乘法公式再认识——因式分解

9.6乘法公式再认识——因式分解（二）

第1课时

云用平方差公式进行分解因式

 

一、教学目标：

1、使学生进一步理解因式分解的意义。

2、使学生理解平方差公式的意义，弄清公式的形式和特征。

3、会运用平方差公式分解因式。

4、通过对比整式乘法和分解因式的关系，进一步发展学生的逆向思维能力。

5、感受整式乘法和分解因式矛盾的对立统一观点。

6、培养学生积极主动参与探索的意识以及观察能力。

7、感悟换元的思想方法。

说明  现在我们学习因式分解，如果要分解因式的多项式能写成乘法公式的右边形式，那么，我们就可以反过来运用乘法公式将它分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法，“反过来”指的是把公式左右两边换过来，这样就可以利用这三个公式将某些多项式写成因式的积的形式，即进行因式分解。这正是运用公式法的依据。

二、教学重点、难点：

1、理解平方差公式的意义，弄清公式的形式和特征。

2.会运用平方差公式对某些多项式进行分解因式

三、教具、学具：

投影仪、条件较好的使用多媒体演示

四、教学过程：

（一）设置情景：

情景1、(x+5)(x-5)=（    ）     (a+b)(a-b)=(     )        (1)

        x² -25=(x+5)(     )      a² -b² =(a+b)(     )       (2)

情景2：计算图中的阴影部分面积（用a、b的代数式表示）

 

 

问题一：整体计算可以怎样表示？

问题二：分割成如图两部分可以怎样计算？

问题三：比较两种计算的结果你有什么发现？

说明：学生可能先分割再整体得出：(a+b)(a－b)=a²－b²    (1)

也有的是先整体再分割得出 a²－b²=(a+b)(a－b)           (2)

两种形式加以比较进一步明确整式乘法和因式分解的关系。

思考：

1.对于（1）式从左边到右边的变形叫什么？

2.对于（2）式从左边到右边的变形叫什么？

3.我们已经学习提公因式法分解因式。在（2）式的左边有公因式吗？但它写成右边的形式是分解因式吗？可见，没有公因式的某些多项式也可以用别的方法分解。

（二）平方差公式的特征辨析：

把乘法公式(a+b)(a－b)=a²－b²反过来得：a²－b²=(a+b)(a－b)

我们可以运用这个公式对某些多项式进行分解因式。这种方法叫运用平方差公式法。

[议一议]：

下列多项式可以用平方差公式分解吗？

（1）x²－y²    （2）x²+y²    （3）－x²－y²

（4）－x²+y²   （5）64－a²   （6）4x²－9y²

说明：这里是学生自主辨析公式特点的好机会，一定让学生自己讨论，只要能辨别哪些能用公式就可以，教师在具体使用时，可以先出示前面4道题，为了降低难度可以先把第5题写为8²－a²然后改写成64－a²形式，让学生体会转化的数学思想。对于最后一题若学生对幂的运算较生疏，可以适当补充练习，如：填空：4a²=(  )²  b²=(  )²   x²y²=(  )²。进而让学生自己体会公式中的a与b可以表示一个数，也可以表示一个式子，渗透换元的思想方法。最后，教师可以用简练的语言总结平方差公式的特点：

1.左边特征是：二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反。

2.右边特征是：两个二项式的积，一个是左边两项的底数之和，另一个是这两个底数之差。

3.在乘法公式中，平方差是指计算的结果，在分解因式时，平方差是指要分解的多项式。

（三）例题教学

例1 把下列多项式分解因式：

(1)    36－25x²  (2)   16a²－9b²

分析：观察是否符合平方差公式的形式，应引导学生把36、25x²、16a²、9b²改写成6²、(5x)²、(4a)²和(3b)²形式，能否准确的改写是本题的关键。

解：  36－25x²=6²－(5x)²

=(6+5x)(6－5x)

16a²－9b²=(4a)²－(3b)²

=(4a+3b)(4a－3b)

说明： (1)对于多项式中的两部分不是明显的平方形式,应先变形为平方形式,再运用公式分解,以免出现16a²－9b²=(16a+9b)(16a－9b)的错误。

（2）在此还要提醒防止出现分解后又乘开的现象，这是旧知识的“倒摄作用”所引起的现象。

例2 如图，求圆环形绿化区的面积。

解：   35²π－15²π

=π(35²－15²)

=(35+15)(35－15)π

=50×20π

=1000π(m²)

这个绿化区的面积是1000πm²

说明：在这里列出算式后可以让学生自己讨论怎么计算，要让学生解释他的解法，可能解释为逆运用乘法结合律，也可能解释为合并同类项，都要予以肯定，在这儿不要怕浪费时间，通过比较得出上述解法和前一节的提取公因式是一致的，从而为分解因式的一般步骤打下伏笔，即：先提公因式，再运用公式。

例3 把下列多项式分解因式：

1. (x+p)²－(x+q)²   2. 9(a+b)²－4(a－b)²

分析：在这里，尤其要重视对运用平方差公式前的多项式观察和心算，而后是进行变形。这一点在这儿尤为重要。

解： (x+p)²－(x+q)²

=[(x+p)+(x+q)][(x+p)－(x+q)]

=(2x+p+q)(p－q)

9(a+b)²－4(a－b)²

=[3(a+b)]²－[2(a－b)]²

=[3(a+b)+2(a－b)] [3(a+b)－2(a－b)]

=(5a+b)(a+5b)

说明：设计本题的目的是让学生加深平方差公式中的a、b不仅可以表示数字、单项式，也可以是多项式，进一步渗透整体、换元的思想。

例4.（供选择）观察下列算式回答问题：

3²－1=8

5²－1=24=8×3

7²－1=48=8×6

9²－1=80=8×10

………

问：根据上述的式子，你发现了什么？你能用自己的语言表达你所发现的结论吗？你能用数学式子来说明你的结论是正确的吗？

解： 任意一个奇数的平方与1的差是8的整数倍。

(2n+1)²－1 =[(2n+1)+1][(2n+1)－1]

= (2n+2)·2n

=2(n+1)·2n

=4n(n+1)

因为n是整数，所以n、n+1是两个连续的整数，而两个连续的整数一定有一个是偶数，即n(n+1)是2的倍数，因此4n(n+1)是8的倍数。

（四）练习

1.下列分解因式是否正确：

（1）－x²－y²=(x+y)(x－y)

（2）9－25a²=(3+25a)(3+25b)

（3）－4a²+9b²=(－2a+3b)(－2a－3b)

2.把下列各式分解因式：

（1） 36－x²      （2）   a²－ b²      （3） x²－16y²

（4） x²y²－z²    （5） (x+2)²－9       （6）(x+a)²－(y+b)²

（7） 25(a+b)²－4(a－b)²                （8） 0.25(x+y)²－0.81(x－y)²

3.已知x²－y²=－1 ， x+y= ，求x－y的值。

（五）小结

学生自己说出通过本节课的学习进一步理解了整式的乘法与因式分解的关系。能用自己的语言说出平方差公式的特点。能体会出公式中的字母a、b不仅可以表示数字，而且可以是单项式、多项式。

选做

利用因式分解计算：

（1）

（2）(1－ )(1－ )(1－ )…(1－ )(1－ )

（3）已知：4m+n=90，2m－3n=10，求(m+2n)²－(3m－n)²的值。