余以辛丙除之得乙戍为九边形之边即四十度通也【上图之庚乙线】

　　解曰丙辛线既与戊乙平行则丙乙辛戊两线相等辛乙与丙戊亦等从辛从丙作辛己丙午二垂线所截戊乙线之戊午己乙为丙辛戊乙二线相较之半亦必等夫丙乙自乗得丙乙上方形辛乙自乗得丙戊上方形【辛乙与丙戊等故】而丙乙上方乃丙午乙午上两方之并丙戊上方又丙午戊午上两方之并则试于丙乙上方减去丙午上方所余为乙亥方丙戊上方减去丙午上方所余为午未方而午未方即己子方也今于丙乙上方形减丙戊上方形是减去丙午上一方又减去巳子一方【即戊午上方形】所余为午卯丑亥磬折形夫午乙与己戊二线相等则午丑与巳酉两方形亦等因得卯午矩与申酉矩等移卯午补申酉则丑未矩形与午卯丑亥磬折形等矣故以子丑除之【子丑即丙辛以卯亥为正方故】得子未边即乙戊四十度通也

　　按九边形法诸书所无然缺此则九十度之正不备壬寅秋客润州魏副宪官署时魏公鋭意厯学因作此图补之

　　附求一度之通【一度为全圆三百六十之一亦可名三百六十等邉内切形】法曰一度之通取相近之数用中比例法得之如图庚乙弧为一度先设甲庚一度三十分依前法【表根六及表法一】求其正甲癸○度○二六一七六八九又求其通得○度○二六一七九二半之得○度○一三

　　○八九六为己庚四十五

　　分弧正己辛也三分之

　　得己寅○度○○四三六

　　三三为十五分弧略大线

　　加己辛【即未丑】得壬丑○度○一七四五二八为一度弧略大之正次于甲癸线内减己辛【即戊癸】余戊甲亦三分之得丙戊○度○○四三六二四为十五分弧略小线加戊癸得丙癸○度○一七四五二即丁午也为丁庚一度略小弧之正夫大小两其差八数为壬亥半之得四壬申也【申亥同】加小减大得乙子○度○一七四五二四为乙庚一度之正若求其通用正与正矢为句股求之【此薛仪甫歴学防通法】

　　再细求一度正【系作枚法】

　　前四十五分弧之正○度○一三○八九六法以四十五分半之为廿二分三十秒求其正得六五四四九又半之为十一分十五秒求得正三二七二四五夫廿二分三十秒之弧倍于十一分十五秒而其亦倍则知二十分以内之弧正若平分数【纵有叅差非算所及】法以廿二分三十秒为一率正六五四四九为二率十五分为三率得四率十五分正○度○○四三六三二六次以十五分正与四十五分余○度九九九九一四三相乗得○度○○四三六二八八六○六八六为先数以十五分余○度九九九九九○四八与四十五分正○度○一三○八九六相乗得○度○一三○八九四七五三八为后数【相乗之理见表法六】两数相并得○度○一七四五二三六一四五为一度正与薛书略同但此法似宻

　　论曰弧与非平分数然一度以内弧相切曲直之分所差极微故可以中比例法求也

　　按上七根所求者皆各弧之通表中所列俱正葢论割圆必以通便算则惟正然正即通之半全与分之比例等其理一也

　　作表之法有七

　　用上根数于大圆中求七弧之通以为造端之始而各度之尚无从可得爰立六种公法或折半或加倍或相总或相较转辗推求以得象限内各度之正葢上诸法乃其体此则其用也二者相资表以成焉

　　表法一　有一弧之正求其余及半本弧之正与余

　　解曰如图甲为圈心乙丙戊弧为全圈四之一【九十】乙甲戊甲俱半径设有戊丁丙弧其正为丙庚即从丙作丙甲线成丙庚甲直角形法甲丙全数上方减丙庚正上方余开之得甲庚与丙辛等即丙戊弧之余也又用甲庚减甲戊半径得庚戊矢又作丙戊线成丙庚戊直角形法庚戊矢上方与丙庚上方并开方得丙戊为戊丁丙弧通半之得丙己或戊己即半本弧丙丁或丁戊之正又以丙甲己形【戊甲己形同】用句求股

　　术求己甲得半本弧之余【癸丙等】若

　　再以丙己丁己二边求丙丁半之

　　又得半丙丁弧之正余仿此逓求

　　之

　　论曰丙戊弧既平分于丁其丙戊

　　亦必平分于巳故半丙戊为半本弧

　　之正试作丁甲壬象限则丙己正己甲余尤了然矣

　　表法二　有一弧之正余求其倍本弧之正与余解曰甲丙象限内设有甲戊弧其正戊己余己乙今求倍甲戊之甲丁弧正丁癸与余癸乙法先作丁甲线为丁戊甲倍弧之通此线必为乙戊线平分

　　于壬则壬甲亦为甲戊弧正与

　　戊己等丁壬亦等夫壬甲既等戊

　　己则其余壬乙亦必等己乙法

　　用己戊乙庚壬乙两形乙戊全数

　　与戊巳正若乙壬余【即乙己】与壬庚而壬庚即辛癸倍之得丁癸为倍弧甲丁之正

　　论曰乙戊己乙壬甲两形相等戊乙等甲乙戊己等甲壬己乙等壬乙故壬乙得为余又乙戊己乙壬庚两形相似故第四率可求壬庚【即辛癸】而壬庚必为丁癸之半以丁癸甲直角形丁甲既平分于壬从壬作壬辛垂线亦必平分其股于辛也故倍癸辛得丁癸为倍弧甲戊丁正又壬庚线亦平分甲癸句于庚用甲壬庚形依句股术求甲庚倍之以减甲乙存癸乙或丁子即倍弧之余也

　　表法三　求象限内六十度左右距等弧之正解曰六十度左右距等弧之正与其前后弧两正之较等如图乙丙象限内设丙戊为六十度【不动】有丙己小弧【须在三十度以上】丙巳丁大弧其大弧与丙戊六十度之较戊丁令与丙己小弧与戊丙六十度之较戊己等其大小两弧正一为己辛一为丁庚相较为丁癸此丁癸与己壬丁壬等则丁癸为戊丁戊己距等弧之正壬甲为余

　　论曰试从巳向子作巳子线则丁巳子为三边等形何则形中壬子丁壬子己两形相等【丁子壬己子壬两角本等又同用壬子边则两形自等】而丁子壬角与乙甲戊角等【以丁庚与乙甲平行故】为三十度【乙甲戊为丙戊甲角六十度之余】则丁子巳角为丁子壬之倍必六十度又丁子壬巳子壬两角等则其余壬丁子壬巳子二角亦必各六十度而与丁子巳角等则丁子巳为

　　平边三角形夫丁子巳既为平边

　　三角形其巳癸垂线必平分丁子

　　于癸子壬垂线必平分丁巳于壬

　　两分之丁癸与丁壬必等而丁癸

　　乃己丙丁丙大小二弧两正【一巳辛一丁庚】之较

　　按此须先求得象限内六十率之正依上法可求左右三十率之正外此即不可用以六十度之余止三十度故也

　　表法四　任设两弧之正余求两弧并及较弧折半之正

　　解曰戊壬象限内任设不齐之两弧一置在上如戊丙

　　一置在下如丁壬中间所容丙丁

　　弧即戊丙丁壬两弧并之余今求

　　半丙丁弧丙乙【丁乙同】之正法作

　　丁壬弧正丁辛余丁癸戊丙

　　弧正丙壬【即癸己】余丙子又作丙丁线为较弧之通成丙己丁直角形次以丁壬弧正【丁辛巳子同】减戊丙弧余【丙子】得丙己为股丁壬弧余【丁癸】减戊丙弧正【癸己】得丁己为句句股求得丙丁邉半于庚得丙庚或庚丁为丙丁半弧丙乙之正

　　巳上俱系厯书原法

　　表法五　有一弧之正求倍本弧之矢因得余解曰设戊乙弧其正乙丁戊丙为戊乙弧之倍其正丙己正矢戊己丙戊为倍弧通半于辛其辛戊与乙

　　丁等法用戊丙己戊辛甲两直角

　　相似形【二形同用戊角故相似】甲戊与戊辛

　　若丙戊与戊己倍弧矢夫四率之

　　理二三相乗之矩内形与一四相

　　乗之矩等则丙戊乗辛戊即甲戊乗戊己而丙戊乗辛戊所得矩形为辛戊上方形之倍【戊辛自乗得辛庚方倍之为丙庚矩即丙戊与戊庚相乗之幂也戊庚即戊辛】而全数【甲戊也】又省一除故以乙丁正【即辛戊】自乗倍之退位即得戊己倍弧矢用减半径得倍弧余己甲若反之以戊己矢折半进位开方即得半本弧之正【丁乙】　此孔林宗术勿庵称为正简法余作此图以着其理

　　表法六　任设不齐之两弧求两弧相并之正及相较之正

　　解曰寅巳未圏甲为心寅巳为一象限设寅已弧内有己辛弧若干度为前弧又有己戊弧小于己辛为后弧戊子为后弧正子甲其余午辛为前弧正午甲

　　其余次取辛丑弧与己戊后

　　弧等则己戊丑为前后两弧之

　　并弧丑亥即并弧之正次作

　　丑壬线为丑辛弧正与戊子

　　等其余壬甲亦与子甲等辛壬亦与子巳等法用甲午辛甲壬丁二相似形以后弧之余壬甲因前弧之正辛午全数【甲辛】除之得壬丁为初数【卯亥等】寄位　次用甲辛午丑壬卯二相似形【甲辛午形之辛角与丑乙辛角等因丑壬乙为直角其丑壬卯角亦与丑乙壬角等则亦与甲辛午角等又二形之卯午俱为直角则两形相似】甲辛与甲午若丑壬与丑卯则以前弧之余甲午因后弧之

　　正丑壬全数【辛甲】除之得丑

　　卯为次数末以五卯与初数

　　卯亥相并得丑亥为已戊丑

　　两弧相并之正　若求两

　　弧相较之正法以后弧丑壬正引长之抵圈界于癸则丑癸为丑辛癸弧之通因壬防为直角其癸壬与丑壬必等因得丑辛癸辛两弧亦等夫丑辛弧原与戊巳后弧等则辛癸与戊己弧亦等即以辛癸减辛己前弧得癸己为两弧之较癸庚即较弧之正癸酉其余法用丑辰癸形此形内之癸申壬丑卯壬二直角形相等【丑癸辰句股形丑癸既平分于壬则从壬作壬卯壬申二垂线亦必平分丑辰句于卯癸辰股于申而癸申壬丑卯壬两形必等】因得壬申即丑卯次数【壬申等卯辰卯辰即丑卯】用以减初数壬丁存申丁即癸庚也为较弧癸巳之正亦与戊辛弧正等

　　若两弧相并在象限外如次图巳寅丑弧理亦同【钤记同前】有不齐之两弧求相并相较弧正又法

　　法曰两弧【小甲丙大甲戊】相并曰总弧【甲癸】相减曰多弧【戊丙】置大小两弧以大弧正【戊辛】因小弧较【子庚】曰先数【庚乙】以大弧较【辛庚】因小弧正【庚午】曰后数【午未】　视两弧在象限内者以后数【亥壬】减先数【亥丙也以午亥丙形与庚乙子形等故】为多弧正【壬丙】以后数卯丑加先数【丑已以庚巳丑形与庚乙子形等故】为总弧正【卯巳也以卯午巳形与庚酉癸形等故卯己即酉癸】若两弧过象限者加减各异

　　又或置大小两弧【同上】以

　　大弧正【戊辛】因小弧正

　　午庚曰先数【庚未】以大

　　弧较【庚辛】因小弧较

　　【庚子】曰后数【子乙】　视两弧在象限下以后数【午亥】加先数得多弧较【壬庚】以后数【庚丑】减先数【庚未】得总弧较【丑未即午卯亦即庚酉】若两弧象限内外不等加减亦异

　　此法详三角会编五卷梅勿庵先生环中黍尺亦着其法然彼所论者弧三角形此则平圆中求正也

　　表法七　圆内有五通错互成四不等边形求不知一弧之通

　　解曰甲为圆心戊庚为圆径戊丙丙丁丁庚俱为通成戊庚丁丙四不等形丁戊丙庚为对角线法丁戊偕丙庚相乗之矩形内减丁庚偕丙戊相乗之矩形余为戊庚与丙丁相乗之矩形葢丁庚丙戊相乗之矩与戊庚丁丙相乗之矩并与丁戊丙庚两对角线相乗之矩

　　等也若有丙戊丁庚戊庚丙

　　庚丁戊五通用此可得丙

　　丁弧之通

　　论曰庚戊丁形与庚丙丁形

　　其戊丙两角等【同乗丁庚弧故】若以

　　丙丁引至己作庚己丙直角形则庚戊丁庚己丙两直角形相似庚戊与戊丁若庚丙与丙己夫四率之理二三相乗矩形与一四相乗之矩等则庚丙与丁戊相乗所得即庚丙与丙己相乗之己壬矩也【取己癸与庚戊径等】次作丁辛线与己癸平行割圈于子其子庚弧与丙戊弧等何则戊丁庚为直角丙丁子亦为直角同用戊丁子角【子戊弧】则丙丁戊庚丁子两角必等其所乗之丙戊庚子两弧亦等矣因得庚子边即丙戊通又庚子丁角与庚戊丁角等【同乗丁庚弧故】于庚作庚乙垂线与己丙平行成子庚乙直角形与庚戊丁直角形相似戊庚与庚丁若子庚与庚乙依四率之理庚子【即丙戊】与丁庚相乗所得即庚戊与庚乙相乗之己辛矩也【丁辛即庚戊己丁即庚乙】用以减己壬矩形余丁壬矩形乃庚戊与丁丙相乗之幂故以庚戊除之得丁丙为丁丙弧之通

　　若戊丙丁庚非半圈【或大或小不论】则庚

　　戊为戊丙庚弧之通理亦同但

　　己壬为斜方形如上图戊丁庚为

　　小半圈成己壬斜方其庚乙线不

　　与丁己平行法作己庚乙角令与

　　丁己庚角等则腰间相对丁乙二角亦等因得庚乙丁己为等边而庚乙子钝角为丁乙庚之余与丁己庚角自等亦即与圆内戊丁庚角等而庚乙子庚戊丁为相似形庚乙即丁己

　　此上古多罗某法诸书未有能言其故者得余此图庶不昧古人精意　已上二法系余所增

　　用上七法交互推求可得象限内各度之正细推之又可每隔十五分【四分度之一】得一正十五分以下用中比例法以十五分正为实十五为法而一得一分之正逓加之得每度内各分之正立割圆表又此正算一象限巳足以适满一直角故也

