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第一讲（上）
主讲人：
吴正宪：北京教科院 特级教师
周玉仁：北京师范大学 教授
刘德武：北京市教育学院宣武区分院数学教研员 特级教师
徐斌： 江苏省苏州工业园区第二实验小学副校长 特级教师
张秋爽：北京顺义区教育研究考试中心数学教研员
王彦伟：北京市东城区府学胡同小学数学教师
张岭： 北京教育学院石景山分院数学教研员
姚健： 北京实验二小数学教师
许淑一：北京东交民巷小学数学教师
冯文凯：北京市大兴区魏善庄小学数学教师
第一场：案例研讨与提出问题
对于应用题教学，我们都熟悉它的结构、类型以及解题思路、方法等。新课程改革以来，把“应用题”改为“解决问题”，“应用题”也不再单独的安排一些单元，而是把解决问题贯穿到四个学习领域之中，这不仅仅是名称上的变化。过去在小学教学中，教师们
非常重视“应用题”的教学，目的是要通过培养学生来运用数学知识来解决实际问题的能力。那么新课程改革以来，虽然应用题不再成为独立单元，反而是对解决问题能力的加强。这点是不容置疑的。那么在新课程改革当中，教师们也遇到很多问题：应用题和计算放在一起进行学习，如何整体把握？如何培养学生分析问题和解决问题的能力？如何通过应用题的教学使学生得到更好的发展？……在课堂教学中，教师们遇到了很多实际问题。请老师们从以下两个方面来展开讨论：
头脑风暴：
Ø 您对解决问题过程中的价值有哪些思考？
Ø 在这部分教学中，您印象最深刻的教学现象是什么？您还有哪些困惑的问题？
在新课程理念下，在解决问题教学的过程中，不少老师遇到了困难，产生了疑惑，而且有一些问题是带有普遍性的，比如：
1．《新课标》指出：数学教学要联系学生的生活，从学生已有的知识和生活经验出发
创造各种情境为学生提供教学活动所用的机会。在教学中我们主要采用这种方式；可是随着情境创设的增多，也出现了一些困惑：例如学生的解答分析能力和逻辑推理能力没有得到提高；教学中的重点和难点没有时间得到充分地解决；到底怎样的情境创设才是最合理最有效的？
2．在新教材解决问题这一部分，有很多情境图，既有图又有文字。而我在实际教学中，发现学生有时候会忽略情境图中所反映出来的数学信息，有时图和文又不能很好的结合在一起。我的问题就是这种情景图的设计是否能够真正提高学生们的分析问题和解决问题的能力？
3．过去搞题型教学，11种类型都列入教材中。现在将这些都蕴含于解决实际问题中不是很明显。实际问题大多是创设情境图，而不是用语言文字叙述，也不直接讲概念和数量关系，该学的知识例题不出现，使学习主线不再清晰。如果没有经验的教师，应该如何把握？对于学困生是不是事先需要做好铺垫？
4．老教材对于解题思路都有明确的指导，第一步做什么第二步做什么，学生的解题能力很强；而新教材却省略了分析的过程，也没有给出提示，留给学生的空间很大，孩子们的解题灵活性增强了；但相对来说，学生的解题能力反而有所下降。在实际教学中，老师们有这样几种做法：一是教过老版本教材的教师，依然用老的方法去教；没有使用过老教材的教师，他们不会指导学生进行分析，就把落脚点放到了解答问题上；还有一些教师，以前使用过老版本的教材，现在却不敢指导学生进行分析，担心这样不符合新的教学理念和方法。那么面对新课程改革，我们如何处理好这种在发展中创新，既培养学生的解题能力，又要符合新课改的理念和要求呢？
5．现在我用课改教材仅一个学期，特别是对应用题的教学方面，我有两点把握不好：一是应用题的结构还用不用训练，二是分析法、综合法等一些分析应用题的方法还用不用老师讲？这是我在教学中一直思考的两个问题。
