高二新定义压轴是新教材中的圆

（建议关闭深色模式后阅读）

1222期高二新定义压轴是新教材中的圆

该篇素材选自高二月考卷，来自湖南名校长郡中学25届高二10月联考第19题。该题是以阿波罗尼斯圆为背景的解析几何题，其实就是一道圆和直线问题，非常简单。之所以讲此题，是因为阿波罗尼斯圆在新教材中也有（如下文），因此同学们需要熟悉掌握！

• 一、这道以阿波罗尼斯圆为背景的压轴题
• 二、新教材中到两定点距离之商为定值的曲线
• 1、表示圆
• 2、表示直线
• 三、阿波罗尼斯圆定义与7性质
• 1、阿波罗尼斯圆的定义
• 2、阿波罗尼斯圆的证明
• 3、阿波罗尼斯圆的相关性质
• 四、阿波罗尼斯圆模考题
• 五、隐藏的阿波罗尼斯圆

一、这道以阿波罗尼斯圆为背景的压轴题

【长郡中学25届高二10月联考T19】 古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数 （ ） 的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆. 已知点 到 的距离是点 到 的距离的 倍.（关注微信公众号：Hi数学派）
（1） 求点 的轨迹 的方程；
（2） 过点 作直线 ，交轨迹 于 两点， 不在 轴上.
（i） 过点 作与直线 垂直的直线 ，交轨迹 于 两点，记四边形 的面积为 ，求 的最大值；
（ii） 设轨迹 与 轴正半轴的交点为 ，直线 ， 相交于点 ，试证明点 在定直线上，求出该直线方程.

解析：

（1） 设点 ，由题意可得 ，即

化简可得

所以点 的轨迹 的方程为

（2）

由题易知直线 的斜率 存在，设直线 的方程为 ,即

则圆心 到直线 的距离

所以

图 1

（i） 若 ，则直线 的斜率不存在

易得 ， ，则

若 ，则直线 的方程为 ，即

则圆心 到直线 的距离

所以（关注微信公众号：Hi数学派）

则

当且仅当 ，即 时，取等号

因为 ，所以 的最大值为

（ii） 易知 ，设 ，

图 2

联立

消 得

由韦达定理得

所以

所以直线 的方程为

直线 的方程为

联立（关注微信公众号：Hi数学派）

解得

则

所以

所以点 在定直线 上.

二、新教材中到两定点距离之商为定值的曲线

1、表示圆

在人教 A 版新教材选择性必修第一册第97页中给出了到两定点距离之商的曲线——

平面内到定点 、 的距离 之商 为常数（大于 且不等于   ）的点的轨迹是阿波罗尼斯圆

注1： 距离不存在负数，所以该常数不可能小于 ；另外，当到定点 、 的距离 之商 等于 时，只能表示 一点。

2、表示直线

注2： 当到定点 、 的距离 之商 等于 时，表示线段 的中垂线（关注微信公众号：Hi数学派）

三、阿波罗尼斯圆定义与7性质

阿波罗尼斯（Apollonius约公元前262~192），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠．阿波罗尼斯年青时到亚历山大城跟随欧几里得的后继者学习，和当时的大数学家合作研究．他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一．

图 3. 阿波罗尼斯与《圆锥曲线论》

1、阿波罗尼斯圆的定义

【定义】 在平面上给定两点 ，设点 在同一平面上且满足 ，当 且 时， 点的轨迹是个圆，称之为 阿波罗尼斯圆 （ 时 点的轨迹是线段 的中垂线）．（关注微信公众号：Hi数学派）

图 4. 阿波罗尼斯圆

2、阿波罗尼斯圆的证明

【定理1】 设 ，，．若 （ 且 ），则点 的轨迹方程是（关注微信公众号：Hi数学派）

其轨迹是以 为圆心，半径为 的圆 ．

证明： 由 及两点间距离公式，可得

化简可得

（1） 当 时，得 ，此时动点的轨迹是线段 的垂直平分线；

（2） 当 时，方程 两边都除以 得

化为标准形式即为：（关注微信公众号：Hi数学派）

∴点 的轨迹方程是以 为圆心，半径为 的圆 ．

阿波罗尼斯圆的另一种形式：

【定理2】 为两已知点， 分别为线段 的定比为 （） 的内外分点，则以 为直径的圆 上任意点 到 两点的距离之比为 ，如下图 5 .

图 5

证明： 如图 6，以 为例，

设   ， ，

则 ， ，

因为（关注微信公众号：Hi数学派）

图 6

过 作 的垂线交圆 于 两点，

由相交弦定理及勾股定理得

于是 ，

所以

因为 同时在到 两点距离之比等于 的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，

所以圆 上任意一点 到 两点的距离之比恒为 ．同理可证 的情形．

3、阿波罗尼斯圆的相关性质

由上面 【定理2】 的证明可得如下的性质：

性质1： 当 时，点 在圆 内，点 在圆 外；当 时，点 在圆 内，点 在圆 外．

性质2： 因 ，故 是圆的一条切线．若已知圆及圆外一点 ，可以作出与之对应的点 ，反之亦然．

性质3： 所作出的阿波罗尼斯圆的直径为 ，面积为 ．

性质4： 三角形 的面积存在最大值，即当 时，三角形  取得最大值（关注微信公众号：Hi数学派）

性质5： 过点 作圆 的切线 （ 为切点），则 ， 分别为 的内、外角平分线．

性质6： 阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分 和外分 所得的两个分点，如图4所示， 是 的内分点， 是 的外分点，此时必有 平分 ， 平分 的外角．

证明： 如图 5，由已知可得 （ 且 ），

，

又 ，

，即

所以 平分

由等角的余角相等可得 ，所以 平分 的外角．

性质7： 过点 作圆 不与 重合的弦 ，则 平分 ．

图 7

证明： 如图 7，连结 ， ，

由已知 （ 且 ），

（关注微信公众号：Hi数学派）

又 ，

，

所以 平分 ．

四、阿波罗尼斯圆模考题

【山东青岛25届高三期初调研T14】 正方体 的棱长为 ， 是侧面 （包括边界）上一动点， 是棱 上一点，若 ，且 的面积是 面积的 倍，则三棱锥 体积的最大值是______.

图 8

解析：

是正方体

平面 ， 平面