　　求切线角线矢线

　　割圆正而外又有切割矢三线并正为四线合其余为八线葢以八线凖一弧弧之曲度得其真矣切线止切圈以一防全在圏外割线从圈心过规半在内半在外正与矢全在圈内如图甲为圈心庚丁为象限庚甲丁甲俱半径设有庚乙正弧即戊乙为正乙辛【戊甲同】为余次于圏外作庚己线与戊乙平行切圈于庚又从甲心过所截弧乙防作甲己线与庚己交于己成甲己庚直角形此己庚为乙庚弧正切线己甲其正割线也而甲己庚直角形与圆内戊甲乙形相似甲戊与戊乙若甲庚与庚己故以余除正半径因之得本弧正切又戊甲与甲乙若庚甲与甲己故以余除半径全数因之得本弧正割以戊甲余减甲庚半径得庚戊本正矢此皆庚乙弧相当之线也夫庚乙既为正弧则乙丁为余弧作乙辛线为余弧之作丙丁线切圏于丙为余弧之切甲乙引出之遇于丙甲丙为余弧之割成甲丙丁直角形与圆内甲乙辛形相似甲

　　辛与辛乙若甲丁与丁丙得

　　余切甲辛与甲乙若甲丁与

　　甲丙得余割乙戊【即甲辛】正

　　减甲丁半径得辛丁余矢此

　　又丁乙余弧相当之线也一正一余共有八线若或以丁乙为正弧即庚乙反为余弧其八线正余之名亦互易葢此为正彼自为余耳

　　论曰庚乙正弧之各线为甲庚己甲戊乙两句股形所成乙丁余弧之各线为甲丁丙甲辛乙两句股形所成而甲庚己形与甲丁丙形相似【一为顺句股一为倒句股】又圆内之乙甲辛甲戊乙二句股形俱自相似亦与甲丁丙甲庚己二形相似是庚乙弧相当之线成相似之直角形四设算可以用正亦可以用余是一弧而能兼用八线此八线表所由名也

　　按表中不列矢线者以矢线用正余减半径即得且不常用故省之　又按割圆之难全在求正若切割线俱以比例得之

　　附求割线省法【用加减算】

　　如乙己弧为二十度其切线乙戊求割线甲戊法先以余己丙七十度半于丁得丁己三十五度丁丙等次

　　以戊乙切线引长之令与戊甲

　　等作甲戊辛两腰等三角形而

　　乙庚弧必与丁丙等即查乙庚

　　弧之切乙辛并乙戊得戊辛即甲戊割也

　　解曰乙庚弧何以与丁己弧等葢甲辛戊既为两腰等三角形则甲角之己庚弧必为丙己余弧【己壬也】之半壬庚与己庚等而庚防居己壬弧之中夫丙己与己壬并等两直角则己庚弧之不满直角者必为丙己之半今丙己既半于丁则以丁己益己庚丁甲庚必为直角而乙甲丙亦直角也共用乙甲丁角【或丁乙弧】则丙己与乙庚等

　　求矢线　余减半径得正矢正减半径得余矢求切线　余除正半径因之得正切正除余半径因之得余切

　　求割线　余除半径半径因之得正割正除半径半径因之得余割

　　按圆内矢二线当正弧初度则无九十度极大即半径圈外切割二线切线当正弧初度亦无割线即半径至九十度俱极大且切与割平行不能相遇名曰无穷之度然至此亦无切割之可言矣惟将近九十度防有极大之切割线

　　定八线正余之界

　　庚戊丙半圆甲为心戊丙为象限设丙乙正弧在九十度内则乙壬为正壬丙为正矢甲丁为正割丙丁为

　　正切其戊乙余弧乙己为余己

　　戊为余矢甲辛为余割戊辛为余

　　切若设庚戊乙为正弧在九十度

　　外亦以乙壬为正丁丙为正切

　　甲丁为正割壬丙为正矢而庚壬亦为正矢又名大矢其余弧仍用戊乙【非乙丙】在庚戊象限之外乙己为余戊己为余矢戊辛为余切甲辛为余割葢乙壬正为丙乙庚乙两弧共用故总以戊乙为余弧也凡算三角形取用正余诸线以此为凖

　　厯算全书卷五十五

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>

　　钦定四库全书

　　歴算全书卷五十六

　　宣城梅文鼎撰

　　方圆幂积一卷

　　方圆幂积说

　　歴书周径率至二十位然其入算仍用古率【十一与十四之比例本祖冲之径七周二十二之宻率】岂非以乗除之际难用多位欤今以表列之取数殊易乃为之约法则径与周之比例即方圆二幂之比例【径一则方周四圆周三一四一五九二六五而径上方幂与员幂亦若四与三一四一五九二六五尾数八位并以表为用】亦即为立方立圆之比例【同径之立方与圆柱若四与二一四有竒则同径之立方与立员若六与三一四有竒】殊为简易直截癸未歳匡山隠者毛心易干干偕其壻中州谢野臣惠访山居共论周径之理因反覆推论方员相容相变诸率庚寅在吴门又得锡山友人杨昆生定三方员订注圗说益觉精明甚矣学问贵相长也

　　方圎相容

　　新法厯书曰割圆亦属古法盖人用圭表等测天天圎而圭表直与圎为异类讵能合欤此所以有割圎之法也新法名为八线表云

　　又云径一围三絶非相凖之率然径七围二十二则盈径五十围百五十七则朒或详绎之则径一万围三万一四五九虽亦小有竒零不尽然用之颇为相近今算得平方与同径之平圆其比例若四○○与三一四五九平方内容平员平员内复容平方则内方与外方内员与外员之幂皆加倍之比例

　　假如戊己庚辛平方内容甲乙丙丁

　　员员内又容甲乙丙丁小平方小方

　　内又容壬丑癸子小平员如此逓互

　　相容则其幂积皆如二与一也

　　假外大平方【戊己庚辛】之积一百则内小平方之积【甲丁乙丙】必五十平员亦然

　　若求其径则成方斜之比例大径如斜小径如方假如内小平方积一百以甲丁或丙乙为径【甲丙或丁乙并同】开方求一百之根得径一十其外大平方积二百以甲乙或丁丙为径【或用戊庚或己辛或己戊或辛庚为径并同】开方求二百之根得径一十四一四有竒

　　甲乙为甲丁方之斜故斜径自乗之幂与其方幂若二与一而其径与斜径若一十与一十四【一四竒】也折半则为五与七【○七竒】故曰方五则斜七有竒也

　　三邉形内容平员平员内又容三邉则其幂之比例为

　　四与一甲乙丙三邉形内容丁戊己

　　平员平员内又容丁戊己小三邉则

　　内小三邉形为外大三邉形四之一

　　内外两平员之幂其比例亦为四与一

　　若有多层皆以此比例逓加

　　浑员内容立方立方内又容浑员如此逓互相容则外员径上幂与内员径上幂为三倍之比例外立方与内立方之径幂亦然丙庚丁浑员内容丙甲丁乙立方丙戊及戊甲皆立方边【丙辛及甲辛并同丙乙及甲丁等亦同】丙戊甲辛为立方面【余六面并同】丙甲【为方面斜线】丙丁【为立方体内对角线】即浑员径【乙甲同其辛壬及己戊皆亦对角若作线亦同】丙乙及甲丁等又皆为立楞【戊壬及辛己同】解曰立方面上斜径之幂为方幂之倍【句股法也

　　斜为方为句又为股并句股实成实故倍方幂即成斜径之幂】又以斜径

　　为股立方之立楞为句求得立方体内両对

　　角之斜径为此实内有股实【即面上斜径之幂为

　　方幂者二】有句实【即立楞之幂立楞原即方邉故其幂即立方面幂】共得方

　　幂三而此丙对角斜径即浑员之径内小员径又在立方体内即以方径为径其径之幂即立方面也故曰三倍比例也立方内又容立员则内员径即立方之径

　　若求其径则外径大于内径若一十七有竒与一十内径之幂百开方得一十为径则外径之幂三百开方得一十七【又三十五之一十一】为径若有几层互容皆以此比例逓加卽得若求其体积则为五倍有竒之比例【若有多层亦以此比例逓加】假如内容立方积一千则外大立方积五千一百九十四有竒解曰立积一千则其径幂一百而外大立积之径幂三百又以径一十七【又三十五之一十一】乗之得五千一百九十四【又七之二】　此言大方积又在圗上浑员之外

　　积之比例

　　立方同径之立员其比例为六○○与三一四

　　立方同径之员柱其比例为四○○与三一四

　　员柱与同径之立员其比例为三与二

　　方圎周径相求

　　同积较径　为方变员员变方之用

　　凡方圎同积则员径大方径小其比例若一一二八三七九与一○○○○○○

　　解曰员径一一二八三七九则方径一○○○○○○也法曰有员径求其同积之方径当以一○○○○○○乗以一一二八三七九除

　　有方径求其同积之员径当以一一二八三七九乗以一○○○○○○除

　　凡方员同积则员径上平方与方径上平方其比例若四○○○○○○○○与三一四一五九二六五解曰员径自乗四○○○○○○○○则方径自乗三一四一五九二六五

　　法曰有员径求其同积之方径当以三一四一五九二六五乗之四○○○○○○○○除之得数平方开之得方径

　　有方径求其同积之员径当以四○○○○○○○○乗三一四一五九二六五除得数平方开之得员径凡方员同积则员径与方径若一○○○○○○与○八八六二二六

　　解曰员径一○○○○○○则方径八八六二二六也法曰有员径求同积之方径以八八六二二六乗员径一○○○○○○除之即得方径

　　有方径求同积之员径以一○○○○○○乗方径八八六二二六除之即得员径

　　约法

　　以一一二八二七九乗方径去末六位得同积之员径以○八八六二二六乗员径去末六位得同积之方径同积较周

　　凡方员同积则员周小方周大其比例若一○○○○○○与一一二八三七九亦若八八六二二六与一○○○○○○

　　解曰员周一○○○○○○则方周一一二八三七九也

　　方周一○○○○○○则员周八八六二二六也约法

　　以一一二八三七九乗员周去末六位得同积之方周以○八八六二二六乗方周去末六位得同积之员周凡方员同积则其径与径周与周为互相视之比例解曰方周与员周之比例若员径与方径也

　　论曰凡同积之周方大而员小同积之径则又方小而员大所以能互相为比例

　　约法

　　以方周乗方径为实员周除之得员径若以员径除实亦得员周

　　以员周乗员径为实方周除之得方径若以方径除实亦得方周　皆用异乗同除例如左

　　一　员周一○○○○○○　　一　方周一○○○○○○二　方周一一二八三七九　　二　员周○八八六二二六三　方径○二八二○九四【七五】　三　员径○二八二○九四【七五】四　员径○三一八三○九【八八】　四　方径○二五○○○○积七九五七七【四四八　　　○○○○○○】　　积六二五○○○○○○○○

　　一　员径一○○○○○○　　　一　方径一○○○○○○二　方径○八八六二二六　　　二　员径一一二八三七九三　方周三五四四九○四　　　三　员周三五四四九○四四　员周三一四一五九二　　　四　方周四○○○○○○积七八五三九【八一六　　　○○○○○○】　　积一○○○○○○○○○○○○

　　第四率并与一率乗得四倍积四除之得本积

　　论曰以上皆方员周径互相求乃同积之比例方员交变用之即比例规变面线之理

　　同径较积较周　即方内容员员外切方

　　凡方员同径则方积大员积小周亦如之其比例若四○○○○○○○○与三一四一五九二六五

　　方径一○○○○周四○○○○　积一○○○○○○○○员径一○○○○周三一四一五竒积○七八五三九八一六方径二○○○○周四○○○○　积四○○○○○○○○员径二○○○○周六二八三一竒积三一四一五九二六五凡径倍者周亦倍而其积为倍数之自乗亦谓之再加比例授时厯谓之平差

　　径二倍周亦二倍而其积则四倍径三倍周亦三倍而其积九倍乃至径十倍周亦十倍而积百倍径百倍周亦百倍而积万倍皆所加倍数之自乗数亦若平方谓之再加也

　　同周较积较径

　　凡方员同周则员积大方积小径亦如之其比例若四○○○○○○○○与三一四一五九二六五

　　方周一○○○○○○径○二五○○○○积六二五○○○○○○○○员周一○○○○○○径○三一八三○九八八积七九五七七四七○○○○方周四○○○○○○径一○○○○○○积一○○○○○○○○○○○○员周四○○○○○○径一二七三二三九五四积一二七三二三九五四○○○○论曰周四则径与积同数但其位皆陞皆视周数之位今用百万为周则积陞六位成万亿矣故虽同而实不同不惟不同而且悬絶定位之法所以当明也

　　问位既大陞而数不变何耶曰周径相乗得积之四倍于是四除其积即得所求平积此平幂之公法也兹方员之周既为四则以乗其径而复四除之即还本数矣惟周数之四或十或百或千万亿无定而除法之四定为单数故无改数而有进位也

　　又论曰周四倍之径与周一之径为四倍其积则十六倍所谓再加之比例

　　浑圎内容立方径一万寸求圎径　法以方斜一万四千一百四十二寸为股自乗得二亿为股实以方径一万寸为句自乗得一亿为勾实并勾股实为三亿为实开方得一万七千三百二十○半寸命为浑圎之径

　　又以浑圎径求围得五万四千四百十四寸弱　周径相乗得九亿四千二百四十七万六九九四寸为浑幂以四除浑幂得二亿三千五百六十一万九千二百四十八寸竒为大平圎幂即立方一万寸外切浑圎之腰围平幂也

　　圎柱积四万○千八百十○亿四三一八四九八四寸以浑圎径乗平圎幂得之

　　倍圎柱积以三除之得浑圎积二万七千二百○六九五四五六六五六寸

　　约法　立方径一千尺其积一十尺　外切之浑圎径一十七尺三二○五　浑圎积二千七百二十○尺六九五四　约为二千七百二十一尺弱

　　试再用径上立方求浑圎积法【即立方内求所容浑圎】以浑圎径自乗再乗得浑圎径上立方以圎率【三一四竒】乗之得数六除之得浑积并同

　　立方与员柱若四○○与三一四竒【同径之员柱也】

　　立方为六方角所成员柱为六员角所成其所容角体并六而方与员异故其比例如同径之周　此条为积之比例

　　员周上自乗之方与浑员面幂若三一四竒与一○○浑员面幂与员径上平方形亦若三一四竒与一○○皆员周与径之比例

　　浑员面幂与员径上平员若四与一

　　员柱面幂与员径上平员若六与一【六员角之底皆外向合成此数】平员并为一而员柱幂为其六倍浑员幂为其四倍浑员为员柱三之二即此可徴积之比例如其面也以上四条并面幂之比例浑员体与员角体若四与一浑员面既为平员之四倍从面至心皆成角体故体之比例亦四倍

　　立方面与径上平方若六与一【六面故也】

　　立方体与浑员体若六○○与三一四竒

　　浑员面与径上平方既若三一四竒与一○○而立方面与径上平方若六与一平方同为一○○而立方面为其六倍浑员面为其三倍一四竒故立方之面与浑员之面亦若六○○与三一四竒也而体之比例同面故亦为六○○与三一四竒