6．我在讲连乘应用题的时候也遇到过问题：例如“一辆卡车上有4个集装箱，每个集装箱里有50袋白糖，每袋白糖装60千克，卡车上共有白糖多少千克？”学生对数量关系进行分析后很快列出算式：4×50×60；4×60×50，让学生说算式的意义，他却怎么也说不清楚。像这样的数量关系，需不需要学生说明白？连乘应用题到底应该怎样讲呢？
7．数量之间的关系学生说不清楚，我也有同样的感觉。在课堂教学中我隐约地感觉到，要解决实际问题，绝不能仅仅停留在情境上，离开了具体的情境，中低年级的一些学生在解题时，有时会感到束手无策；而通过分析数量之间的关系或画线段图，孩子们就能比较准确地找到。在新的课程标准教材中，没有了关于数量关系和线段图的教学内容，那么数量关系和线段图的有关知识还要不要讲？
8．以往在分析应用题时找等量关系，提中间问题的分析方法，还要不要教给学生？
9．在新教材中，一个例题里有两个知识点，而且都是重点：一个是解决计算的算理算法问题，一个是解决实际问题。是偏重算理算法，还是还是偏重解决实际问题呢？怎样合理的安排教学时间呢？在实际教学中，我们把这个例题分为两个例题，用两课时来完成，认为这样更夯实一些。我们的做法是否合适呢？
10．对于解决实际问题的策略也有一些困惑。作为一名新教师，没有接触过老教材，对于老教材中所提及的分析法、综合法等方法也不是很清楚。新教材中有关解决实际问题的策略涉及的也不是很多。那么解决实际问题到底有哪些策略呢？
11．新理念强调学生解决问题的能力，很多老师和家长都觉得学生在这方面的能力下降了。实际上我们知道评价不仅要关注结果，更要关注过程。应该如何评价学生的解决问题能力？
以上是教师们普遍关心的问题，不难看出，现在老师们关注的问题与实施新课程开始的问题已经有了不同。大家开始思考一些实施中新出现的问题。它涉及的是解决问题中整体的、更深层次的问题。关于解决问题，我们聚焦到以下四个问题：
1．解决问题的内涵及教育价值；
2．新课程对解决问题教学的整体安排；
3．学生解决问题的基本过程和解决问题的基本策略；
4．发展学生解决问题能力的一些重要举措。
话题一：解决问题的内涵及教育价值
我们一直在探索“连乘应用题”到底该怎样教学，在解决问题中仍然会碰到用连乘的方法来解决的问题，那么当今的课堂教学到底发生了怎样的变化？请看同一内容的两个案例。
【案例1】
1．出示例4：
小明在像册里放照片。每页放2行，每行放4张，3页一共放多少张？
2．弄清题意：
指名读题，说出已知条件和所求问题。
学生边说，老师边出示实物图，并标出所求问题。
3．小组讨论：
要求这个问题，你们应该怎样想？说说你的思路？
4．小组汇报讨论结果：
学生边联系实物图，边指图说思路。
5．总结解题思路：
第一种解法：
（1）要求3页一共放多少张，必须知道什么条件？
（2）题目里告诉了么？第一步先求什么？（师在图上标出第一步要求的问题）
板书：每页放多少张？、
要求每页放多少张必须知道什么条件？题目里告诉了么？怎样列式？
板书：4×2=8（张）
（3）知道了每页放多少张，第二步求什么？怎样列式？
板书：3页一共放多少张？
8×3=24（张）
师小结：
从条件分析，知道每页放2行，每行放4张，可以求出每页放多少张。知道每页放多少张，就可以求出3页一共放多少张。
（4）怎样列综合式？
板书：4×2×3
=8×3
=24（张）
答：3页一共放24张。
问：4×2求的是什么？再乘以3呢？
第二种解法：
 师：要求3页一共放多少张，还可以怎样想？
生：先求3页一共放多少行？再求3页一共放多少张。
板书：3页一共放多少行？
问：根据题目中的哪两个条件可以求出3页一共放多少行？
怎样列式？
板书：2×3=6（行）
知道了3页一共放多少行，第二步求什么？怎样列试？
板书: 3页一共放多少张？
4×6=24（张）
请两名同学完整分析解题思路。
师：怎样列综合算式?
