为什么我们需要极限和无穷小？

许多数学课程在没有任何背景的情况下就直接讨论极限、无穷小和非常小的数 。但我们为什么要关心这个呢？

数学帮助我们模拟世界。我们可以将一个复杂的想法（波浪形曲线）分解为更简单的部分（矩形）：但是，我们需要一个精确的模型。矩形越细，模型越精确。由矩形构建的简单模型比直接处理复杂的波浪形更容易分析。

棘手的部分是制作一个像样的模型。极限和无穷小量可帮助我们创建易于使用的模型，同时又具有与原始模型相同的属性（长度、面积等）。

零的悖论

将曲线分解成矩形存在一个问题：我们如何得到薄到难以察觉的切片，但又大到可以“存在”呢？如果切片太小而无法注意到（零宽度），那么模型看起来与原始形状完全相同（我们看不到任何矩形！）。现在没有任何好处——“简单”模型与原始模型一样复杂！此外，添加零宽度切片不会给我们带来任何好处。

如果切片很小但可以测量，幻觉就会消失。我们发现我们的模型是锯齿状近似，并不准确。数学家该怎么办？

我们想要两全其美：切片足够薄以至于我们看不到它们（对于精确的模型）和切片足够厚以创建一个更简单、更易于分析的模型。一个两难的境地就在眼前！

解决方案：零是相对的

零的概念受我们的期望所影响。不妨想一想0 + i这个纯虚数和零一样吗？那么，当我们在实数轴上时，“i”看起来确实像零：i 的“实部”，Re(i)，确实是0。纯虚数还能去哪里呢？你看，对于“为零和非零”悖论，目前为止有两个答案：

• 允许另一个维度：在我们的维度中测量为零的数字实际上可能很小，但在另一个维度中却不为零

• 接受不完美：测量结果为零的数字在更高准确度水平上可能为非零；说某个东西是“零”实际上意味着“它是 0 +/- 我们的测量误差”（极限方法）

这些方法弥合了“对我们来说为零”和“更高精度水平上的非零”之间的差距。

极限与无穷小概述

让我们看看每种方法如何将曲线分解为矩形：

• 极限： “告诉我你的误差范围（我知道你有误差范围),我会给你画一条曲线。你的尺子上最小的单位是什么？厘米？好吧，我会在毫米级别给你画一条阶梯状曲线，你永远不会知道。哦，你有一把毫米尺，是吗？我会用纳米画曲线。无论你的精确度如何，我都更胜一筹。你永远看不到阶梯。”

• 无穷小： “忘记精确度吧：我将在一个无限小的维度上制作曲线。这种精确度完全超出了你的范围——我处于亚原子水平，这就像从真实平面到达假想平面——你根本做不到。对你来说，我在亚原子水平上制作的矩形是你见过的最完美的曲线。”

极限存在于我们的维度中，但其精确度“刚好足够”，以维持完美模型的假象。无穷小量在另一个维度中构建模型，它在我们的维度中看起来非常准确。这两种方法的诀窍在于，较简单的模型超出了我们的准确度。我们可能知道模型有锯齿，但我们无法分辨出差异——我们所做的任何测试都表明模型和真实物品是相同的。

我们总是被“不完美但有用”的模型欺骗：

• 音频文件不包含原始信号的所有信息。但是你能区分高品质mp3 和另一个房间里的人说话的声音吗？

• 计算机打印件由非常小的单个点组成，无法看见。你能区分手写笔记和高质量打印件吗？

• 视频以每秒24次的速度显示静态图像。这个“不完美”的模型速度足够快，可以欺骗我们的大脑看到流畅的运动。

这种情况一直持续着。我们抵制这种做法，因为我们认为的需要精确度。但音频和视频工程师知道，他们不需要完美的复制，只要质量好到足以让我们误以为这是原版就行。微积分让我们能够在数学中建立这些技术上不完善但“足够准确”的模型。

在另一个维度上工作

在使用简化模型进行推理时，我们需要小心谨慎。我们需要在更高精度的水平上“完成我们的工作”，并将最终结果带回我们的世界。如果我们不这样做，我们就会丢失信息。

假设虚数 (i) 访问实数轴。每个人都认为它是零：毕竟，Re(i) = 0。但是i 却有妙招！求我的平方！他说，然后他们就这么做了：“i * i = -1”，其他数字都大吃一惊。