　　立员得员柱三之二

　　论曰凡员柱之面及底皆立员径

　　上平员也旁周似员筩亦如截竹

　　周围并以员径为髙即员径乗员

　　周幂也为径上平员之四倍与浑

　　员面幂同积【半径乗半周得平员则全径乗全周必平员之四倍】合面与底共得平员之六倍而浑员面幂原系平员之四倍是员柱幂六而浑员幂四也而体积之比例凖此可知亦必为三之二矣【三之二即六之四之半】

　　问体积之比例何以得如面幂曰试于员柱心作员角

　　体至面至底成员角体二皆以半

　　径为髙平员为底其余则外如截

　　竹而内则上下并成虚员角于是

　　纵剖其一邉而令员筩伸直以其

　　幂为底以半径为髙成长方锥【底濶

　　如全径直如员周髙如半径锥只一防】此体即同四

　　员角【或纵剖为四方锥亦同皆以周四分之一为底濶以全径

　　为底长以半径为髙其体并同员角何也以周四之一乗全径与半

　　径乗半周同故方底同员底而其髙又同则方角同员角】合面

　　底二员用共六员角矣而浑员体

　　原同四员角【浑员面为底半径为髙作员锥即同四员

　　角】是员柱浑员二体之比例亦三

　　与二也

　　员角体得员柱三之一　凡角体并同

　　凖前论员柱有六员角试从中腰平截为两则有三员角而员筩体原当四员角今截其半仍为二员角或面或底原系一员角合之成三员角以为一扁员柱然则员角非员柱三之一乎

　　若立方形各从方楞切至心则成六方角【皆以方面为底半径为髙】从半径平切之为扁立方则四周之四方角皆得一半成两方角而或底或面原有一方角亦是三方角合成一扁立方而方角体亦三之一矣

　　浑员体分为四则所分角体各所乗之浑幂皆与员径上平员幂等

　　甲戊丙丁浑员体　从丑乙辰乙癸乙子乙卯乙寅乙等各半径各自其浑幂透至乙心而以半径旋行而割切之则成上下两员角体一甲卯辰丑乙【以甲丑卯辰割浑员之面为底乙为其锐此割员曲径自丑而甲而辰居员周三之一】一丙癸寅子乙【以子丙寅癸浑员之割面为底乙为其锐此割员曲径亦

　　三之一如三百六十之一百二十】此上下两角体

　　相等皆居全浑体四之一中腰成

　　鼓形而上下两面并穵空各成虚

　　员角【其外则周遭皆凸面如丑戊子及辰丁癸之割员状此割

　　员曲径自辰而丁而癸居员周六之一为三百六十之六十】

　　此鼓形体倍大于上下两角体居浑员全体之半若从戊乙丁腰横截之为二则一如仰盂一如覆碗而其体亦浑员四之一也

　　如此四分浑体而其割员之面幂即各与员径上之平员幂等故曰浑员面幂与径上平员若四与一也问何以知中腰鼓体能倍大于上下两角体曰试于子丙乙癸角体从子寅癸横切之则成子未癸午小员面

　　为所切乙子寅癸小员角体之底

　　乃子寅小半径乗子未癸小半周

　　所成也然则以子寅小半径乗子

　　未癸小半周又以乙寅半半径为

　　髙乗之而取其三之一即小角体矣

　　试又于中腰鼓体从丑子及卯寅

　　及辰癸诸立线周遭直切之脱去

　　其外鼓凸形即成员柱体之外周

　　截竹形又从酉乙申横切之为两

　　【一仰盂一覆碗】则此覆碗体举一式为例

　　可直切断而伸之亦可成方角体

　　此体以乙寅半半径乗子未癸午

　　小员全周为底【其形长方】又以小半径

　　子寅【子寅即乙申】为髙而乗之取三之

　　一为长方角体此长方角体必倍

　　大于小员角体何也两法并以小

　　半径及半半径两次连乗取三之

　　一成角体而所乗者一为小员全

　　周一为小员半周故倍大无疑

　　也

　　又丙癸寅子亦可成角体与乙子

　　寅癸等覆碗体既倍大则兼此两

　　角体矣

　　凖此而论仰盂体必能兼甲丑卯辰及乙辰卯丑两角体亦无疑也

　　又角体内既切去一小角体又穵

　　去一相同之小角体则所余者为

　　丙癸寅子员底仰盂体

　　鼓体内既穵去如截竹之体则所

　　余者为内平【如丑子及辰癸】外凸【如子戊丑及辰

　　丁癸】之空圈体而此体必倍大于员

　　底仰盂体何以知之盖两体并以

　　半径为平面【丑子与癸丙并同】并以员周

　　六之一为凸面而腰鼓之平面以

　　半径循员周行员底仰盂之平面则以半径自心旋转周行者两头全用旋转者在心之一头不动而只用一头则只得其半矣故决其为倍大也

　　凖此而甲丑卯辰亦为穵空之员覆碗体而只得鼓体之半矣由是言之则上下角体各得中腰鼓体之半而鼓体倍大于角形浑体平分为四夫复何疑

　　曰浑体四分如此真无纎芥之疑体既均分为四则其浑体外幂亦匀分为四亦无可复疑但何以知此所分四分之一必与径上平员相等耶曰此易明也凡割浑员一分而求其幂法皆从其所切平面员心作立线至凸面心而以其髙为股员面心至邉之半径为勾勾股求其斜用为半径以作平员即与所割圎体之凸面等幂假如前圗所论上下两角体从丑夘辰横线切之则以甲夘为股夘丑为句求得甲丑与半径同以作平员与丑夘辰甲凸面等然则此角体之凸面岂不与径上平员等幂乎

　　甲亢半径与甲丑同以作丑

　　亢平员与甲丑夘辰凸面等

　　幂

　　试又作甲戊线为半径之斜线【甲乙与戊乙皆半径为句为股故也】以为半径而作平员必倍大于半径所作之平员而浑员半幂与之等则浑员半幂不又为平员之倍乎

　　【如图甲丑为半径作乙庚房平员与丙戊甲平员等亦与甲辰夘丑

　　割员凸面等为浑幂四之一也】

　　【甲戊为半径作戊心亥平员与甲丁乙戊半浑幂等而倍大于乙庚

　　房亦倍大于丙戊甲平员则平员居浑幂四之一】

　　如是宛转相求无不脗合则平员为浑员幂四之一信矣取浑幂四之一法

　　当以半径为通以一端抵圎径之端为心旋而防之则所割浑幂为四之一而其浑幂与圎径上平员幂等

　　甲辰【即丁乙】之自幂一百辰夘之自

　　乗幂【七十五】如四与三则辰丑通

　　为径以作平员亦丁戊全径上平

　　员四分之三也大小两平员各为

　　底以半径为髙而作员角体其比

　　例亦四与三也

　　今浑员径上平员【即下戊径上平员】所作之员角体既为浑积四之一则辰丑通径所作之员角体即浑体十六之三矣【即甲丑夘辰角体及乙丑夘辰角体之合】若以丑辰通上平员为底半半径为髙而作角体即浑体三十二之三

　　分浑体为四又法

　　甲乙丙浑员体　从员周分为三【一丑甲辰一辰癸丙一丙子丑各得周三之一】又从辰从丙从丑依各半径【辰乙丙乙丑乙皆是】至乙心旋而

　　切之则成三角体者三各得浑体

　　四之一【一辰甲丑乙一丑子丙乙一丙癸辰乙说见前】则

　　其所余亦浑体四之一也【此余形有三平

　　员面以辰丑丑丙辰丙为员径而并穵空至乙心如员锥之幂有两】

　　【凸面以辰丑丑丙辰丙之员周为界以乙为顶皆弧三角形三角并锐】两凸面各得浑员幂八之一按辰丑即一百二十度通也凖前论以此通为圎径作平员为底半半径为髙而成员角体此员角体积即为浑员体积三十二分之三【即先所论员角体八之三】

　　若依此切浑员体成半平半凸之体其积为浑积三十二之五【即员角体八之五】

　　环堵形面幂　锥形面幂

　　有正方正员面欲于周作立围之堵墙而幂积与之倍法于方面取半径为髙即得

　　甲乙丙平方于其周作立起之

　　方围形如环堵取平方乙丙半

　　径为髙则方围面幂倍大于平方

　　论曰从平方心乙对角分平方为四成四三角形并以方根为底半径为髙于是以此四三角形立起令乙锐上指则皆以乙丙半径为髙而各面皆半幂故求平方以半径乗周得幂也然则依方周作方墙而以半径为髙岂不倍大于平方幂乎

　　凖此论之凡六等邉八等邉以至六十四等邉虽至多邉之面而从其各周作墙各以其半径为髙则其幂皆倍于各平幂矣然则平员者多邉之极也若于其周作立圈如环而以其半径为髙则环形幂积亦必倍大于平员有方锥员锥于其周作围墙而幂积与之倍

　　法于锥形之各斜面取其至锐之中线【如乙丙】以为环墙之髙即得

　　方墙如环堵底用方周髙如乙

　　丙即斜面自锐至底之斜立中

　　线

　　解曰此以锥体之斜面较幂也

　　论曰凡方锥皆有棱两棱交于锐各成三角面而斜立从此斜立之三角面自锐至根濶处平分之得中线【乙丙】于是自棱剖之成四三角面而植之则中线直指天顶而各面皆圭形为半幂故凡锥体亦可以中线乗半周得幂也然则于底周作方墙而以中线为髙四面补成全幂岂不倍大乎

　　凖此论之凡五棱六棱以上至多棱多面之锥体尽然矣而员锥者多棱多面之极也则以其斜立线为髙而自其根作员环则其员环之幂亦必倍大于员锥之幂前条所论切浑员之算得此益明盖员仰盂员覆碗及穵空之鼓形其体皆一凸面一平面相合而成其凸面弧径皆割浑员圈六之一其平面之濶皆半径然而不同者其内面穵空之平幂一为锥形【仰盂覆碗之内空如笠】一为环形也【鼓体之内空如截竹】准前论穵空之环幂必倍大于锥形之幂则其所负之割浑员体亦必环形所负倍大于锥形而穵空之鼓体必能兼员覆碗员仰盂之二体

　　撱圎算法【订厯书之误】

　　偶查撱圎求体法见其截小分之法有误今以数考之假如撱圎形长径为一千四百尺短径七百尺大分截长径一千○五十尺

　　甲己三百五十戊乙七百相并得

　　一千○五十　以此乗

　　己乙一千○五十尺　以此除

　　两数相同

　　右依厯书先求得庚壬甲圎角形为苐三率再用截大分轴己乙为法为苐一率以截小分轴甲己并戊乙半长径为苐二率求得小分之容与圎角形等夫小分之容形外为弧线圎角之容形外为直线小分必大于圎角而今等是不合也况自此而截小分渐小则乙己大分轴反大于甲己小轴及戊乙并之数而求小分之容反将更小于圎角矣有是理哉【小分渐小如辛癸甲则其甲己小于己戊而己乙者己戊与戊乙并也则其数亦大于甲己与戊乙并矣】

　　又如截大分长七百二十分己乙

　　为其轴甲己为其小分轴六百八

　　十分

　　依厯书法甲己小分轴【六百八十】为一率甲乙长径【一千四百】并戊乙短径【七百】共【二十一百】为二率求到庚壬乙圎角体为三率则所得四率为大分之容者比圎角容大三倍有竒亦恐无是理也何也圎角在圎柱形为三分之一而撱形必小于柱形不宜有三倍之比例也【虽壬庚畧小于丙丁在中腰相近可以不论】今试求之【用苐一圗】依勿庵改法

　　假如截己乙大分轴一千○五十尺求庚己壬平圎面法先求庚己　依勿庵补法以己戊【三百五十尺】自乗【一十二万二千五百尺】与甲戊【七百尺】自乗【四十九万尺】相减余【三十六万七千五百尺】开方得己庚相当之原数　再以丙戊【三百五十尺】乗之甲戊【七百尺】除之为己庚实数倍之为庚壬线

　　再以壬庚线上方变为平员今用简法【因长径甲乙与短径丙丁原是折半之比例故也】竟以减余【三十六万七千五百尺】命为庚壬线上方以十一乗之得【四百○四万二千五百尺】又以十四除之得【二十八万八千七百五十尺】为庚壬线上所截撱体之平圎面

　　法以平圎面各乗其【大分小分】之轴【一千○五十尺三百五十尺】皆成圎柱形乃三除之为【大小】分内所容之【大小】圎角形

　　再以长径【一千四百尺】乗大圎角为实小轴【三百五十尺】除之为所截撱形之大分

　　以长径【一千四百尺】乗小圎角为实大轴【一千○五十尺】除之为所截撱形之小分

　　今用简法　置平圎面三除之得【九万六千二百五十尺】以小分轴【三百五十】乗之得庚甲壬小圎角形【三千三百六十八万七千五百尺】置小圎角四因三除之得【四千四百九十一万六千六百六十六又三之二】为所截小圎分

　　又置圎面三除之积【九六二五○】以大分轴【一千○五十尺】乗之得庚子乙大圎角形【一亿○一百○六万二千五百尺】

　　置圎角形【一○一○六二五○○】用四因之得【四亿○四百二十五万尺】为所截大圎分

　　小圎分大圎分两形并之【共四亿四千九百一十六万六六六六】为撱形全积

　　另求撱形全积

　　置短径【七百】自乗得【四十九万】以长径【一千四百】乗之得【六亿八千六百万】以十一因之二十一除之得【三亿五千九百三十三万三三三】为真撱圎全积

　　以真撱圎积与两截形并相较其差为九十分之一而弱

　　若用厯书法　求得截小分【二千三百六十八万七千五百尺】与小圎角同

　　截大分【六亿○六百三十七万五千】为大圎角之六倍

　　相并得【六亿四千○○六万二千五百尺】为撱圎全积　与撱圎真积相较其差更甚

　　如是辗转推求则知撱体大截分不可算今别立法凡撱体皆先如法求其全积再如法求其小分截积以小分截积减全积余为大分截积此法无可存

　　厯算全书卷五十六

　　几何补编自序

　　天学初函内有几何原本六卷止于测面其七卷以后未经译出葢利氏既歾徐李云亡遂无有任此者耳然厯书中往往有杂引之处读者或未之详也壬申春月偶见馆童屈为灯诧其为有法之形【其制以六圈成一灯每圈匀为六折并周天六十度之通故知其为有法之形而可以求其比例然测量诸书皆未言及】乃覆取测量全义量体诸率实攷其作法根源【法皆自楞剖至心即皆成锥体以求其分积则总积可知】以补原书之未备而原书二十等面体之算向固疑其有误者今乃徴其实数【测量全义设二十等面体之边一百则其容积五十二万三八○九今以法求之得容积二百一十八万一八二八相差四倍】又几何原本理分中末线亦得其用法【几何原本理分中末线但有求作之法而莫知所用今依法求得十二等面及二十等面之体积因得其各体中棱线及辏心对角诸线之比例乂两体互相容及两体与立方立圆诸体相容各比例并以理分中末线为法乃知此线原非徒设】则西人之术固了不异人意也爰命之曰几何补编