板书：4×（2×3）
=4×6
=24（张）
答：3页一共放24张。
提问：2×3为什么要加小括号？求的是什么？
再乘以4是什么？
6．比较两种解法：
提问：上面两种解法再思路上有什么不同？
在列式上有什么不同？
这种上法教师们感觉颇深：有的老师说就怕教这部分内容，学生难学老师难教，不管怎么讲怎么练，总有些学生说得磕磕绊绊的；有的老师说，连乘应用题是中年级应用题教学的重中之重，并且教材有明确的规定必须用两种方法进行计算，而学生对第二种意义的解释不到位，严重的挫伤了学生学习的积极性；还有的教师说考试时，没用两种方法就得扣分，列式和意义写的不对应的也扣分。
基本是这种现状，在北京的教研活动中经常展开这样的研究活动：面对连乘应用题中的学生要解释每一种算法的具体意义的困难和尴尬，我们也曾和中学教师探讨这个问题，中学教师认为不需要学生知道每种算法的具体意义，该乘就乘，谁在前边、后边都一样。教师不要人为给学生制造困难。
在新课程理念下 老师们对连乘问题也有了一些新的思考和设计。请看：
【案例2】根据图意，提出数学问题
每个方阵有4行，每行有6人，一共有3个方阵。一共有多少人？
1．尝试解决
⑴先独立解决，再用学具在小组里说明你的想法。
⑵看看能用几种方法解决这个问题？
2．汇报交流
第一种方法
生：知道每个方阵有4行，每行有6人，可以求出一个方阵有多少人，再求3个方阵有多少人。（学生用学具可以清楚地演示）
6×4×3
= 24×3
= 72（人）
答：一共有72人。
（边说边在相关信息上画线，板书：先求一个方阵的人数）
第二种方法
？人
生：横着观察把3个方阵看成1个方阵，先求一行有多少人，再求4行一共有多少人。
6×3×4
= 18×4
= 72（人）
（学生说不清时，可以配合课件演示）
问：他们这种方法先求得什么？你能再在图上指一指吗？
（边说边在相关信息上画线，板书：先求3个方阵每行人数）
师：你觉得他的方法怎么样？（评价：很新颖）还有其它的解决方法吗？
第三种方法
 ？人
生：竖着观察把3个方阵摞起来看成1个方阵，先求共有多少行，再求共多少人?
6×（4×3）
= 6×12
= 72（人）
师：先求什么？我们一起看看课件的演示。
每个方阵4行，3个方阵有几行？怎么能清楚地看出来呢？（摞在一起）
先求3个方阵的行数（板书）
3．小结比较
师：哪些组研究出3种方法？真了不起！观察这三种方法有什么相同和不同？
先求3个方阵的人数 先求3个方阵一行的人数 先求3个方阵的行数
 答：一共72人。
相同点：都是乘法解决的问题。
不同点：先求得问题不一样，
第一种方法是先算出一个方阵，再求3个方阵一共有多少人；
第二种方法是横着看，先求一行有多少人，再求4行一共有多少人；
第三种方法是竖着看，先求一共有多少行，再求一共有多少人。
师：嗯，你们分析得不错，有什么问题吗？（为什么同一个问题会有三种方法解答呢？）
生可以从不同的角度解答，预设：
⑴先解决的问题不同，解决的方法也就不同——（原来的分析法）
⑵选择的信息不同，解决的方法就不同——（原来的综合法）
⑶图形拼摆的方法不同，解决的方法就不同——（体现数形结合）
师：摆的不同便于我们从不同的角度观察，所以解决的方法也就不同。
就像他说的一样，根据条件之间的关系，选择信息不同解答的方法就不同。
思考问题：
1．这两个案例，有什么不同？
2．你认为解决问题的教育价值是什么？
应用题的教学建国以来，一直在改，该到现在还在改。看来我们有必要回顾一下应用题改革的轨迹。从我国小学数学教学改革的历史说起，以史为鉴，可以对我们今天探讨的解决问题有借鉴意义，才能使我们更深刻地认识到教学改革真正的教育价值。
