【原】勒让德方程在原点邻域的级数解

cosmos2062 2025-05-12 发布于广东

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讨论勒让德方程在原点邻域的泰勒级数解的具体形式。

我们已经在原点的邻域将勒让德方程的解展开成幂级数，得到了级数的各次幂项的系数之间的递推关系： $\begin{align}c_{k+2}&=\frac{k(k+1)-l(l+1)}{(k+1)(k+2)}c_k\notag\\&=\frac{(k-l)(k+l+1)}{(k+1)(k+2)}c_k\notag\end{align}$ 接下来，让我们尝试通过以上递推关系把所有系数求出来。

在递推关系中，令 $k=0$ ，就得到 $c_2$ 的表达式： $\begin{equation}\notag c_2=\frac{(0-l)(l+1)}{2}c_0=\frac{-l(l+1)}{2}c_0\end{equation}$ 再令 $k=2$ ，并考虑到已经求得的 $c_2$ ，就得到 $c_4$ ： $\begin{align}c_4&=\frac{(2-l)(l+3)}{4·3}c_2\notag\\&=-\frac{-l(2-l)(l+1)(l+3)}{4·3·2}c_0\notag\end{align}$ 按照这个程序，令 $k=4$ ，可以得到 $c_6$ ： $\begin{align}c_6&=\frac{(4-l)(l+5)}{6·5}c_4\notag\\&=-\frac{-l(2-l)(4-l)(l+1)(l+3)(l+5)}{6·5·4·3·2}c_0\notag\end{align}$ 到此为止，我们已经基本上看出偶幂项系数的表达式遵循怎样的规律了： $\begin{equation}\notag c_{2n}=\frac{1}{(2n)!}\left\{\begin{array}{cc}(-l)(2-l)(4-l)\cdots(2n-2-l)\times\\(l+1)(l+3)(l+5)\cdots(l+2n-1)\end{array}\right\}c_0\end{equation}$ 为了书写上的简便，我们尝试把这个系数表达式做一些整理： $\begin{align}c_{2n}&=\frac{2^{2n}}{(2n)!}\left(-\frac{l}{2}\right)\left(1-\frac{l}{2}\right)\left(2-\frac{l}{2}\right)\cdots\left(n-1-\frac{l}{2}\right)\times\notag\\&\left(\frac{l+1}{2}\right)\left(\frac{l+1}{2}+1\right)\left(\frac{l+1}{2}+2\right)\cdots\left(\frac{l+1}{2}+n-1\right)c_0\notag\end{align}$ 引入一个简记符号： $\begin{equation}\notag(\lambda)_n=\lambda(\lambda+1)(\lambda+2)\cdots(\lambda+n-1)\end{equation}$ 不难验证，当 $\lambda=1$ 时， $(1)_n=n!$ 。引入简记符号 $(\lambda)_n$ 后，偶幂项系数的上述表达式就可以写成以下简洁的形式： $\begin{equation}\notag c_{2n}=\frac{2^{2n}}{(2n)!}\left(-\frac{l}{2}\right)_n\left(\frac{l+1}{2}\right)_nc_0\end{equation}$ 再来看奇幂项的系数。令 $k=1$ ，由递推关系给出 $c_3$ ： $\begin{equation}\notag c_3=\frac{(1-l)(l+2)}{3·2}c_1\end{equation}$ 令 $k=3$ ，由递推关系及 $c_3$ 的表达式可以得到 $c_5$ ： $\begin{align}c_5&=\frac{(3-l)(l+4)}{5·4}c_3\notag\\&=-\frac{(1-l)(3-l)(l+2)(l+4)}{5·4·3·2}c_1\notag\end{align}$ 依此类推，令 $k=5$ ，可以得到 $\begin{align}c_7&=\frac{(5-l)(l+6)}{7·6}c_5\notag\\&=-\frac{(1-l)(3-l)(5-l)(l+2)(l+4)(l+6)}{7·6·5·4·3·2}c_1\notag\end{align}$ 由此可以发现奇幂项系数的构成规律： $\begin{equation}\notag c_{2n+1}=\frac{1}{(2n)!}\left\{\begin{array}{cc}(1-l)(3-l)(5-l)\cdots(2n-1-l)\times\\(l+2)(l+4)(l+6)\cdots(l+2n)\end{array}\right\}c_1\end{equation}$ 与偶幂项的情况相似，把上述表达式稍加整理后就得到一个简洁的表达式： $\begin{align} c_{2n+1}&=\frac{2^{2n}}{(2n+1)!}\left(\frac{1-l}{2}\right)\left(1+\frac{1-l}{2}\right)\left(2+\frac{1-l}{2}\right)\cdots\left(n-1+\frac{1-l}{2}\right)\times\notag\ &\qquad\qquad\quad\ \ \left(\frac{l+2}{2}\right)\left(\frac{l+2}{2}+1\right)\left(\frac{l+2}{2}+2\right)\cdots\left(\frac{l+2}{2}+n-1\right)c_1\notag\ &=\frac{2^{2n}}{(2n+1)!}\left(\frac{1-l}{2}\right)_n\left(\frac{l+2}{2}\right)_nc_1\notag \end{align}$ 由递推关系可以明显地看出，奇幂项和偶幂项的系数相互之间并没有联系，这个结果导致级数的奇幂项和偶幂项完全独立。于是，可以将级数分解成奇幂项与偶幂项之和： $\begin{equation}\notag w(z)=\sum_{k=0}^\infty c_{2k}z^{2k}+\sum_{k=0}^\infty c_{2k+1}z^{2k+1} \end{equation}$ 利用系数的递推关系把偶幂项的系数用 $c_0$ 表示，奇幂项的系数用 $c_1$ 表示，方程的解就可以被分解成两个互不关联的函数的叠加： $\begin{equation}\notag w(z)=c_0w_1(z)+c_1w_2(z) \end{equation}$ 其中 $w_1$ 和 $w_2$ 这两个函数分别是如下形式的级数： $\begin{align} w_1(z)&=\sum_{k=0}^\infty\frac{2^{2k}}{(2k)!}\left(-\frac{l}{2}\right)_k\left(\frac{l+1}{2}\right)_kz^{2k}\notag\\ w_2(z)&=\sum_{k=0}^\infty\frac{2^{2k}}{(2k+1)!}\left(\frac{1-l}{2}\right)_k\left(\frac{l+2}{2}\right)_kz^{2k+1}\notag \end{align}$ 这样，任意给定一组初条件 $c_0=s_0$ 和 $c_1=s_1$ ，就可以得到方程的一个特解。而上面的组合函数 $w(z)$ 正是方程的通解。