　　钦定四库全书

　　厯算全书卷五十七

　　宣城梅文鼎撰

　　防何补编卷一

　　四等面形算法

　　先算平三角形平三角形

　　三边同者求中得中长线

　　【乙甲】其三之一即内容平圆

　　半径【心甲】其三之二即外切

　　圆之半径【乙心或心丙】

　　又法以边半之【丙甲】自乘得数【丙庚方】取其三之一开方【甲壬小方】得容圆之半径【壬癸或甲癸俱与心甲等】又取自乘数【丙庚方】三分加一【丙庚方加壬甲小方】并而开方得外切圆之半径【丙心】

　　论曰三边角等则半边之角六十度【丙心甲角】其余角三十度【心丙甲角】内容圆半径为三十度之正【心甲】外切圆半径如全数【丙心】其比例为一与二故内容圆半径【心甲】正得外切圆半径【丙心】之半也【此论可解前一条】

　　形内丙心甲与乙心丁两小句股形相等又并与乙甲丙大句股形相似【何则乙角丙角并分原等角之半丁甲等为正角则三角皆等而边之比例等】而大形之句【丙甲】旣为其【乙丙】之半则小形之句【心丁亦即心甲】自必各为其【心乙亦即心丙】之半故知心甲【原同心丁】为乙甲之半也

　　心甲旣为心丙之半则心甲一心丙必二而丙戊必三矣【乙甲同】何也以乙心与丙心同为二心甲与心戊同为一也联心乙二与心甲一岂不成三

　　今以内圆半径为股【心甲】外圆半径为【心丙】三边之半为句【丙甲】成心甲丙句股形则心丙自乘内【幂】有心甲【股幂】及甲丙【句幂】两自乘之积也而心甲股与心丙旣为一与二之比例则心甲之幂一心丙之幂必四也以心甲股幂一减心丙幂四其余积三即丙甲句幂矣故心甲之幂一则丙甲之幂三心丙之幂四今先得边故以丙甲三为主而取其三之一为心甲股幂又于丙甲三加三之一为四即成心丙幂也【此论可解后一条】

　　以上俱明三等边平面之比例

　　今作四面等体求其心

　　法自乙顶向子向甲剖切之成乙子甲三角面

　　心者面之心中者体之心

　　前图所谓心者面之心也今

　　所求者体之心即后图所谓

　　中也故必以剖而后见

　　次求甲丑线

　　乙子边平分于丑从丑向甲

　　得垂线此丑甲垂线在体中

　　必小于乙甲在外之垂线故

　　乙甲如丑甲如股乙丑如句也法以甲乙自乘内减乙丑句幂余为股幂开方得丑甲

　　又法凖前论乙丑之幂三【即丙甲皆半边故】则乙甲之幂九【乙甲三倍大于心甲故心甲幂一则乙甲幂九】以三减九余六亦即甲丑股幂矣以开方得甲丑

　　捷法倍原半边【甲丙】自乘数以开方得【甲乙】中垂线　或半原边【丙己】自乘之数开方亦得【甲丑】　丙甲之幂三【乙丑同】则甲丑之幂六而丙己之幂十二也【甲丑与丙己幂积之比例为一与二】次求心中线

　　捷法但半心甲自乘即心中幂

　　论曰心甲与心中犹甲丑与乙丑也甲丑幂与乙丑幂为六与三则心甲与心中之幂亦如二与一

　　又捷法心中之幂一心甲之幂二则乙丑之幂六【即丙甲】而心丙之幂八【亦即乙心】俱倍数

　　但以半边【乙丑或丙甲】之幂取六之一即心中幂开方得心中即四等面形内容小浑圆之半径也【心中线者即各面之心至体心也故为内容小浑圆半径】

　　以心中之幂一【句】加乙心之幂八【股】并之为幂九开方得中乙【或中子或用前总图则为甲丙为甲己并同】是即四等面形外切浑圆之半径也外切圆之幂九【中乙】内切圆之幂一【心中】得其根之比例为三与一故四等面形内容浑圆之径一则其外切浑圆之径三又捷法但以乙丑半边之幂加五【即二之一】为中乙【或中子等】幂开方得外切圆之半径【葢乙丑之幂六中乙之幂九其比例为一有半也】

　　此四边不等形【又为三角立锥形】为

　　四等面形四之一各自中切

　　至边线成此形其底三边等

　　即四等面形之一面其髙为中心即内容小浑圆之半径其中乙等三楞线三倍大于中心之髙即外切浑圆之半径

　　取四等面形全积捷法

　　先取面幂【即前图乙己丙平面依前比例求其幂】以内容圆半径【心中】乘之得数四因三归见积

　　法曰丙甲半边之幂三则甲乙中长之幂九开方得中长【乙甲】以乘丙甲得乙己丙三等边之幂积即四等面形之一面也

　　次求本积四之一【即各面辏心剖裂之形如右图】

　　丙申半边之幂六则中心之幂一开方得中心髙以乗所得面幂而三分取其一即为四等面形四之一于是四乗之即为全积也

　　又防法以丙甲乗心甲又以中心乗之即得本形四之一【即同三除以心甲为乙甲三之一故也】

　　此带纵小立方形与右图四等面形四之一等积

　　又防法以丙己全边【亦即丙乙】乗

　　乙心再以中心乗即得本形

　　全积【乙心为心甲之倍数丙己为丙甲之倍数用以】

　　【相乗则得丙甲乗心甲之四倍数也】

　　边设一百

　　依上法求容

　　丙己边一百其幂一万丙甲半边五

　　十其幂二千五百三因之得七千五百

　　为乙甲中垂之幂【丙甲股幂减丙己幂得句幂也丙己亦即丙乙】　平方开之得八十六【六○二五】为乙甲其三之一得二十八【八六七五】为心甲　其三之二得五十七【七三五○】为心乙　又置丙甲幂二千五百取六之一为心中幂得四百一十六六六不尽　开方得心中之髙二十零四一二四亦即内容浑圆之半径

　　依上法以丙己全边一百乘乙心五十七【七三五○】得五千七百七十三半　又以心中二十零【四一二四】乘之得全积一十一万七千八百五十一弱【与厯书微不同】

　　四等面体求心捷法

　　准前论心中幂一则心甲幂

　　二中乙幂九乙丑幂六以句

　　股法考之则中甲与中丑之幂俱三也

　　何也心中甲句股形以中甲为故心中句幂一心甲股幂二并之为中甲幂三也而乙中丑句股形以中丑为句故乙中幂九内减乙丑股幂六其余为中丑句幂亦三也

　　由是徴之则中丑与中甲正相等但如法求得甲丑线折半得中防即为体心

　　又捷法取乙丑幂【即原设边折半自乗】半之为中丑幂开方得中丑亦得甲中【或乙子全边自乘取八之一为甲中幂亦同】

　　中丑即原边乙子距体心之度甲中即原边丙己距体心之度而中为体心

　　想甲防在丙己边折半之处今从侧立观之则线化为防

　　而丙己与甲成一防故从丙

　　己原边依楞直剖至乙子对

　　边即成甲丑线其线即所剖

　　面之侧立形

　　此图即前图甲丑线所切之

　　面葢面侧视则成线矣

　　原设四等面全形今依子丑

　　乙楞剖至甲则成纵剖图故

　　甲防内有丙己线若依丙甲

　　己楞剖至丑则成横剖图故

　　丑防内有子乙也

　　纵剖有三依子乙楞剖至甲而平分丙己边于甲一也依丙乙楞剖而平分子巳边二也依己乙楞剖而平分子丙边三也

　　横剖亦三依丙己楞剖至丑而平分子乙边于丑一也依子丙边剖而平分乙己边二也依子巳楞边剖而平分丙乙边三也其所剖之面并相似皆以中防为三对角垂线相交之心

　　一率　一一七八五一　　　例容

　　二率　一○○○○○○　　例边之立方积

　　三率　一○○○○○○　　设容

　　四率　八四八五二九○　　设边之立方积

　　开方得根二百○四弱为公积一百万之四等面体楞与比例规解合

　　若商四数则其平廉积四十八万长廉积九千六百其隅积六十四共得四十八万九千六百六十四不足四千三百七十四为少百分之一弱故比例规解竟取整数也

　　计开

　　四等面诸数

　　边一百

　　积一十一万七八五一

　　积一百万

　　边二百○三九六

　　内容浑圆半径二十○【四一二四】

　　内容浑圆全径四十○【八二四八】

　　外切浑圆半径六十一【二一○○】

　　外切浑圆全径一百念二【四二○○】

　　互剖求心之图

　　设边一百其幂一万【丙己乙子乙丙

　　乙己子丙子己并同为外切浑圆径幂三之二】半边五十其幂二千五百【丙甲

　　甲己乙丑丑子等并同为边幂四之一】

　　斜垂线之幂七千五百【乙心甲子

　　角甲丙亢丑己氐丑并同为边幂四之三】

　　其根八十六六○二五

　　斜垂线三之一二十八八六

　　七五其幂八百三十三三三

　　【即外切浑圆径幂十八之一为边幂十二之一】即各

　　面内容平圆半径【心甲角甲亢丑氐丑并同】

　　斜垂线三之二五十七七三五○其幂三千三百三十三三三【乙心子角丙亢己氐并同】

　　内容浑圆半径二十○四一二四其幂四百一十六六六不尽【为边幂二十四之一即外切浑圆三十六之一】即分体中髙【心中角中亢中氐中并同】　若内圆全径之幂则一千六百六十六六六【为边幂六之一外切浑圆径幂九之一】

　　外切浑圆半径六十一二三七二其幂三千七百五十即分体之立面楞【乙中子中丙中己中并同】四因之为浑圆全径幂一万五千其径一百二十二四七四四

　　又外切正相容之立方其幂五千为四等面边幂之半即斜方之比例又为外切浑圆径幂三之一

　　一率　外切浑圆径一百二十二四七四四

　　二率　四等面之边一百

　　三率　浑圆径一百

　　四率　内容四等面边八十一六四九六

　　又捷法浑圆径幂一万五千则内容四等面边幂一万或内容立方面之斜亦同为浑圆径幂三之二

　　若设浑圆径一百其幂一万则内容四等面边之幂六千六百六十六六六亦三之二也

　　平方开之得八十一六四九六为四等面边即内容立方之斜内容立方面幂三千三百三十三三三为浑圆径幂三之一即方斜之半幂亦即四等面边幂之半平方开之得五十七七三五○是为浑圆径一百内容立方之边亦即浑圆内容立方立方又容小圆之径若于四等面内又容浑圆则其径幂一千一百一十一一一为浑圆径幂九之一为四等面幂六之一立方面幂三之一

　　开得平方根三十三三三不尽【幂九之一则其根必三之一也】为内容小浑圆之径以径乗幂得三万七千○三十七为径上立方积　以十一乗十四除得二万九千一百○○半为圆柱积　柱积取三之二得一万九千四百为小浑圆积得大浑圆二十七之一　以小浑圆积二十七因之得五十二万三千九百为四等面外切大浑圆积【即径一百之浑圆积也】

　　互剖求心法

　　凡四等面体任以一尖为顶则其垂线为自尖至相对之平面心【亦即平面容圆之心】而以余三尖为底其垂线至底之防旁距三尖皆等【即乙心丙心己心三线之距心皆等而以子尖为顶其垂线为子中心其底为乙丙己平三角面余仿此】此为正形【各尖皆可为顶其法并同】若以子中心垂线为轴而旋之则成圆角体

　　凡四等面体任平分一边而平分之防为顶以作垂线则其垂线自此防至对边之平分防而以对边为底底无面但有边底边与顶边相午直正如十字形假如以子乙边平分于丑以线缀而悬之则其垂线至所对丙己边之平分正中为甲防其线为丑中甲而子乙边衡扵上则丙己边纵于下正如十字无左右之欹亦无髙下之微差也

　　若以丑中甲垂线为轴旋之则成圆柱体

　　凡四等面体以其边为斜线而求其方以作立方则此立方能容四等面体

　　何以知之曰准前论以一边衡于上而为立方上一面之斜则其相对之一边必纵于下而为立方底面之斜

　　矣又此二边之势旣如十字

　　相午直而又分于上下为立

　　方上下两面之斜线然则自

　　上面之各一端向底面之各一端联为直线即为四等面之余四边亦即立方余四面之斜如此则四等面之六边各为立方形六面之斜线而为正相容之体如前所论圆角体圆柱体虽亦能容四等面形而垂线皆小于圆径故不得为正相容

　　捷法四等面之边自乘折半开方即正相容之立方根【即倍句股意】设边一百其幂一万折半五千即为立方一面之积求其立方根得七十○七一○六即丑中甲垂线之髙

　　若以此作容四等面之圆柱则其髙七十○七一○六同立方之方根而其圆径一百同立方面之斜此圆柱内可函立方

　　其乙中子中等为自四等面体心至各角之线又为立方心至各角之线又为外切浑圆之半径又为四等面分为四体之楞线又为立方分为六方锥之楞线又捷法以四等面之边幂加二分之一开方即外切正相容之浑圆径亦即立方体内对角线【如自乙至震】折半为自心至角线　四等面设边一百其幂一万用捷法二分加一得一万五千为外切正相容之浑圆全径幂开方得一百二十二四七四四为浑圆全径折半得六十一二三七二为浑圆半径

　　立方内容四等面图

　　设立方边一百其积百万内

　　容四等面边一百四十一【四二

　　一三】其积三十三万三千三百

　　三十三【三三三三】为立方积三之

　　一乾坤震防立方【干丙坤己乙防子震与中心之丑甲同髙】内容子乙丙己四等面为立方积三之一

　　何以明之凡锥体为同底同髙之柱体三之一今自立方之乙角依斜线剖至丙巳成乙丙巳防三角锥以丙巳防立方之半底为底又自子角斜剖至丙巳成子丙巳震锥以丙巳震立方之半底为底合丙半底则与立方同底矣而子震与乙防之髙即立方髙也是此二锥得立方三之一矣

　　又自子乙斜线斜剖至巳角成倒锥以子乙坤立方之半顶为底以坤巳立方髙为髙又自子乙斜剖至丙角亦成倒卓之锥以子乙干立方之半顶为底以干丙立方髙为髙与前二锥同亦三之一也

　　合此二锥共得立方三之二则其余为子乙丙巳四等面体者必立方三之一矣

　　准此论之凡同边之八等面积四倍大于四等面积何以知之以此所剖之四锥体合之则为八等面之半体皆以剖处为面而其边其面皆与四等面等是同边之体也而八等面之半体旣倍大于四等面则其全体必四倍之矣