一、从建国后的教学大纲看我国应用题教学的演变
建国以来，小学算术(数学)教学大纲历经修改，在课程改革前比较重大的修改有以下四次：
1．1952年、1956年：百废待兴，全面学习苏联
2．1963年：“大跃进”后的精雕细刻，符合中国国情
3．1978年：十年动乱后的拨乱反正，适应四个现代化建设
4．1992年：实施九年义务教育全日制小学数学教学大纲
以上四次，可粗略划分为两个阶段。
第一阶段从建国到1965年。当时的小学算术十分重视应用题，1956年的《小学算术教学大纲(修订草案)》中规定“应当用算术课和算术课外作业总时间的一半左右来学习解答应用题。”此外，按照前苏联的经验，把应用题分为简单应用题，复合应用题和典型应用题三大类，每一大类又细分成很多类型。简单应用题就是一步应用问题，复合应用题就是两步以上的应用问题，典型应用题就是指和差、和倍、差倍、追及、相遇、工程问题、植树问题、流水问题、归一、归总等。在第一阶段对应用题的重视体现在给的时间多和内容分得比较细。
1963年的《全日制小学算术教学大纲（草案）》将简单应用题分为12种，复合应用题要求学到2—5步（按解答步骤多少而分），典型应用题多达11种。
由于人为分类过细，要求又高，每一种类型给一个结语，加之教学不甚得法，养成了学生找类型、背结语，死套公式的弊病，有的小学生甚至是用找“关键词”来替代分析数量关系（如见“还剩”就“减”，见“一共”便是“加”，见“倍”就“乘”，见“平均”就要“除”），题目稍一变化，便不知所措，增加了学生的负担，两极分化非常严重。应用题这个“老大难”的问题凸显了出来。
第二阶段从1978年到实施义务教育大纲。
1978年经过“文革”十年动乱，按照“教材要反映出现代科学文化的先进水平，同时要符合我国的实际情况”的精神，制订了《全日制十年制学校小学数学教学大纲（试行草案）》。大纲明确指出“使学生能够应用所学的知识解决日常生活和生产中的简单的实际问题”，课程内容新增加了代数初步知识——用字母表示数，并将“小学算术”学科易名为“小学数学”。这个更名是历史性的变化，尤其对应用题的影响比较大。
在1978年以后的二十年中，一步应用题不再作人为分类，11类应用题消失了，完全按加、减、乘、除的意义自然归类；小学阶段的应用题只学到2—3、4步（义务大纲只到2，3步）；典型应用题大幅度地简化，把过繁的删去，只保留了求平均数、相遇问题和工程问题，其它的有的能用方程解，不需要再记那些具体的解答规律。这样，应用题的“老大难”问题得到一定程度的缓解，小学生的解题能力有了提高。
纵观近半个世纪的历史，我国小学应用题教学的改革是处在一个由繁到简，由单一的算术方法到算术与代数方程灵活运用的渐变过程。用代数方法解题是质的变化，既体现了由浅入深的历史发展规律，同时也体现了由高带低的教学思路。
二、解决问题的内涵及其教育价值
为什么要改为“解决问题”，不再成为独立单元，又把解决问题贯穿在四个学习领域当中呢？为什么要这样安排呢？它的教育价值是什么呢？过去的应用题教学和今天的解决问题发生了哪些变化？
㈠“应用题”教学的弊端
“应用题”的教学对在整个小学阶段对学生发展都产生了非常重要的作用。但是随着时间的延长，通过广泛的调研也越来越发现，在实践层面存在很多问题：
1．应用题不应用：教学过程中已经把应用题固定化、模式化 ，应用题本身并不能反映这个儿童的生活经验，不能反映现实社会的一些重要题材。总之就是应用题远离学生生活经验；
