【原】无穷远点的洛朗展开

cosmos2062 2025-04-11 发布于广东

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简单地讨论了在无穷远点的邻域做洛朗展开的问题，并对无穷远点的奇异性质给出了实例说明。

我们已经详细地讨论过在解析函数的奇点的邻域做洛朗展开这个问题。但是，在这些讨论中，作为展开点的奇点都位于复平面的有限远处。如果无穷远点是函数的奇点，而函数在无穷远点的空心邻域内解析，也可以把无穷远点当展开点做洛朗展开。

与泰勒展开的情况相似，在无穷远点对解析函数做洛朗展开，要先对自变量做变换 $z=1/t$ ，把函数改写成以 $t$ 为自变量的形式： $g(t)=f(1/t)$ ，将变换后的函数在 $t=0$ 处做洛朗展开，然后再把自变量由 $t$ 变回 $z$ ，这些步骤与泰勒展开是相同的。

由于 $t=0$ 是函数的奇点，其展开式必定是这样的： $\begin{equation}\notag g(t)=f(\frac{1}{t})=\sum_{n=-\infty}^\infty a_nt^n\ ,\ 0<|t|<r \end{equation}$ 公式中的展开系数 $\begin{equation}\notag a_n=\frac{1}{2\pi{\rm i}}\oint\limits_{C}\frac{g(\zeta)}{\zeta^{n+1}}{\rm d}\zeta\notag \end{equation}$ 其中 $C$ 是围绕 $t=0$ 的任意一条闭合曲线，在该闭合曲线内没有别的奇点。于是，得到了原来的函数在无穷远点的洛朗展开： $\begin{equation}\notag f(z)=\sum_{k=-\infty}^\infty a_{-k}z^k\ ,\ \frac{1}{r}<|z|<0 \end{equation}$ 结果发现，函数在无穷远点的洛朗展开在形式上与原点处的展开完全相同，只是收敛范围的表达式不一样。

我们看到，无论是泰勒展开还是洛朗展开，对于无穷远点，当我们把解析函数的自变量做了变换 $z=1/t$ ，使函数的形式从 $f(z)$ 变成 $g(t)=f(1/t)$ 后，对 $g(t)$ 做展开的方法与对 $f(z)$ 做展开的方法是相同的。由于这个原因，在无穷远点的级数展开并不是一个新的问题，我们将不再赘述。

既然在对自变量做了变换 $z=1/t$ 后，无穷远点与一个普通的点没有区别，那么，作为一个奇点，对它的奇异性质的讨论自然与别的有限远处的奇点一样了。

一个简单的例子是讨论函数 $\begin{equation}\notag f(z)=\frac{1}{1+z}\end{equation}$ 在无穷远处的行为。为了解决这个问题，先对自变量做变换 $z=1/t$ ，将函数改写成以 $t$ 为自变量的函数：
$\begin{equation}\notag g(t)=f(\frac{1}{t})=\frac{1}{1+\frac{1}{t}}\end{equation}$ 显然， $t=0$ 是这个函数的奇点。把变换后的式子稍作整理并展开成幂级数： $\begin{align}g(t)&=\frac{t}{1+t}=t\cdot\sum_{n=0}^\infty(-t)^n\notag\\&=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nt^{n+1}\notag\end{align}$ 我们看到， $t=0$ 处的奇异性已经消失。因此，无穷远点是这个函数的可去奇点。

再来看下面这个函数： $\begin{equation}\notag f(z)=1+z^2 \end{equation}$ 对自变量做变换 $z=1/t$ ，函数被改写成 $\begin{equation}\notag g(t)=f(\frac{1}{t})=1+\frac{1}{t^2} \end{equation}$ 结果发现， $t=0$ ，或者说无穷远点是该函数的二阶极点。

对 ${\rm e}$ 指数函数，无穷远点则是第三类奇点的代表： $\begin{equation}\notag {\rm e}^z={\rm e}^{\frac{1}{t}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\frac{1}{t^n} \end{equation}$ 这个函数在 $t=0$ 处是奇异的，并且展开式有无穷个负幂项，无穷远点是这个函数的本性奇点。