　　设八等面边一百四十一【四二一三】与四等面同边则八等面之积一百三十三万三千三百三十三【三三不尽】为四等面之四倍

　　若设四等面边一百则其外切之立方面幂五十立方根七十○【七一○六】以根乘幂得立方积三十五万三千五百五十三四等面积一十一万七千八百五十一为立方积三之一

　　推得八等面边一百其积四十七万一千四百○四此同边之比例

　　若立方内容之八等面则其积为立方内容之四等面二之一何以知之八等面与立方同髙则其积为立方六之一故也

　　设立方边一百内容八等面边七十○【七一○六】其积一十六万六千六百六十六为四等面之半若设立方边七十○【七一○六】则内容八等面积五万八千九百二十五半其边五十

　　四等面体又容小立方小立

　　方内又容小四等面体则内

　　容小立方径为外切立方三

　　之一内小四等面在小立方

　　内其径亦为四等面三之一

　　而其积皆二十七之一

　　何以知之凡三等边平面之心皆居垂线三之一假如子巳丙为四等面之一面其平面之心必在癸而子甲垂线分三之一为癸甲其余三面尽同而内容之小立方必以其下方之两角纵切子巳丙之癸心及乙己丙之壬心其上方之两防必横切于子乙己之卯心及子乙丙之申心而立方内容之小四等面亦必以其四角同切此四防也今壬癸两防旣下距丙己线为其各斜垂线三之一而卯申两防又上距子乙线之斜垂线亦三之一则其中所余三之一必为立方所居也而内小立方不得不为子乙与丙己相距线三之一矣

　　问癸防为三之一者斜面之垂线也小立方者直立线也何以得同为三之一乎答曰癸防所居三之一虽在斜面而子乙纵线与丙己横线上下相距必有垂线直立于其心此直立垂线即前图之甲丑与外切立方线同髙者也丑甲中垂线以上停三之一之上防与卯申平对以下停三之一之下防与壬癸平对依句股法与股比例同也然则丑甲线之中停即小立方之所居矣

　　又丑甲者即外切立方之髙也故知小立方径为外切立方径三之一

　　又小四等面在小立方内以其边为小立方之斜而纵横边相午对如十字其中心亦以丑甲线之中停为其轴其斜面之势一切皆与大四等面同而丑甲者亦大四等面之轴也小四等面之中轴旣为丑甲三之一其余一切皆三之一矣

　　夫体积生于边者也边为三之一者面必为九之一体必为二十七之一无疑也

　　准此论之浑圆在四等面内者亦必为外切浑圆二十七之一其径亦三之一也何也浑圆之切防与小立方小四等面之切防并同也

　　以此推知小立方与小四等面在大四等面内或居小浑圆内以居大四等面内其径积并同

　　求体积

　　浑圆径一百其径上立方一百万依立圆法以十一乘十四除得七十八万五千七百一十四为圆柱积仍三分取二得五十二万三千八百○九为浑圆积

　　内容立方面幂三千三百三十三【三三】其边五十七【七三五○】以边为髙乘面得一十九万二千四百五十○为内容立方积

　　内容四等面体边幂六千六百六十六【六六】其边八十一【六四九六】

　　依前论四等面体为立方三之一得六万四千一百五十○为四等面积

　　立方内容小浑圆以立方之边为径五十七【七三五○】依立圆法以立方积十一乘十四除得一十五万一千二百一十为圆柱积取三之二得一十○万○八百六十六为小立圆积

　　四等面内容小浑圆径幂一千一百一十一【一一】其径三十三【三三】以径乘幂得径上立方积三万七千○三十七以十一乘十四除得二万九千一百○半为圆柱积又三分取一得一万九千四百为立方内之四等面内容小浑圆积为大浑圆积二十七之一若先有内小浑圆积但以二十七因之得大浑圆积

　　依此论之凡浑圆内容立方立方内又容四等面体四等面内又容小浑圆其内外相似之大小二体皆二十七之比例也

　　又捷法用方斜比例

　　立方面之斜设一百其幂一万则其方幂五千用三

　　因之得一万五千开方得立

　　方对角斜线即为外切浑圆

　　全径

　　立方面之斜一百即立方内容四等面之边

　　立方体对角斜线一百二十二【四七四四】即立方外切浑圆之全径亦即四等面外切浑圆全径半之得六十一【二三七三】即立方外切浑圆半径亦即立方体心至各角之线亦即四等面体心至各角之线

　　八等面形图注

　　第一合形

　　甲丁　甲丙　甲己　甲戊

　　丁丙　丙己　己戊　戊丁

　　戊乙　己乙　丁乙　丙乙

　　以上形外之楞凡十有二即根

　　数也其长皆等

　　或设一百为一楞之数则十二楞皆一百也

　　甲丁戊　甲戊己　甲己丙　甲丙丁　丙丁乙己丙乙　戊己乙　丁戊乙

　　以上形周之分面凡八皆等边平三角形也其容积其边皆等

　　或设一百为边数则三边皆一百而形周之分面八皆三边边皆一百也

　　第二横切形【二】

　　甲丁丙己戊为上半俯形

　　丁丙己戊乙为下半仰形

　　右二形各得合形之半皆从

　　丁戊楞横剖至己丙

　　一俯一仰皆方锥扁形丁丙

　　己戊为方锥之底其边皆等

　　其从四角凑至顶之楞皆与

　　底之边等

　　第三直切形【四】

　　从甲尖依前后楞直剖过丁

　　己至乙尖成左右两形

　　从甲尖依左右楞直剖过丙

　　戊至乙尖成前后两形

　　此四形者一切皆与仰俯二

　　形同但彼为眠坐之体故为

　　方锥【仰者即倒卓方锥】而此则立体即如打倒方锥之形也第四横切之面一直切之面二

　　因横剖得正方平面在立方锥以此

　　为底倒方锥以此为面在合形则为

　　腰围其己丁及丙戊两对角斜线相

　　交于心即两直切之界也【心即合形中心】因直剖得斜立方面二其己丁及戊

　　丙横对角线即横切之界其从甲至

　　乙垂线即直剖之界如立面在前后

　　互剖之形则此线为左右直剖之界

　　彼此互为之也亦即为全形之中髙

　　径线

　　以此知八等面之中髙线为方斜之

　　比例

　　第五分形

　　因横剖及两直剖分总形为八皆

　　三角锥形也

　　皆以等边平三角形面为锥形之

　　底而以横直剖线相交处之点为

　　其锐顶即合形之中心也

　　其自顶心至角之楞皆等皆边线

　　之方斜比例也【底线为方则此线为其斜之半】而

　　此楞线又即为八等面形之外切

　　圆之半径

　　设己戊边一百其幂一万则心戊

　　楞之幂五千【倍戊庚半边之幂为半斜幂也】戊心之幂五千内减戊庚幂二千

　　五百则其余二千五百为心庚之

　　幂故心庚必与戊庚等

　　从心顶对己庚楞直剖至庚分形为两则其中剖处成三角平面

　　己庚者乙己戊等边三角平面之

　　中垂线也其幂为边四之三设边

　　一百之幂一万则己庚之幂七千

　　五百

　　庚辛者平面三角容圆之半径也得己庚三之一其幂则九之一也己庚之幂七千五百则庚辛之幂八百三十三【三三】辛防即各三角平面之中心

　　以庚辛幂八百三十三【三三】减心庚幂二千五百得心辛幂一千六百六十六开方为心辛即分形之中髙也求得分形中髙四十○【八二四七】

　　依平面三等边法设边一百其中长线八十六【六○二五】其幂积得四千三百三十○【一二五○】　取平幂三之一得一千四百四十三【三七五○】以乘中髙得分形积五万八千九百二十五【三五一三】　再以八因之得总积四十七万一千四百○二【八一○四】与总算合

　　设八等面之边一百其幂一○○○○即横剖中腰之正方　半之为每角辏心之线之幂得○五○○○此线即分形自底角辏顶心之楞【如心戊心己心乙】又为八等面形外切浑圆之半径　又半之为分形每面自顶至边斜垂线之幂【即心庚】得○二五○○此线即设边之半其幂为设边四之一

　　设半边之幂取其三之二为分形中髙线之幂【即心辛】得○一六六六不尽又为八等面形内容浑圆之半径防法取八等面设边之幂六而一为八分体中髙之幂开方得中髙

　　假如设边一百其幂一万则分体中髙之幂一千六百六十六不尽　求其根得四十○【八二四八】　以中髙乘三角平面幂三除之得分体八因之得全积

　　又捷法八等面设边之幂取三之二为体内容浑圆之径幂开方得内容浑圆径折半为八分体中髙

　　假如设边一百其幂一万则内容浑圆之径幂六千六百六十六不尽　求其根得八十一【六四九六】　折半为分体中髙

　　或竟以内容浑圆全径乘设面三角平幂四因三除之得全积

　　又捷法　此方斜之比例

　　八等面设边之幂倍之为体外切圆径幂开方得径以乘设边之幂【即腰广平方】得数三归见积

　　假如设边一百其幂一万其斜如之幂倍方幂得二万求其根得一百四十一【四二一三】　以乘腰广一万得一百四十一万四千二百一十三　三除之得总积四十七万一千四百○四

　　一系　八等面体之边上幂与其外切浑圆之径上幂

　　其比例为一与二【方斜比例】

　　一系　八等面体之边上幂与其内容浑圆之径上幂

　　其比例为三与二

　　一系　八等面体外切浑圆之径上幂与其内容浑圆之径上幂　其比例为三与一

　　准此而知八等面内容浑圆浑圆内又容八等面其浑圆外切之八等面边或径上幂与内容之八等面边或径上幂其比例亦必为三与一也

　　计开

　　八等面形诸数

　　设边一百　其积四十七万一四○四【与厯书所差甚微】其体外切浑圆之径一百四十一【内外两浑圆之径幂为三与一其根约为四与七而强】体内容浑圆之八十一

　　八等面外切立方径一百四十一【方斜比例也与外切浑圆同】八等面内容立方径四十七

　　内外切大小立方之径之比例为三与一

　　内外两立方之积之比例为二十七与一

　　若浑圆内容立方立方内容八等面体八等面体内又容浑圆则大小两浑圆之径亦若三与一其积亦若二十七与一

　　一率　　四七一四○四　　例容

　　二率　　一○○○○○○　例边之立方

　　三率　　一○○○○○○　设积

　　四率　　二一二一三二二　设边之立积

　　开立方得根一百二十八为公积一百万之八等面根【与比例规解合】

　　防何补编卷二

　　二十等面形自腰切之成十等边平面

　　先求甲丁　乃十等边平面

　　从心对角之线　亦即二十

　　分形各三角立体一面之中

　　垂斜线

　　法为甲乙【即切形十等边之半在原设二十等面形边为四之一】与甲丁若十八度之正与全数也【十等边各三十六度其半十八度】

　　设边一百　所切十等边平面之边五十　其半甲乙二十五

　　一率　十八度正　○三○九○

　　二率　全数　　　　一○○○○

　　三率　甲乙　　　　　　　二五

　　四率　甲丁　　　　　　　八○【九○六一】

　　用等边三角求容圆法

　　设边一百　其内容圆半径二十八【八六七五】为心甲

　　以心甲为句二十八【八六七五】其幂八百三十三【三三二五】以甲丁为八十○【九○六一】其幂六千五百四十五【七九七○】

　　句幂减幂余五千七百一十二【四六四五】为心丁股幂开方得心丁七十五【五八○八】　此即各面切形自各面之心至切体尖之髙也　其切体之尖即原设二十等面总形之体心为丁点

　　用后法得乙己丙平面幂积四千三百三十○【一二五○】又依三等边角形设边一百【丙己】　其半五十【丙甲】　求到乙甲中长八十六【六○二五】用其三之一即心甲二十八【八六七五】以与丙甲五十相乘得一千四百四十三【三七五○】为各等面平积三之一【三因之得平面幂】

　　又以丁心七十五【五八○八】乘之得一十○万九千○九十一【四三七二】为二十等面形分切每面至心之积又以二十乘之得全积

　　依上法求到二十等面全积

　　设边一百　其积二百一十八万一千八百二十八【查比例规解差不多惟测量全义差逺】

　　按此法以本形分为二十各成三角立锥形而各以分形之髙乘底取三之一以为分形积然后以等面二十为法乘而并之得总积可谓的确不易矣然与厯书中比例规解及测量全义俱不合何耶

　　计开

　　二十等面形

　　设边一百　其每面中长线八十六【六○二五】

　　其每面幂积四千三百三十○【一二五○】

　　其每面容平圆之心作线至形心之丁七十五【五八○八】即心丁　心丁即内容浑圆之半径

　　其分形各以每面之幂积为底心丁为髙各得三角立锥积一十万九千○九十一【四三七二】

　　其立锥积凡二十合之得总积二百一十八万一千八百二十八

　　用上法求形内容浑圆

　　其心丁七十五【五八○八】即内容浑圆半径【以心丁线与各平面作垂线而丁防即体心故】倍之得一百五十一【一六一六】为内容浑圆全径置小浑圆径一百五十一零自乘得二万二千八百○一以十一乘十四除得一万七千九百一十五为圆幂置内容浑圆之平圆幂一七九一五以圆径一百五十一取三之二得一百强以乘平圆幂得一百八十○万二千二百四十九为二十等面内容浑圆之积

　　置内容圆径一百五十一自乘得【二万二千八百○一】再乘【三百四十四万二千九百五十一】以立员捷法【○五二三五九八七七】乘之得浑圆积一百八十○万二千七百二十五

　　先用宻率【十四除十一乘】得浑圆一百八十万二千二百四十九以较立圆捷法所得少尾数四百七十六约为一万

　　八千之五弱不足为差也

　　依立圆法以圆率三一四一五九二乘立圆法六而一得五十二万三五九八为径一百之浑圆积

　　依法求得立方边五十七【七三五○】立方积一十九万二四五○四等面积六万四千一百五十○并合前算小浑积一○○七六六　若用捷法以浑圆率五二三五九八乘立方积得数后去末六位亦得一十○万○七六六

　　内容浑圆尚且如此之大况二十等面之形又大于内圆乎然则厯书之率其非确数明矣

　　二十等面

　　一率　　二一八一八二八　　例容

　　二率　　一○○○○○○　　例根一百之体积三率　　一○○○○○○　　设容

　　四率　　○四五八三三二　　所求根立积

　　如法算得二十等面之容一百万其根七十七

　　比例规解作七十六尚差不多测量全义云二十等边设一百其容五二三八○九则大相悬絶矣乆知其误今乃得其确算己未年所定之率以两书酌而为之究竟不是今乃得之可见学问必欲求根也

　　二十等面分体之图

　　亥子戌为二十等面之一面

　　亦即各分体之底

　　亥子子戍戍亥皆其边即根

　　也半之为亥甲

　　甲乙丙为横边切处即横切成十等边形之一边丁为体心亦即切十等边平面之中心

　　甲乙丙丁即横切十等边平面之分形　心为二十等面每面之正中　心丁为体周各平面至体心之垂线亦即分体之中髙亦即体内容浑圆之半径　丁亥丁子丁戌皆分体之楞线乃自各分面角辏体心之棱也亦即为外切浑圆之半径　丁甲丁丙皆横切平面各角辏心之线亦即分体各斜面之中垂斜线也

　　求法以丁甲为股亥甲为句【即根之半】两幂相并开方得即丁亥也【丁子丁戌同】

　　求二十等面外切浑圆之半径

　　依句股法　以丁甲股八十○【九○六一】自乘幂六千五百四十五【七九七○】　亥甲句五十○自乘幂二千五百　相并为亥丁幂九千○四十五【七九七○】　平方开之得亥丁九十五【一○五二】为外切浑圆半径　亦即二十分形自其各角辏心之棱　倍之得一百九十○【二一○四】即外切浑圆全径