2．应用题解题模式单一：教学过程中应用题变成了套题型，比较机械和死板；
3．解题答案固定、唯一：所给的条件不多不少，结论有确定性的惟一结论。实际上在真正解决问题过程中，只要是一个现实问题，学生完全能有不同的解决问题思路和不同答案。
4．问题呈现方式单一：应用题的呈现方式也比较单一，主要强调文字应用题。甚至在教育教学实践中，形成了用符号用图表来反映思维过程是一种比较低级的方式，认为能够系统的解决一个纯文字应用题似乎是一个比较高级的形态。这样就把应用题的基本呈现形式限定在纯文字应用题的层面。
对于“应用题”更名为“解决问题”，主要是让小学数学教育工作者不要被原有的应用题所束缚，换成新的表达方式，能够更好的反映小学数学课程所应该追求的目标，所以就改为解决问题。国际上通常叫problem solving就是问题解决。按照我们国家的思维的习惯或者表达的方式，我们把它界定到解决问题。“解决”让它能够跟原有的课程保持一定距离，使数学教育工作者能够站在一个新的维度——解决问题的维度，来重新回过头来思考反思借鉴。摒弃原有的应用题教学的问题，继承其好的一面。
㈡解决问题与传统的应用题的区别
1. 重视过程的教学：应用题更多的强调尽快获得答案；而解决问题是强调一个过程，就是寻求解决问题方式方法的过程。重视解决问题的过程，寻求解决问题的方法和策略比获得一个结论本身来的更重要。
2．不仅仅依附一个知识点：应用题往往是结合某一个具体的知识点，例如今天讲加法，
就是加法应用题，明天学乘法是乘法应用题，应用题常常是依附在某一个知识点的背景下；
而解决问题是强调针对具体的一个真实的情景，它更多的强调综合解决问题的过程。例如今天讲完加法后，解决问题的情景它可能不局限于用加法，也不局限于用减法，它要调动学生已有的知识来解决问题。它是不仅仅依附于某一个知识点的。
3．具体问题具体分析：应用题教学把应用题归成类，集中一类问题进行思考，强调速度和技巧；而解决问题强调的是具体问题具体分析，换句话说就是在一种新的情境中如何运用所学知识解决问题，使问题更具挑战性，可能一个问题跟着一个问题。学生面临具体情境不同，问题就不同，学生要具体问题具体分析。要寻求解决这个问题的方法，它更具有挑战性，更具有新意。
4．问题的开放性和多元性：应用问题强调广泛性，即从生活中来、从儿童已有的经验出发、从现在的科技、社会发展的过程中发现问题和提炼问题。问题本身的开放性和多元性也是其很重要一个特征。
㈢解决问题的教育价值
让学生能够通过解决问题体会数学跟人类现实生活广泛的、密切的、自然的联系，通过解决问题改变学生的学习方式，根据具体的问题情景，寻找解决问题的策略；在独立地思考问题的基础上尝试与人合作。其核心就是促进学生学习方式的改变。解决问题在以下及格方面具有积极的教育价值：
1．有利于发展学生问题意识；
2．通过解决问题的学习，获得运用数学知识解决问题的基本策略；
3．通过解决问题的教学，使得学生能够获得丰富的数学活动经验，丰富的经验有利于学生理解数学，加深对数学知识、思想方法的本质理解；
4．通过解决问题教学，有利于学生在过程中体会数学的抽象性和广泛的应用性，发展学生的数学的抽象能力；
5．在解决问题的教学过程中，学生的独立思考、同学间的相互合作、数学的交流和表达……这个过程就含有非常丰富的教育价值；
除此之外，通过问题解决教学可以使学生感到数学的应用性和价值性，唤起学生的求知欲望，增进学好数学的信心。
（四）学生解决问题策略的多样化
新课程改革以来，学生们在解决问题中出现了哪些可喜的变化呢？
