一、整数乘方的个位数字

一、整数乘方的个位数字

　　整数的个位数字只有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十种。下面我们列出表格，看一看经过不同次数的乘方之后，个位数字如何变化。

　　a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

　　a² 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1

　　a³ 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9

　　a⁴ 0 1 6 1 6 5 6 1 6 1

　　a⁵ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

　　…………

　　从表中可以看出：

　　（1）平方数的个位数字只可能是0，1，4，5，6，9，而不可能是2，3，7，8。

　　（2）三次方的个位数字从0，1到9都有可能。

　　（3）四次方的个位数字只可能是0，1，6，5，不可能是2，3，4，7，8，9。

　　（4）五次方的个位数字与一次方的个位数字完全相同。于是，六次方的个位数字与二次方的个位数字完全相同；七次方的个位数字与三次方的个位数字完全相同；八次方的个位数字与四次方的个位数字完全相同。

　　不难看出：

　　a¹，a⁵，a⁹，……的个位数字相同；

　　a²，a⁶，a¹⁰，……的个位数字相同；

　　a³，a⁷，a¹¹，……的个位数字相同；

　　a⁴，a⁸，a¹²，……的个位数字相同。

　　（5）个位为0，1，5，6的数无论多少次乘方，其个位数字保持不变。

例1 求3¹⁹⁹³＋4¹⁹⁹⁵＋5¹⁹⁹⁵的末位数字

分析：只要分别求出3¹⁹⁹³，4¹⁹⁹⁴，5¹⁹⁹⁵的个位数字，再相加即可求出3¹⁹⁹³＋4¹⁹⁹⁴＋5¹⁹⁹⁵的个位数学

解：∵5¹⁹⁹⁵的个位数字为5，

　　从各个数字乘方后的个位数字表中可以看到，4的奇次方的个位数字为4，偶次方的个位数字为6，∴4¹⁹⁹⁴的个位数字为6；

　　又3^4k＋1的个位数字为3，3^4k＋2的个位数字为9，3^4k＋3的个位数字为7，3^4k的个位数字为1，而1993＝4×498＋1，∴3¹⁹⁹³的个位数字与3¹的个位数字相同。

　　故3¹⁹⁹³＋4¹⁹⁹⁴＋5¹⁹⁹⁵的个位数字与3＋6＋5＝14的个位数字相同，即3¹⁹⁹³＋4¹⁹⁹⁴＋5¹⁹⁹⁵的个位数字为4。

例2 从1，1，3，3，5，5，7，7，9，9中取出5个数，其中至少有三个数不重复，且它们的乘积的个位数字是1。问这5个数的和应是多少？

分析与解：要求取出的5个数乘积的个位数字是1，显然所取的5个数中不能有数字5，只能从1，3，7，9中取，由于要求至少有三个数不重复，那么只能有一个数重复取两次。

　　即只可能有1×1×3×7×9，1×3×3×7×9，1×3×7×7×9，1×3×7×9×9四种情形。

　　经检验上述四个乘积的个位数字分别为9，7，3，l。

　　故所取的五个数为1，3，7，9，9。

　　这五个数的和为29。

例3 我们把从1开始若干个自然数的连乘积用简单的符号表示，如

　　1×2×3×4×5记作5！，读作5的阶乘；

　　1×2×3×……×100记作100！，读作100的阶乘；

　　1×2×3×……×n，1记作n！，读作n的阶乘。

　　求N＝1！＋2！＋3！＋……＋1992！＋1993！的个位数字。

分析：只要将1！，2！，3！，……，1992！，1993！的个位数字一一求出后相加，就可得出各个阶乘的和的个位数字。

　　但要求出各个阶乘的个位数字，需计算1993项，且每一项几乎都是一大串数字之积，工作量是否会太大？

解：∵1！＝1，

　　2！＝1×2＝2，

　　3！＝1×2×3＝6，

　　4！＝1×2×3×4＝24，

　　5！＝1×2×3×4×5＝120，

　　可以看出6！直至1993！的个位数字都是0。

　　因此，N＝1！＋2！＋3！＋4！＋5！＋……＋1993！的个位数字就是1＋2＋6＋24＋0＋……＋0的个位数字。

　　即N的个位数字为3。

例4 求1⁴＋2⁴＋3⁴＋……＋1992⁴＋1993⁴的个位数字。

分析与解：1，2，3，……，1992，1993，这些数的个位数字不过是1，2，3，4，5，6，7，8，9，0。其四次方的个位数字依次为1，6，1，6，5，6，1，6，1，0，……。

　　前十个数字和为1＋6＋1＋6＋5＋6＋1＋6＋1＋0＝33，个位数字为3。

　　这样就可将1⁴＋2⁴＋3⁴＋4⁴＋……＋1992⁴＋1993⁴分为十项一组，每组的个位数字均为3。

　　即（1⁴＋2⁴＋3⁴＋……＋10⁴）＋（11⁴＋12⁴＋13⁴＋…＋20⁴）＋…＋（1981⁴＋1982⁴＋1983⁴＋…＋1990⁴）＋1991⁴＋1992⁴＋1993⁴。

　　前1990项的和的个位数字与3×199的个位数字相同，即为7。而1991⁴的个位数字为1，1992⁴的个位数字为6，1993⁴的个位数字为1。

　　所以1⁴＋2⁴＋……＋1992⁴＋1993⁴的个位数字与7＋1＋6＋1＝15的个位数字相同，即为5。

　　下面我们来研究两个相邻的自然数乘积的个位数字。