　　计开二十等面体诸数

　　设边一百　其容二百一十八万一千八百二十八其内容浑圆径一百五十一　其外切浑圆一百九十其每面中心至体心七十五半【即内容浑圆之半径】

　　其每面各角至体心九十五【即外切浑圆之半径】

　　计开二十等面体诸用数

　　设边一百　外切立方之半径八十○【九○一七】为体心至边之半径【即寅中卯中辰中等】

　　倍之为边至边一百六十一【八○三四】即外切立方全径外切浑圆之半径九十五【一○五六】为体心至各角尖之半径【即甲中戊中心中等】

　　倍之为角尖至角尖一百九十○【二一一二】即外切浑圆全径

　　内容浑圆及内容十二等面之半径七十五【五七六一】为体心至各面之半径【即己中庚中等】

　　倍之为内容浑圆全径一百五十一【一五二二】为面至面内容十二等面之边五十三【九三四四】

　　每面之幂四千三百三十○【一二五○】

　　二十等面之幂共八万六千六百○二半

　　分体积一十○万九千○八十四【六五】为二十等面体积二十之一

　　合之得全积二百一十八万一千六百九十三

　　内容小立方之边八十七【二六　以内容立圆径自乘七七　乏幂取三之一开方得之】

　　内容灯体边五十【即原边之半】

　　立方内容二十等边算法

　　亢卯寅房为立方全径一百

　　中寅中卯为半径五十

　　寅卯二点为二十等面边折

　　半之界

　　寅卯线为二十等面边之半

　　中为体之中心　寅中卯角为三十六度

　　中寅半径当理分中末之全数　寅卯即理分中末之大分

　　甲戊戊心心甲皆寅卯之倍数即

　　二十等面之边其数六十一【八○三三九八】

　　甲辰半边三十○【九○一六六九与寅卯同】

　　心辰垂线五十三【五二三三】　半垂线心箕二十六【七六一六】　甲辰幂九百五十四【九一五○】　三因甲辰幂为心辰幂二千八百六十四【七四五○不尽】

　　计开

　　立方径设一百　半径五十

　　理分中末线大分六十一【八○三三九八】即二十等面之边论曰以中寅半径五十求寅卯正得理分中末大分之半而甲戊边原倍于寅卯寅房全径亦倍于寅中是全数与大分皆倍也故径以全数当寅房全径以理分中末之大分当甲戊等二十等边之全边也

　　又立方边设一百【即寅房径】　半之五十【即中寅】

　　内容二十等面之边六十一【八○三三九八即甲戊等】

　　面之中垂线五十三【五二三三即心辰】

　　中垂线之半二十六【七六一六即心箕】

　　面之幂一千六百五十三【九五七八甲戊心面】

　　中垂线三之一得一十七【八四一一即心己】

　　内容立圆半径四十六【七○八六即己中】　全径九十三【四一七二】二十等面全积五十一万五千○二十六【九五九七】

　　约法

　　立方根与所容二十等面之边若全数与理分中末之大分　面幂三之一以乘容圆全径得数十之为全积中垂线三之一心己为句【即平面容员半径】自乘得句幂三百一十八【三○四八四九】以减中寅幂二千五百○○余己中股幂二千一百八十一【六九五一五一】开方得己中根四十六【七○八六】

　　二十等面边设一百用理分中末线求其外切之立方一率　二十等面边六十一【八○三三九八】

　　二率　外切立方一百○○

　　三率　二十等面边一百○○

　　四率　外切立方一百六十一【八○三四】

　　依法求得二十等面边一百其外切立方一百六十一【八○三四】与先所细算合

　　半圆内容正方

　　法以圆径为三率【丙丁】　理分中末之小分为二率【庚辛】理分中末全线加小分为首率【丁辛为全线再加庚辛为小分共得为丁庚总线也】　二三相乘一率除之得四率【丙乙即甲丁】为全径之小

　　分以减全径余【乙丁】乃于乙作

　　正十字线至圆界【如己乙】即以

　　此线自乘作正方【己甲】如所求

　　论曰己乙即丙乙与乙丁之中率而丙乙旣为乙丁全径之小分则己乙即大分也而甲乙亦为大分　甲丁亦为小分矣若自甲作甲戊必与己乙甲乙等而其形正方

　　半浑圆内容立方

　　法以乙甲圆径自乘之幂取其六之一开方得容方根【丙丁方丙戊边】

　　论曰试倍甲丙乙庚半浑圆为全浑圆体亦倍丙丁正方形作丙己长立方形亦必能容矣然则丙己线在长

　　立方形之内为斜线者亦即

　　浑圆之径也【与甲乙径等】

　　试于长立方面作戊己斜

　　则己壬为之句戊壬为之股

　　而戊己幂内有己壬幂与

　　戊壬幂矣

　　而丙己线为则戊己又为

　　股丙戊又为句而丙己自幂内又兼有戊己幂及丙戊幂矣【丙戊亦即己壬】

　　又戊壬为己壬【即丙戊亦即戊癸】之四倍则戊壬股幂内有己壬句幂四合之为戊己幂则戊己幂内有己壬幂五矣

　　而丙己幂内复兼有戊己股幂及丙戊句幂是丙己幂内有丙戊幂六也丙己旣同圆径则取其幂六之一开方必丙戊容方边矣

　　立方内容十二等面其内又容立方【此相容比例】

　　立圆内容十二等面其内又

　　容立方此立方之面幂为外

　　圆径上面幂三之一而立方

　　之各角即同十二等面角以切于立圆之面

　　法以外切浑圆径上幂取三之一为十二等面内小立方幂平方开之得小立方根根乘幂见积

　　又简法以十二等面之面幂求其横剖之大线此线即

　　十二等面内容小方之边

　　如图作甲乙线剖一面为二

　　此线在面中最大即为内小

　　立方根以此自乘而三之即

　　小立方外切浑圆径幂

　　凡立方内容二十等面二十等面内又容浑圆圆内又容小立方此小立方之各角能同浑圆之切点以切于二十等面之平面心

　　法以内容浑圆径之幂取三

　　之一为内小立方之幂平方

　　开之得切点相距即小立方

　　根以根乘幂见积

　　简法取内容浑圆之内小立方边求其理分中末之大分为内容十二等面边

　　又简法如前求得二十等面内容十二等面之一面乃求其横剖之大线即二十等面内容小立方之根　以根自乘而三之即二十等面内容浑圆之径幂　开方得根即内容浑圆径　折半为分体之中髙

　　此二十等面之面作三分之

　　一横剖

　　此十二等面之面在二十等

　　面内

　　此五等面边即前横线所成

　　凡五等边平面其边即七十二度之通横剖大线即一百四十四度之通各折半为正可以径求一率　　三十六度正

　　二率　　七十二度正

　　三率　　五等边之一边

　　四率　　横剖之大线

　　凡十二等面体与二十等面体可互相容而不穷十二等面体有二十尖二十等面体有十二尖其各尖之相距必均其互相容也皆能以其在内之尖切在外各面之中心而徧

　　凡二十等面内容立圆仍可以容二十等面

　　二十等面内容立圆仍可以容十二等面

　　甲心乙　乙心丙　丙心丁

　　丁心戊　戊心甲　皆二十

　　等面之一面其各三边皆等

　　各以庚辛壬癸己为其面之

　　心若内容十二等面体则十二等面之各尖必切于庚辛壬癸己等心点

　　今求内容十二等面之边则必以庚辛等心点聮为直线即成五等边面之边而与十二等面之形相似而可

　　以相容矣

　　法当以边【如甲戊】半之【如甲辰】作

　　对心垂线【如辰心】成心辰甲句

　　股形既得己卯倍之为己庚即内容十二等面之一边二十等面体内容十二等面之图

　　第一图原形如五面扁锥心

　　尖鋭起甲心戊等三等边平

　　面凡五共辏而成一心尖乃

　　二十等面四之一

　　其己庚辛壬癸五点皆三等边平面之中心亦即内容十二等面之棱尖所切故必先求此点

　　简法曰以甲戊边半之于辰作辰心对角斜垂线又以心甲心戊各取三分之二为心子心丑乃聮子丑为线与甲戊边平行与辰心垂线十字交于己点则己点即甲心戊平面之心再从子至午作与边平行线线之半即庚点余三面尽如此作平行线则辛点在午未线壬点在未酉线癸点在酉丑线但半之皆得心矣

　　第二图剖形是五等边平面

　　因前图所作子丑等平行线

　　横剖之去其中髙之尖成子

　　午未酉丑五等邉平面此平

　　面之心点在前图心顶之内

　　惟子丑等邉线是原形所作平行线在体外可见余皆以剖而成乃从各角作线至心如子心等分形为五皆平面三角形而心子等线皆小于子丑邉因子己原邉及子心丑角求得心己垂线及子心对角线

　　第三图正用之形即内容十二等面之一面

　　因前第二图各平分其邉得

　　己庚辛壬癸五点即原形之

　　平面心又聮此点作己庚等

　　直线则成此形以此形为内容十二等面之一面则己庚等五点为十二等面之鋭角而皆切二十等靣之平面心矣

　　求己庚线法因心子对角线及心己垂线子己原半边得己卯倍之为己庚

　　第一图

　　设二十等面边一百　甲戊等五边甲心等五辏顶线并同　则子心六十六【六六】　子丑平行线同　皆为原边三之二　心己斜垂线五十七【七三五○】　为心辰斜垂线三之二

　　以上用第一图乃斜立面也

　　第二图

　　子己半边三十三【三三】　子心对角线五十六【七○九九】己心垂线四十五【八七九二】

　　法为全数与五十四度之割线【一七○一三○】若子己边与子心也子己乘割线以全数十万而一得子心

　　又全数与五十四之切线【一三七六三八】若子己边与己心也子己乘切线以全数十万而一得己心　凡全数除降五位

　　第三图　仍从第二图生

　　己庚等两平面心相距线五十三【五八一六】　其半己卯二十六【七九○八】

　　法为子心对角线与己子半边若己垂线与己卯也倍己卯得己庚

　　求得二十等面边一百　内容十二等面其边五十三【五八一六】

　　防法但用法聮两平面之中心点即为内容十二等面之边　两平面心相聮为直线之图

　　乙心甲及戊心甲两等边平

　　三角面以甲心边为同用之

　　边而甲心隆起如屋之山

　　两平面之中心为己为庚聮

　　为己庚线与甲心为十字然

　　不相切何也甲心既隆起

　　则甲心折半之卯在己庚折

　　半之栁点上其距为卯栁

　　试侧视之则甲心戊面变为

　　戊卯线甲心乙面变为卯乙

　　线而甲卯心线变为卯点己

　　庚点在平面原近甲心点为

　　卯戊卯乙三之一则卯栁之距亦为垂线三之一矣二十等面从腰横剖之图

　　凡二十等面体其面之边皆

　　等而皆斜交故边皆髙于面

　　面之中心如己如庚是距体

　　心最近之处故为内容浑圆

　　及十二等面所切之点也

　　边之两端又髙于其折半之处边所辏为尖如甲如戊如乙如心等是距体心最逺之处故为外切浑圆及外切十二等面之尖也　其各边折半之点如寅如卯其距体心在近逺酌中为外切立方之半径其内切之己庚外切之甲戊乙心等頼寅卯距心之线为用然后可知故其用最要

　　横剖所成之面【十二等面从腰横剖其根亦同】

　　问各边既髙于面而又斜交

　　何以能横切成平面乎曰从

　　右图观之甲戊尖最髙则其

　　所对之乙心等边似平矣而

　　乙心等尖亦髙则其所对之甲戊等边又平一髙一平彼此相制而成相等之距故寅卯等折半之处其距体心皆等联之为线即成相等之线而皆平行也

　　然则何以知其为十等边平面曰准右图上下各五面其腰围亦上下各五面而尖牙相错成十面今各从其半边剖之则必为十边平面无疑也

　　如图奎卯寅十等边平面以中为心

　　中寅中卯皆原体心与其邉

　　折中处相距之半径亦即为

　　外切立方之半径也于前图

　　作外切之奎角卯寅平图则

　　寅卯等即为分圆线乃全圈十分之一当三十六度理分中末线图

　　奎中为全径井中为半径以半

　　径【设五十】为句全径【设一百】为股

　　求其得一百一十一【八○三三】

　　【九八】为井奎　以井为心中为界作圆分如中斗截井奎线于斗则井斗亦半径也　以井斗减井奎其余斗奎即为理分中末线之大分【亦即奎牛】　以奎牛为度作点于倍径之圈周而徧即成十平分圈周之点聮其点为线即成寅卯等十等边故十等边之寅卯等即木圈半径之理分中末大分也　若奎中为半径则井中为半半径亦同

　　奎中全数【半径】设一百　寅卯必六十一【八○三三九八】即半径理分中末之大分【奎牛即奎斗】

　　理分中末线　法以全数一百之幂一万为股幂其半五十之幂二千五百为句幂并得一万二千五百为幂开方求其根得一百一十一【八○三三九八】以半数五十减之得六十一【八○三三九八】为理分中末之大分即三十六度之分圆线也

　　半之为十八度之正三○九○一六九九【八线表作三○九○二】二十等面分体之图

　　甲戊心为二十等面之一面

　　其三边等中为体心

　　甲中戊中心中皆各面之鋭

　　角距体心之线又为体外切

　　浑圆及外切十二等面之半

　　径

　　以甲戊心面为底依甲中戊

　　中心中三线剖至体心中成

　　三角锥体为二十等面体二

　　十之一

　　锥体之底各以其三边半之

　　于寅于辰于卯从此三点作

　　线而体心之中点皆为锥体各立面之斜垂线如辰中即为甲中戊立面之斜垂线寅中为甲中心立面之斜垂线卯中为戊中心立面之斜垂线并同

　　又聮寅卯辰三点为寅卯卯辰辰寅三线成寅卯辰小等边平三角面以此为底依寅中卯中辰中三斜垂线剖至体心之中点成小三角锥体其积为大三角锥四之一其寅卯等边为原边二之一　原设边一百则寅卯五十

