曲线的弯曲程度——曲率（一）曲率的由来与原始定义

PART1：概念导入

在生活中有着很多曲线，而平时我们在说一条曲线的时候总是会说：“这条线好弯”之类的话，及分析曲线的弯曲程度。那么，假如用数学来描述曲线的弯曲程度，那么将大大提高对曲线弯曲程度描述的准确性。而数学上曲率用来描述一段曲线的弯曲程度。曲率越大，说明弯曲程度越厉害。

PART2:建立公式

那么，曲率跟什么有关呢？下面画图分析。

因为很多曲线在不同的地方其弯曲程度不同，如椭圆，因此在分析弯曲程度时需要分析一小段曲线的弯曲程度，这样更精确。

而当这一小段曲线越来越小，近乎一个点时，这一微小曲线的弯曲程度就可以当做曲线在该点的瞬时弯曲程度。我们把这个瞬时弯曲程度称为曲线在该点的曲率。

由此，便得出了曲线在一点弯曲程度的基本运算公式。由此，我们可对一些简单曲线进行曲率分析。

PART3：公式优化（一）

但是，我们发现，仅靠这一个公式求曲线在一点的曲率是远远不够的，因为对于很多曲线而言，弯曲角度和弧长难以计算，因此，需给出弧长和弯曲角度的计算公式。

首先，我们把曲线放入坐标系，让曲线上的点坐标化。

很明显，我们得到的公式过于复杂，也无法很好计算较复杂曲线在其任意一点的曲率。而如何简化公式，就是下一篇文章的话题了，请大家先认真思考，我们在下一篇文章里会揭晓答案。