北京市宣武区教研室在2005年7月对全区对各个年级的学生做了一次能力测查，主题就是解决问题的能力。课程改革以后，“应用题”的教学确实发生了很可喜的变化。最根本的是在学生身上体现出来的变化。测查中把课改年级和非课改年级做了比较，课改年级学生的思维更活跃，解决问题的方法途径更多样。换句话说就是他们的策略水平和策略意识比较强，这个方法行不通，他会用另外方法去解决。
【案例】
妈妈上午10：00将车停放在地下车库，下午2：00离开。地下停车每小时五元，妈妈要交多少元停车费？
这是我们2005年对二年级学生进行测查的一道题。它的测查点是学生没有学过从上午几点到下午几点是几个小时，考查的依据是学生生活的经验经历。看学生遇到困难是否有办法解决？
下面请看学生的解题策略：
 这道题左边是文字，右边是图，是一种图文相结合的形式，这也是课改以来“应用题”呈现方式的变化。学生显然遇到障碍了，他搞不清楚上午十点到下午两点究竟应该是几个小时？他的策略是自己画了两个完整的钟表图，第一个钟表画着是十点，第二个钟表指针指向两点。他就数了数，中间隔了四个小时，4×5=20（元）。
学生能够自己创造条件，他再现了钟表图，通过画图能够把问题解决。这就是一种策略水平。
 这个学生用儿童特有的方法——累计的办法来达到解决问题的目的。先写十点到十一点妈妈要交五元，十一点到十二点妈妈还要交五元，十二点到一点还得交五元，一点到两点再交五元，然后累计起来一共是二十元。这种办法老师不会去教，是学生用自己的办法来解决问题的。
 这个学生只画了是半个钟面，他考虑到上午十时到下午二时，根本不需要时针走下半面，没有下半面就不需要画了。试想：学生在生活中，他见过半个表盘的钟表吗？我估计没见过，我们也没见过，但是他就能在解决问题时画半个表盘的钟表，体现了他思维的简约性和目标的明确性。
 学生只画了一个线段，一条线段从十点到下午二时，一共四个小时写得很清楚。这条小线段是学生的创造，因为孩子和成人见到的钟表都是圆的，他只取了钟表的一段，呈现的是线段图。这种把曲变直的思想就是创意，这是学生在学习过程中积累的经验和能力，
所以在他解决这个问题时，就会有与众不同的策略。
 这个学生的思路是：10点到11点是1小时，11到12点等于1小时，然后12点到1点等于1小时；然后1点到2点还是1小时，一加一加一加一等于四小时，4×5=20（元）。
 这个图表示妈妈在上午十时，从这个车库的入口开进去，前面开着大灯，中间用汉语拼音写的间隔4小时；下午两点钟，由出口又把车开出来了，后面冒着尾气，没开大灯。
这幅图很有意思，他把文字题还原成一幅生活画面，说明学生完全进入情景了。除此之外，
我们冷静下来思考，这幅图不是我们常说的具有数学意义的图，充其量只是一幅画。但是这幅画表达了一个孩子的心态——他没有拿考试当考试、当成敌人、当成可怕的对手，而是把它当成一个朋友他和它交流。
课程改革就特别希望学生用这样的平和心态去学习和生活。这就是学生在解决问题策略以及情感和态度方面显著的变化。通过学生对同一个题目的不同方法的解答，而且每种方法都有它的思维价值。
总之，解决问题的教育价值归纳如下：
1．解决问题能力的培养是数学教育的重要目标。
2. 解决问题教学有利于学生数学基础知识的掌握及对数量关系的理解。
3．发展学生的应用意识，使学生体会数学的价值。
4．解决问题是发展学生的创新意识和实践能力的重要途径。
5．解决问题的过程中学会与人合作，激发学习兴趣。
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