　　其己点为三角面之中心【大小并同】　己中即分体之中髙【大小锥体同】是即内容浑圆之半径亦即内容十二等面体各尖距其体中心之半径

　　其辰中卯寅中卯卯中辰皆立三角面皆为横剖成十等边平面之分形故寅卯与寅中之比例若理分中末线之大分与其全数也

　　今求寅中线【即外切立方半径卯中亦同】

　　一率　理分中末之大分　　　　　六十一【八○三三九八】

　　二率　全数　　　　　　　　　　一百

　　三率　寅卯【剖形十等边之一即原边之半】　　　　五十

　　四率　寅中　　　　　　　　　　八十○【九○一七】按寅中线为量体之主线既得此线即可以知余线而此线实生于理分中末线几何原本谓分中末线为用最广盖谓此也

　　次求己中【即内容浑圆及十二等面之半径】

　　甲戊原边设一百半之于寅

　　作寅己垂线至己心【乃平靣心】己寅二十八【八六七五】为句其幂

　　八百三十三【三三三三】　用防法

　　以边幂一万取十二之一得

　　之

　　寅中八十○【九○一七】为其幂

　　六千五百四十五【○八五○】句幂减幂余五千七百一

　　十一【七五一七】开方得股为己中

　　七十五【五七六一】

　　订定寅中线

　　一率　理分中未线大分　六十一【八○三三九八】

　　二率　全数　　　　　　一百

　　三率　寅卯【剖形十等边之一即原边之半】五十

　　四率　寅中【即外切立方之半径】　　八十○【九○一七】

　　订定己中线

　　甲戊边原设一百【半之于寅作寅己线】

　　己寅句二十八【八六七五】　幂八百三十三【三三三三】

　　寅中八十○【九○一七】　幂六千五百四十五【○八五○】己中股幂五千七百一十一【七五一七】　根七十五【五七六一】末求己庚线【两平面心相聮即内容十二等面之边】

　　一率　寅中八十○【九○一七】　为大

　　二率　己中七十五【五七六一】　为大股

　　三率　寅己二十八【八六七五】　为小

　　四率　己星二十六【九六七二】　为小股

　　倍己星得五十三【九三四四】为己庚

　　解曰中寅己大句股形与己寅星小句股形同用寅角则其比例等而为相似之形故也

　　己庚等线相聮成五等边平靣图

　　准前论甲心戊等三角平面

　　合二十面为二十等面体则

　　甲心等边线皆髙于平面而边

　　线之端五相辏即为尖角【如心

　　点】依此推知甲乙丙丁戊点

　　皆必与他线五相辏而成尖角矣

　　其己庚辛壬癸各点为各平面之最中央在体为最平之处故内容之浑圆及内容之十二等面各尖必切此点

　　今依前法求得己庚等点相联为直线则凡五平面相辏为尖必有各中央之点相联为线而皆成五等边平面形矣【此平面形正与心尖相应】　依此推知甲乙丙丁戊各点皆能为尖则其周围相辏之五平面亦必各以其中央之点相联为线而皆成五等边平面形　二十等面体以五边线相辏之尖凡十有二每一尖之周围皆有五平面即皆有中央之点相联而成五等边平面亦十有二如此而内容十二等平面体己成故曰但联己庚二

　　点为线即内容十二等面之边也

　　求甲中线【即外切浑圆及十二等面之半径心中戊中并同】

　　寅甲为原边之半设五十其

　　幂二千五百为句幂

　　寅中为外切立方半径八十

　　○【九○一七】其幂六千五百四十

　　五【○八五○】为股幂并句股幂九千○四十五【○八五○】平方开之得甲中

　　依法求得甲中九十五【一○六五】

　　求体积

　　设边一百其半五十　斜垂线八十六【六○二五】　相乗得面幂四千三百三十○【一二五○】

　　又以己中髙七十五【五七六一】乗面幂得柱积三十二万七千二百五十三【九六○○】

　　三除之得分体积一十○万九千○八十四【六五○○】以二十乗之得全积二百一十八万一千六百九十三十二等面分体之图

　　戊辛庚己壬五等边形即十二等面立体之一面　亦即分体形之底【乃五面立锥形之底】丙为平面心

　　丙丁为平面心至体心之垂线亦即分体形之中髙又为体内切浑圆之半径亦即为内切二十等面之半径丁为全体之中心又为十二分体之上鋭即五等面立锥形之顶

　　戊辛壬庚等皆各面之外周线【即边也】为体之棱亦名之

　　为根

　　自分面之心丙作垂线至边

　　【如癸丙甲丙】分各边为两其分处

　　为癸为甲【即各边折半处】

　　乃自癸至甲聮为癸乙甲线又自此线向丁心平剖之成甲丁癸三角形面各分形俱如此切之成十等边平面形故丁癸丁甲皆分体形自顶鋭至各边之斜垂线在所切之十等边平面形即为自丁心至平面角之线【甲癸等点在各边为折中在切形之平面则对角】

　　又自丁至体周各角之线【如丁辛丁庚丁戊等】在分体即为自底角至顶鋭之棱又为外切浑圆之半径又为外切二十等面之半径

　　先算十二等面之面【即戊辛庚己壬】

　　法为全数与五十四度之切线若甲辛与甲丙也　以甲丙乘甲辛又五乘之得戊辛庚己壬五角面积【甲丙辛角为五等边之半角三十六度其余角甲辛丙必五十四度】

　　次算面上大横线【即甲癸】

　　又全数三十六度之正若甲丙与甲乙也倍甲乙得甲癸

　　次算中髙线【丙丁】

　　法为全数与七十二度之割线若甲乙与甲丁也【因平切十等边为三十六度半之为十八度其余角七十二度即乙甲丁角】

　　乃以甲丁为甲丙为句两幂相减开方得股即丙丁也

　　次算分体之积

　　法以中髙丙丁乘戊辛庚己壬底而取其三之一为分形积

　　末以十二为法乘分形积得总积

　　简法以分形中髙乘底又四乘之即得总积【三归三因对过省用】算甲丙

　　一率　全数　　　　　一○○○○○

　　二率　五十四度切线　一三七六三八【相乗得六八】

　　三率　设根之半【甲辛】　　　　　五○【八一九○○】

　　四率　甲丙　　　　　六八　【以全数除之减五位为畸零】算甲乙

　　法为全数与三十六度之正若甲丙与甲乙也

　　一率　全数　　　　　一○○○○○

　　二率　三十六度正　○五八七七九

　　三率　甲丙　　　　　六八八一九○

　　四率　甲乙　　　　　四○四五一一

　　甲癸为横切十等边平面之一

　　其半为甲乙丁即总形之心

　　亦横切平面之心

　　算甲丁

　　法为全数与十八度之余割若甲乙与甲丁也

　　一率　全数　　　　　一○○○○○

　　二率　七十二度割线　三二三六○七

　　三率　甲乙　　　　　四○四五一一

　　四率　甲丁　　　　　一三○九○二五

　　算丙丁中髙线

　　法以甲丁为　甲丙为句　求得股为丙丁

　　算得丙丁一百一十一【三五二六】为中髙线亦即十二等面形内浑圆之半径

　　算五等邉面幂

　　法以甲丙乘甲辛五十得三千四百四十○九半又五乘之得一万七千二百○四七五为五等边【边各一百】之平幂亦即十二等面分形之底积

　　算总积

　　用简法以底积一七二○四七五四因之得六八九九○以乘中髙得七百六十八万二千二百一十五八七四○为十二等面之积

　　计开十二等面

　　一率　七六八二二一五　　例容

　　二率　一○○○○○○　　例边上立积

　　三率　一○○○○○○　　设容

　　四率　○一三○一七○　　求得设边上立积立方法开之得其根五十

　　与比例规解合与测量全义差四千一百七十四为二百分之一

　　算辛丁【庚丁戊丁并用】　又即为外切浑圆半径

　　法以甲丁股幂【一七一三五】甲辛句幂【○二五○○】并为幂【一九六三五】求得数一百四十○为辛丁即外切圆半径计开

　　十二等面之数

　　设边一百　其容积七百六十八万二二一五

　　内容浑圆径一百二十二　外切浑圆径二百八十防法十二等面边求外切内容之立方及外切之立圆置十二等面边为理分中末之小分求其大分为内容立方边内容立方边自乘而三之开方得外切立圆全径

　　又置十二等面边为理分中末之小分求其全线为外切立方边

　　一率　理分中末之小分【三十八一九六六○一】　理分中末之大分二率　理分中末之大分【六十一八○三三九八】　理分中末之全分三率　十二等面之边

　　四率　内容小立方边　即大横线

　　又

　　一率　理分中末之小分

　　二率　理分中末之全分

　　三率　十二等面之边

　　四率　外切立方边

　　以十二等面边减外切立方边余为内容立方边以内容立方边加十二等面边即外切立方边

　　又防法但以十二等面边加大横线【即小立方边】　即外切立方边

　　立方内容十二等面算法　用理分中末线

　　此五等边面为十二等面之

　　一

　　巳为平面心　中为体心

　　寅卯为戌亥大横线之半【三十】

　　【○九○一六九九】卯中寅中为外切立方半径【五十】　戌亥为面之大横线【六十一八○三三九八】为理分中末之大分亦即内容小立方之根

　　巳寅巳卯俱平面容圆半径

　　巳中为内容立圆半径即分体中髙

　　丑中为外切立圆半径【亥中戌中并同】

　　设立方根一百为径　半径五十为寅中卯中　理分中未大分之半为寅卯【三十○九○一六九九】　又半之为寅子【一十五四五○八四九五】为理分中末大分四之一

　　一率　全数　　　　　　一○○○○○

　　二率　五十四度之割线　一七○一三○

　　三率　寅子　　　　　　【一十五四五○八四九五】

　　四率　寅巳【即卯巳】　　　　二六二八六五

　　求得卯巳为平面中垂线

　　一率　全数　　　　　　一○○○○○

　　二率　三十六度之切线　○七二六五四

　　三率　卯巳　　　　　　二十六二八六五

　　四率　卯丑【即半边】　　　　一十九○九八二

　　倍卯丑得丑亥边三十八【一九六四】即十二等面边乃理分中末大分之大分也以此知大横线与五等边为理分中末之全分与其大分之比例也

　　卯巳句幂【○六九○九八】　卯中幂【二五○○○○】相减为股幂一八○九○二　开方得巳中【四十二五三二五】为内容浑圆半径

　　卯丑句幂【○三六四七四一二四三】　卯中股幂【二五○○】　相并为幂【二八六四七四一二四三】　开方得丑中【五十三五二三二】为外切浑圆半径

　　丑亥巳卯相乘五因二除为面幂以乘巳中而四因之得十二等面积

　　简法

　　十二等面内容小立方【六十一八○三三九八】即理分中末之大分葢戌亥大横线倍大于寅卯故也　大横线即小立方之边

　　以大横线之幂三因之开方得亥中为外切浑圆半径【丑中同】

　　又立方根与所容十二等面边若全数与理分中末之小分

　　约法

　　立方根与其所容十二等面体内小立方之根若全数与理分中末之大分

　　凡立方外切浑圆则径上幂三倍于方幂

　　计开

　　立方设径一百

　　内容十二等面边三十八【一九六六○一】

　　内容小立方边六十一【八○三三九八】

　　外切浑圆径一百○七【○四六六二五】　即丑中亥中倍数外切浑圆半径【五十三五二三三】　即丑中亥中

　　内容浑圆半径四十二【五三二五】　即已中　为分体中髙内容浑圆全径八十三【○六五一】

　　内容二十等面边四十四【七二一一】

　　几何补编卷三

　　十二等面体分图　用理分中末线

　　辛戌亥五等边形为十二等面之一

　　寅卯防为边折半处中为体心

　　卯中为外切立方半径【设五十】

　　卯亢为外切立方全径【设一百】

　　寅卯线与卯中半径若理分中末之大分与其全数也在圆内为三十六度之分圆　辛癸辛戌等俱七十二度之分圆

　　乙巳为半径【己丑同】乙癸为三十六度之通

　　乙已半径与乙癸亦若理分中末一之全数与其大分也故乙已癸三角形与卯中寅相似

　　若取乙丙切线如乙癸之度则丙巳必同亥癸边【即七十二度通】折半于甲则甲乙为十八度正再于寅卯线取子壬如乙甲取壬癸如乙己半径引已子至癸中末乃自卯作线至中与壬癸平行因得寅中与卯中等则寅中卯即为横切之半面

　　一率　全数　　　　　一○○○○○

　　二率　三十六度割线　一二三六○七

　　三率　子寅　　　　　一十五【四五○八四九五】

　　四率　丑寅半边　　　一十九【○九八三】

　　倍丑寅得丑戌三十八【一九六六】与简法合

　　论曰凡十二等面从其半边之防【如寅如卯】聮为线以剖至体之心【中防】则所剖成寅中卯三角形平面必为全圆十之一即寅中卯角必三十六度而中寅或中卯两与寅卯底若理分中末之全分与其大分矣

　　又十二等面在立方形内必以卯中【或寅中】自心至边之线当立方之半径是立方半径与十二等面之寅卯线亦若理分中末之全与其大分也　若设立方半径一百则寅卯必六十一【八○三三九八】如理分中末之大分也今设立方全径一百其半径五十则寅卯亦必三十○【九○一六九九】如大分之半矣　寅卯二防既在【丑戌丑亥】两边之折半则戌亥大横线必倍大于寅卯而与理分中末大分之全相应为六十一【八○三三九八】　此皆设立方半径五十之数也而半径五十其全径必一百故知设径一百则十二等面之大横线必六十一【八○三三九八】而竟同理分中末大分之数也既得此大横线则诸线可以互知

　　试先求边　法为酉戌【半大横线】与丑戌等边若全数与三十

　　六度之余割线也

　　一率　全数　　　　　一○○○○○

　　二率　三十六度割线　一二三六○七

　　三率　酉戌半大横线　三十○【九○一六九九】

　　四率　丑戌全边　　　三十八【一九六六】

　　论曰五等边各自其角作线至心分形为五则各得七十二度角【如丑巳戌等其巳角皆七十二度】其半必三十六度【如寅已丑之巳角得戊已丑之半正三十六度】而丑戌酉与丑巳寅皆句股又同用丑角则戌角与巳角等为三十六度

　　十二等面求积

　　平面中垂线【卯己】二十六【二八六五】

　　边【即丑亥丑戌等】三十八一九【六六】　半边【即丑卯丑寅】一十九【○九八三】一面之平幂二千五百一十○【一三七○】

　　内容浑圆半径四十二【四三二五】　即分体五面立锥之中髙【已中】　中髙三之一一十四【一四四一】

　　分积三万五千四百九十五【八四七三】　其形为五面立锥其体积为十二之一

　　全积四十二万五千九百五十○【一六七六】

　　外切立方根一百　其积一百万

　　外切浑圆径一百○七【○四六六】

　　内容立方根六十一【八○三三九八】

　　外切立方与体内容立方径之比例若理分中末之全分与其大分

　　又若外切立方之外又切十二等面体体外又切大立方则大立方之径与今所算外切立方径亦若理分中末之全分与其大分而外切之十二等面与其内十二等面径亦必若理分中末之全分与其大分也

　　孔林宗云外立方与内立方之径为理分中末线全分与大分之比例是矣若内立方之内又容立圆则小立圆之径与小立方之径同而外浑圆与外立方之径不似未可以前比例齐之

　　若十二等面外切大立方大立方之外又切大立圆大立圆外又切十二等面则大立圆与内容小立圆亦必若理分中末之全分与其大分而外切十二等面与十二等面亦必若理分中末之全分与其大分何则皆外切立方与内容立方之比例也

