例1 已知高中数学中一个二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2,求此二次函数的表达式. 分析一:由于题目所给的条件中,二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标,于是可以将函数的表达式设成交点式. 解法一:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0), ∴可设二次函数为y=a(x+3) (x-1) (a≠0), 展开,得 y=ax2+2ax-3a, 顶点的纵坐标为 , 由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2, ∴|-4a|=2,即a= . 所以,二次函数的表达式为y= ,或y=- . 分析二:由于二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),所以,对称轴为直线x=-1,又由顶点到x轴的距离为2,可知顶点的纵坐标为2,或-2,于是,又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解,然后再利用图象过点(-3,0),或(1,0),就可以求得函数的表达式. 解法二:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0), ∴对称轴为直线x=-1. 又顶点到x轴的距离为2, ∴顶点的纵坐标为2,或-2. 于是可设二次函数为y=a(x+1)2+2,或y=a(x+1)2-2, 由于函数图象过点(1,0), ∴0=a(1+1)2+2,或0=a(1+1)2-2. ∴a=- ,或a= . 所以,所求的二次函数为y=- (x+1)2+2,或y= (x+1)2-2. 说明:上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度,利用交点式和顶点式来解题,在今后的解题过程中,要善于利用条件,选择恰当的方法来解决问题. 例3 已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式. 解:设该二次函数为y=ax2+bx+c(a≠0). 由函数图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),可得 解得 a=-2,b=12,c=-8. 所以,所求的二次函数为y=-2x2+12x-8. 通过上面的几道例题,同学们能否归纳出:在什么情况下,分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式?
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