对于实数来说，“0*0=-1”似乎是一个巨大的悖论。

但他们的困惑源自他们的观点——他们只认为它是“0 * 0 = -1”。是的，Re(i) * Re(i) = 0，但这不是运算！我们想要 Re(i * i)，这完全不同！我们在自己的维度上对i求平方，然后将结果带回我们的维度。我们需要对虚数 i求平方，而不是 0，即我们对i的理解。

小心微积分中的类似错误：我们处理的微小数字在我们看来就像零，但我们不能假设它们是零（就像把i当作 0 一样）。不，我们需要在另一个维度上“做数学运算”，然后将结果转换回来。

极限和无穷小对于如何进行这种转换有不同的看法：

• 极限：以超出你检测范围的精度水平（毫米）进行“计算”，并将其带回到你的刻度数字（厘米）

• 无穷小：在不同的维度上“进行计算”，然后将其带回“标准”维度（就像取复数的实部一样；取超实数的“标准”部分——稍后会详细介绍）

从来没有人告诉我：微积分可以让你以更高的准确度、更简单的模型进行工作，并将结果带回我们的世界。

真实例子：sin(x) / x

让我们尝试一个概念性的例子。假设我们想知道 sin(x) / x 在零时会发生什么。现在，如果我们只代入 x = 0，我们会得到一个无意义的结果：sin(0) = 0，所以我们得到 0 / 0，它可以是任何东西。

让我们回顾一下：“x = 0”在我们的世界中意味着什么？好吧，如果我们允许存在更高水平的准确性，我们知道这一点：

• 看起来为零的东西在另一个维度上可能不是零（就像i对我们来说看起来是 0，但实际上不是）

我们要说的是，在这种更高的精度水平下，x可以非常非常接近零，但不是“真正的零”。直观地讲，你可以将x视为 0.0000…00001，其中“…”是足够多的零，让你不再检测到这个数字。

在极限项中，我们说 x = 0+delta，一个让我们保持在误差范围内的微小变化）；在无穷小项中，我们说 x = 0 +h，其中h是一个微小的超实数，称为无穷小）

好的，我们的x位于“对我们来说为零，但实际上并非如此”的位置。现在我们需要一个更简单的 sin(x) 模型。为什么？好吧，正弦是一个疯狂的重复曲线，很难知道发生了什么。但事实证明，直线是短距离曲线的极好模型

就像我们可以将填充形状分解成小矩形以使其更简单一样，我们可以将曲线分解成一系列线段。在0附近，sin(x) 看起来像直线“x”。因此，我们将 sin(x) 与直线“x”替换。新的比率是多少？

嗯，“x/x” 等于 1。请记住，我们实际上并不是除以零，因为在这个超精确的世界中：x 很小但非零（0 + d 或 0 + h）。当我们“取极限”或“取标准部分”时，意味着我们进行数学运算（x / x = 1），然后找到我们世界中最接近的数字，因此，当 sin(x) / x 趋近于零时，我们得到的结果是 1 — 也就是说，我们让x尽可能小，这样对我们来说它就变成0。如果x变成纯粹的、真正的零，那么这个比率将是不确定的，但我们永远无法确定我们是否处于完美的零 — 像 0.0000…0001 这样的东西对我们来说看起来像是零。因此，据我们所知，“sin(x)/x”看起来像“x/x = 1”。

注意事项：这个技巧并不总是有效

有些函数确实“跳跃性”很强——它们可能在无穷小的层面上存在差异。这意味着我们无法可靠地将它们带回我们的世界。看起来该函数在微观层面上不稳定，并且表现得不“平稳”。

极限的严格部分是找出哪些函数表现良好，以便可以建立简单而准确的模型。幸运的是，世界上大多数自然函数 (x、x 2、sin、e^x ) 表现良好，可以用微积分建模。

极限还是无穷小？

从逻辑上讲，这两种方法都解决了“零和非零”的问题。我喜欢无穷小量，因为它们允许“另一个维度”，无穷小量是微积分直觉的基础，并出现在物理学和其他使用它的学科中。

这不是一门分析课，但数学这个伟大的机器人可以保证无穷小量具有严格的基础。我知道有些想法很棘手，也很矛盾，这个关于“有时为零，有时为非零”的著名难题是对微积分的著名批评。由于结果有效，它基本上被忽视了，但在19 世纪，极限被引入以真正解决这个难题。我们今天学习极限，但不了解它们试图解决的问题的性质！

我们的目标不是做数学，而是理解数学。理解微积分的很大一部分是认识到超出我们精度范围的简单模型在我们的维度上看起来“很好”。