　　十二等面容二十等面图

　　第一图

　　割十二等面之三平面一尖

　　成此形癸丑丙丑戊丑俱五

　　等边平面皆十二等面之一

　　【已庚辛各为其中心一防】

　　丑为三平面棱所聚之尖　亥丑戌丑乙丑俱平面边各为两平面所同用之棱　中为体心　巳中辛中庚中皆内切浑圆半径亦内容二十等面自尖至体心半径　巳卯庚卯巳寅辛寅辛壬俱平面中垂线　寅卯壬皆平面边折半之防

　　第二图

　　内容二十等面体各自其边

　　剖至心成此分体为内容体

　　二十分之一　辛庚巳三角

　　尖即十二等面之中心原防

　　此防以外俱剖而得甲防与卯防同在卯中线而甲在卯之下丁在寅下辰在壬下俱同

　　第三图

　　自卯防起依卯己卯庚二线

　　剖至体心中成此平面形卯

　　即原边折半处卯中即原体

　　外切立方之半径中即体心

　　已庚即原两平面之中心防今联为【已庚】线即内容二十等面之一边

　　已中庚即内切二十等面分体之立面乃三角锥体之一面　甲中为内切二十等面分体之斜垂线　观第二图可明【第二图角防居剖内三角之中心正对原体之丑尖而在其下故角中为内容分体之正髙而甲中为斜垂线也】

　　今求已庚线【即内容二十等面之边】

　　法于卯中【外切立方半径】内求甲中以相减得卯甲为股用与卯已【原体之面上中垂线】两幂相减开方得句为已甲倍之得巳庚

　　卯已中三角形

　　卯中即外切立方半径设五十为底

　　卯已即原体之平面中垂线二十六【二八六五】

　　巳中即内容浑圆半径亦即

　　内容二十等面分体之斜棱四

　　十二【五三二五】

　　以卯巳巳中两相减为较

　　相并为总以总乘较为实卯中底五十为法除之得亢中二十二【三六○六】以减卯中余二十七【六三九四】为亢卯折半得一十三【八一九七】为卯甲

　　计开

　　立方根设一百其半五十【即卯中】亦为十二等面自体心至边

　　十二等面之平面中垂线【即卯巳】二十六【二八六五】

　　十二等面内容浑圆半径【即已中】四十二【五三二五】亦为内容二十等面自尖角至体心分体以为锥体之棱

　　卯巳已中之较一十六【二四六○】　总六十八【八一九○】

　　较总相乘一千一百一十八【○三三四】为实　卯中五十为法除之得中亢二十二【三六○六】　以中亢减卯中五十余二十七【六三九四】为亢卯折半得一十三【八一九七】为卯甲以卯甲减卯中余三十六【一八○三】为甲中即内容二十等面分体之斜垂线

　　卯巳自乘得六百九十○【九八○○】为幂

　　卯甲自乘得一百九十○【九八

　　四一】为股幂　相减余四百九

　　十九【九九五九】为勾幂　开方得

　　巳甲二十二【三六○五】　倍之得

　　巳庚四十四【七二一一】即为内容二十等面边

　　此法甚确亦且甚防无可疑者偶于枕上又思得一法借灯体分形之三角锥以求十二等面内容二十等面分体之三角锥是以锥体相截而知其所截之

　　边即为内容二十等面之边

　　第一图

　　丑为三平面所聚之尖　丑

　　戌丑亥丑乙皆两平面同用

　　之棱　巳庚辛皆五等边平

　　面之心　己寅己卯等皆平面心至边垂线　已牛丑为平面心对角线　寅卯壬皆平面边折半之防　寅中卯中壬中为体心至边线即外切立方半径　中为心

　　第二图

　　聮寅卯卯壬壬寅三线为平

　　三角面横剖之又各依寅中

　　卯中壬中线剖至体心中则

　　成三角锥体二其一为丑寅

　　卯壬体是三角锥而稍扁者也其一为寅卯壬中体是三角锥而稍长者也其寅卯壬三角平面为扁形之底又为长形之面其寅卯等线与寅中卯中之比例皆若理分中末之大分与其全分也其扁形锥既剖而去则成圆灯所存长锥即灯形分体之一平面心之防为斗在丑尖下与牛防平故丑牛为则斗牛如勾而丑牛之距如股也

　　第三图

　　又于圆灯分体剖去辰甲丁

　　之一截则成甲丁辰中三角

　　锥乃十二等面内容二十等

　　面分体中之分体其辰甲丁面与巳庚辛脗合为一葢巳庚辛者内容二十等面之一面各于边折半为甲丁辰而聮之为线则成小三角于中故辰丁等线皆居巳庚线之半而甲中原为二十等面分体之斜垂线者今则为三角锥之楞

　　第四图

　　己牛丑即原平面从心至角

　　尖之线丑斗角中即原体自

　　尖至中心之线又为外切浑圆半径

　　依第二图截丑巳于牛而横剖之亦截丑中于斗成丑斗牛勾股形　又依第三图截斗中于角成丑角巳勾股形此两勾股相似而比例等

　　法为丑牛与丑斗若丑巳与丑角也

　　第五图

　　寅中卯三角形为圆灯分体

　　之立面截为甲丁中三角形

　　此两形相似而比例等　法为卯中与卯寅若甲中与甲丁也

　　又斗中为圆灯分体之中髙其平面为寅卯壬角中为截体之中髙其平面为丁甲辰此两体相似而线之比例等　法为斗中髙与寅卯濶若角中髙与甲丁濶先求丑斗髙

　　用截去扁三角锥以牛卯【即寅卯之半】自乗幂三分加一以减丑卯幂为丑斗幂开方得丑斗高

　　次求丑角髙

　　用巳丑对角线乗丑斗以丑牛除之得丑角髙　其丑牛线以牛卯幂减丑卯幂开方得丑牛　巳寅丑寅两幂并开方为己丑

　　末求巳庚线

　　用丑角减丑中得角中　又用丑斗减丑中得斗中以角中乘寅卯以斗中除之得甲丁倍甲丁得己庚为内容二十等面之边

　　理分中末线　以量代算

　　先以巳为心作图而匀分其

　　边为五作甲庚乙丙丁五等

　　边平面【即十二等面之一面】

　　乙丁为大横线设一百甲庚

　　等边必六十一【八○三三九八】为大横线理分中末之大分若乙丁大横线设六十一【八○三三九八】则甲庚等边必三十八【一九六六】亦为大横线理分中末之大分

　　设立方一百　内容十二等面边三十八【一九六六】为理分中末之小分亦即大分之大分

　　十二等面内又容小立方其边与十二等面之大横线等六十一【八○三三九八】为大立方边一百与十二等面边三十八【一九六六】之中率何也大立方一百乘十二等面边三十八【一九六六】开方得根即小立方及大横线六十一【八○三三九八】

　　若大横线自乗之幂以十二等面边除之即仍得外立方根而以外立方根除大横线幂必仍得十二等面之边矣

　　求理分中末线防法　用前图

　　作五等边平面　求其大横线【乙丁】　聮两角为线即得之

　　次以大横线之一端【如乙】为心其又一端【如丁】为界作丁戊圆分乃引五等边与圆分相遇【如引乙丙至戊与圆分遇于戊】则相遇处【如戊】至圆心【如乙】为全分【即乙戊亦即乙丁大横线】原边为大分【即乙丙】引出余边为小分【即丙戊】

　　又法

　　作平三角使两角【如戊如丁】俱倍大于一角【如乙】末乃破一倍

　　角平分之作线至一边【如平分丁

　　角为两作丁丙线至乙戊边】则其斜线即

　　为理分中末之大分【即丁丙也】

　　解曰倍破角则与小角等【如破丁角为两皆与乙角等】而乙丙丁形之乙丁两角同大则【乙丙丁丙】两亦同大而乙丙既为大分丁丙亦为大分矣准此又破丙角可以递求于无穷诸体比例

　　凡诸体之比例有三

　　一曰同边之比例可以求积

　　一曰同积之比例可以求边

　　一曰相容之比例可以互知

　　内相容之比例亦有三

　　一曰立圆内容诸体之比例　所容体又容立圆一曰立方内容诸体之比例　所容体又容立方一曰诸体自相容之比例【即同径同髙之比例】或或两体互相容或数体递相容

　　等积之比例　比例规解所用今攷定

　　立方积　　　一○○○○○○　其边一百

　　四等面积　　一○○○○○○　其边二百○四八等面积　　一○○○○○○　其边一百二十八十二等面积　一○○○○○○　其边五十

　　二十等面积　一○○○○○○　其边七十七方灯

　　圆灯

　　凡方灯依楞剖之纵横斜侧皆六等边平面凡圆灯依楞剖之纵横斜侧皆十等边平面故皆有法形体

　　等边之比例　测量全义所用今攷定

　　立方边　　一○○　　　　积一○○○○○○方灯体边　○七○七一○六积○八三三三三三

　　边　一○○　　　　　积二三五七○二一

　　八等面边　○七○七一○六　积○一六六六六六

　　边　一○○　　　　　积○四七一四○四

　　四等面边　一○○　　　　　积○一一七八五一

　　十二等面边一○○　　　　　积七六八二二一五

　　二十等面边一○○　　　　　积二一八一八二二圆灯体边　○三○九○一七　积○二九○九二九

　　边　一○○　　　　　积○九八五九一六

　　等径之比例　　　皆立方所容

　　立方径　　　　一○○积一○○○○○○　边【一○○】内容方灯径　　一○○积○八三三三三三　边【○七○七一○六】内容四等面径　一○○积○三三三三三三　边【一四一四二一三】内容八等面径　一○○积○一六六六六六　边【○七○七一○六】内容立圆径　　一○○积○五二三八○九

　　内容二十等面径一○○积○五一五二二六　边【○六一八○三四】内容十二等面径一○○积○四二五九五○　边【○三八一九六六】内容圆灯径　一○○积○二九○九二九　边【○三○九○一七】右以立方为主而求诸体

　　内立方及灯体之径为自面至面

　　四等面十二等面二十等面之径皆自边至边【以边折半处作垂线至对边折半处形如工字四等面则上下边遥相午错如十字】

　　八等面之径为自尖至尖　然皆以其径之两端正切于立方方面之中心一立方面其相切亦必六求积约法

　　凡立方内容诸体皆与立方之六面同髙同濶　则灯形积为立方积六之五　四等面积为立方积三之一八等面积为立方积六之一　以上三者皆方斜比

　　例

　　灯形及八等面皆以方求斜法以边自乘倍之开方得外切立方径以径再自乘得立方积取六之五为灯六之一为八等面积

　　四等面则以方求其半斜法以边自乘半之开方得外切立方径以径再自乘为立方积取三之一为四等面积

　　立圆在立方内则其积为立方积二十一之十一谨按方圆比例祖率圆径一百一十三圆周三百五十五见郑世子律学新説较径七周二十二之率为宻又今推平圆居平方四百五十二分之三百五十五较十四分之十一为宻又推得立圆居立方六百七十八分之三百五十五较二十一分之十一为宻

　　准立方比例以求各体自相比　皆以同髙同阔同为立方所容者较其积

　　灯内容同髙之八等面　为八等面得灯积五之一又立圆内容同髙之八等面　为八等面得圆积六十六之二十一【即二十二之七】　二者皆同髙而又能相容用课分法母互乘子得之

　　准此而知立圆内容八等面其积之比例若围与径也

　　又立方内容十二等面其内又容八等面　又立方内容二十等面其内又容八等面　二者亦同髙而能相容

　　同髙之四等面积为灯积五之二【即十之四　以灯面四因退位得四等面积】同髙之八等面积为四等面积二之一

　　同髙之四等面积为立圆积十一之七

　　此三者但以同髙同为立方所容而不能自相容若相容则不同髙

　　凡立方之灯形内又容立方则内小立方边与径得外立方三之二体积为二十七之八面幂为九之四凡灯容立方以其边为方而求其斜为外切之立方边取方斜三之二为内立方边

　　立方边一○○　　　　　　面幂一○○○○　　　体积【一○○○○○○】

　　灯边　　○七○七一○六　面幂○五○○　　　　体积【○八三三三三三】小立方边○六六六六六六　面幂○四四四四四四　体积【○二九六二九六】凡方内容圆圆内又容方则内小方之幂得大方三之一防法以小方根倍之为等边三角形之边而求其中垂线即外切立圆之径亦即为外大方之边

　　如图三边既等则乙丙得甲丙之半若乙丙一其幂亦一而甲丙二其幂则四以乙丙句幂一减甲丙幂四所余

　　为甲乙股幂三

　　内方之幂一而外切浑圆之

　　幂三故其根亦如乙丙与甲

　　乙也　或以小立方之根为句倍根为求其股为外切浑圆径亦同【浑圆径即外方边】

　　若以量代算则三角形便

　　如以大方求小方者则以大方为中垂线而作等边三角形其半边即小方根也

　　或用大方为股而作句股形使其句为之半即得之防法句股形使甲角半于丙角则倍于句而句与股如小立方根与大方根

　　或以甲角作三十度而自乙作垂线引之与甲丙线遇于丙则乙丙即圆所容方之根

　　又按先有大方求小方者取大方根倍之为等边三角形之边而求其中垂线以三归之即得

　　凡立方内容方灯灯内又容立圆圆内又容圆灯灯内又容八等面凡四重在内其外切于立方也皆同防【切立方有六处所同者皆在其方面之最中一防若从此一防刺一针则五层悉透内惟方灯以面切面不可言防若言防则有十二皆切在立方边折半处】

　　凡立方内容方灯灯内又容十二等面体体内又容圆灯灯内又容八等面凡四重在内其切于立方也皆同处【凡六处皆在立方面内方灯体以面切面十二等面以边切余皆以尖切尖切者皆每面之最中防】凡立方内容方灯灯内又容二十等面体体内又容圆灯灯内又容八等面同上

　　凡立方方灯立圆十二等面二十等面圆灯内所容之八等面皆同大

　　凡立方内容四等面体体内又容八等面其切立方皆同处【四等面以边切为立方六面之斜八等面以尖切居立方各面中心即四等面边折半处】准此而知立方内所容之八等面与四等面所容之八等面亦同大且同髙各体中所容八等面皆同大因此可知

　　凡立圆内容十二等面体　又容立方其立方之角同十二等面之尖而切于立圆故立圆内所容之立方与十二等面内所容之立方同大

　　凡二十等面体内容立圆　内又容立方立方之角切立圆以切二十等面之面故立圆所容之立方与二十等面内所容之立方必同大

　　凡二十等面体内容立圆　内又容十二等面体体内又容立方此立方之角切十二等面之角以切立圆而切于二十等面之面皆同处

　　凡诸体能相容者其相容之中间皆可容立圆此立圆为外体之内切圆亦为内体之外切圆

　　惟八等面外切二十等面十二等面四等面及圆灯其中间难着立圆何也八等面之切圆灯以尖切尖而其切四等面十二等面二十等面则以尖切边故其中间不能容立圆

　　其他相切之中间能容立圆者皆以内之尖切外之面凡诸体在立方内即不能外切他体惟四等面在立方内能以其角同立方之角切他体故诸体所容四等面之边皆与其所容立方之面为斜线

　　凡诸体相容其在内之体为所容其在外之体为能容能容与所容两体之相�%8