曲率的概念及计算公式

1 概念

来源 ： 为了平衡曲线的弯曲程 度。

平均曲率，这个定义描述了AB曲线上的平均弯曲程度。其中表示曲线段AB上切线变化的角度，为AB弧长。

例：对于圆，。所以：圆周的曲率为，是常数。

而直线上，所以，即直线“不弯曲”。

对于一个点，如A点，为精确刻画此点处曲线的弯曲程度，可令，即定义，为了方便使用，一般令曲率为正数，即：。

2 计算公式的推导：

由于，所以要推导与ds的表示法，ds称为曲线弧长的微分（T5-28，P218）

因为，所以。

令，同时用代替得

所以或

具体表示；

1、时，

2、时，

3、时，（令）

再推导，因为，所以，两边对x求导，得，推出。

下面将与ds代入公式中：

，即为曲率的计算公式。

3 曲率半径：

一般称为曲线在某一点的曲率半径。

几何意义（T5-29）如图为在该点做曲线的法线（在凹的一侧），在法线上取圆心，以ρ为半径做圆，则此 圆称为该点处的曲率圆。曲率圆与该点有相同的曲率，切线及一阶、两阶稻树。

应用举例：求上任一点的曲率及曲率半径（T5-30）

解：由于：

所以：，