“数与代数”课程内容研究

注明：本文以青岛出版社和泰山出版社出版的义务教育课程标准实验教科书《数学》（七—九）年级为版本（以下简称“教科书”）展开讨论. 该教科书共分六册，经全国中小学教材审定委员会2004年、2006年初审通过，目前已经大面积使用.
　　
　　在义务教育的每个阶段，《全日制义务教育数学课程标准》（以下简称《标准》）都安排了四个学习领域，它们分别是“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”和“实践与综合应用”. 教科书针对以上四个领域采用混编的形式，共分六册计34章，其中含有“数与代数”的内容有15章，“空间与图形”14章，“统计与概率”5章（这个统计是以每章的标题为准进行的）. “实践与综合应用”以课题学习的形式安排了6个活动，每册教材根据相关的内容各安排了1个. 本文就“数与代数”领域的总体安排、编写特点、教学建议谈谈我们的看法. 以帮助教师深入研究教科书，从而有效的进行教学活动.
　　
　　1 总体安排
　　
　　1.1 主要内容
　　“数与代数”的内容在义务教育阶段的数学课程中占有重要的地位，有着重要的教育价值. 这部分内容按照《标准》的要求分为三大部分：一是数与式；二是方程与不等式；三是函数. 它们都是研究数量关系和变化规律的数学模型，学生通过学习这些内容，能够从数量关系的角度更准确、更清晰地认识、描述和把握现实世界. “数与代数”的内容在义务教育阶段的数学课程中占有重要的地位，有着重要的教育价值. 这些内容都是研究数量关系和变化规律的数学模型，学生通过学习这些内容，能够从数量关系的角度更准确、更清晰地认识、描述和把握现实世界.
　　本领域学习的主要内容有：
　　（1）数与式：包括有理数、实数、代数式、整式、分式的概念及相关的计算；
　　（2）方程与不等式：一元一次方程及可化为一元一次方程的分式方程、二元一次方程组、一元二次方程的解法与应用；一元一次不等式和一元一次不等式组的解法及其应用；
　　（3）函数：包括常量与变量的意义、一次函数、反比例函数、二次函数，它们的性质、解析式的求法；
　　（4）探索数、形及实际问题中蕴涵的关系和规律，初步掌握一些有效地表示、处理和交流数量关系以及变化规律的工具，建立有关模型解答实际问题.
　　1.2 在教科书中的安排
　　在呈现“数与代数”的学习内容时，首先要贯彻《标准》的基本理念，体现教科书的科学性，其次是遵循本套教科书的编写指导思想，秉承全书的编写风格. 做到全面关注数学课程目标，考虑到数学知识的整体性及关联性，兼顾到学生的年龄特征和知识的积累实际，努力使教科书具有鲜明的时代性和创新性，保持自己的特色和活力. “数与代数”领域的15章内容中，七年级8章，八年级5章，九年级2章. 具体安排如下：
　　七年级上册第2章：有理数；第3章：有理数的运算；第5章：代数式与函数的初步认识；第6章：整式的加减；第七章：数值估算；第八章：一元一次方程；
　　七年级下册第12章：二元一次方程组；第14章：整式的乘法；
　　八年级上册第2章：乘法公式与因式分解；第3章：分式；第5章：实数；第6章：一元一次不等式；
　　八年级下册第七章：二次根式；
　　九年级上册第3章：一元二次方程；
　　九年级下册第5章：对函数的再探索.
　　1.3 本学习领域突出体现的核心词语
　　1.3.1 数感
　　数感是一种主动地、自觉地或自动化地理解数和运用数的态度与意识. 建立数感可以理解为会数学地思考. 数感包括将数与实际背景联系起来，用数学的方式思考问题. 数感是现代人应具备的一种基本数学素养. 它是同学们建立明确的数概念、有效地进行计算等数学活动的基础，是将数学与现实生活、生产中的实际问题建立联系的桥梁.
　　1.3.2 符号感
　　符号是数学的语言，是人们进行表示、计算、推理、交流和解决问题的工具. 用符号表示事物是人类文明发展的重要标志之一，数学课程的一个任务就是使学生感受和拥有使用符号的能力.
　　1.3.3 应用意识
　　数学不仅是从事生产、生活、学习、研究的基础，而且是一门解决实际问题的工具. 数学是现代文化的重要组成部分，它的思想方法向一切领域渗透，它的应用也越来越被社会所重视. 学会应用，是社会发展的需要，是数学教育改革的必然. 数学作为科学的语言，作为推动科学向前发展的重要工具，在人类发展史上具有不可替代的作用，并将在未来的社会发展中发挥更大的作用. 通过学习初中学段的内容，要学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科中的问题，增强应用数学的意识.
　　
　　2 编写特点
　　
　　我们在编写本领域的教科书时，首先要贯彻《标准》的基本理念，体现教科书的科学性，其次是遵循本套教科书的编写指导思想，秉承全书的编写风格，就本领域来说，其主要编写特点如下：
　　2.1 所选学习素材来源于我们的生活生产现实
　　“数与代数”中的大部分内容都有着具体的生活背景，我们在编写教科书时，努力按照《标准》给出的“问题情境—建立模型—解释、应用和拓展”的编排要求，根据学习内容，从自然、社会及生活中精选学习素材，以此为知识背景，结合学生已有的经验，关注知识的形成过程.
　　例如，全套教科书的每一章开始，都选用了一个与本章内容相关的章头图，作者在选取这些图形或图片时，都进行了反复的思考，它们有的来自于生活实际问题，有的是自然景区、有的是与科学技术有关的场景等，这些图形或图片，除能帮助学生理解本章的有关知识外，还能调动学生思考问题的积极性，引起学生学好本章内容的兴趣，激发他们对祖国大好河山的热爱，增强学生的民族自豪感和努力学习的决心，还有的能对学生进行思想道德教育，给以科学文化的熏陶等.
　　如七年级上册第3章《有理数的运算》的章头图为“三峡水库”的背景图片，并提出了两个问题，目的是让学生体验有理数运算与现实生活的密切关系，初步树立起“数学来源于生活”的观点，并感悟到祖国山河的壮美，以此激发学生学习本章的兴趣.
　　2.2 与本领域的内容或其他领域的相关内容进行有机融合，体现了数学的整体性
　　《标准》界定的四个领域中的内容也不是截然分开的，一方面，就某一领域来说，它内部的有些内容是相互关联的；另一方面，不同的领域之间的有些知识也存在着实质性的联系. 教科书既把本领域内的有关知识按照逻辑顺序及知识之间的联系进行了合理的整合，又把各领域之间的相关知识进行了有机的融合，体现出数学的整体性.
　　2.2.1 注意了本领域内三大部分之间知识的联系
　　本领域的“数与式”、“方程与不等式”及“函数”三部分的有些内容之间存在着本质的内在联系或一定的逻辑关联，教科书的编写要充分考虑到这些数学知识之间的联系，有利于学生感悟这种联系. 例如，七年级上册的第5章《代数式与函数的初步认识》就把代数式与函数的知识联系在了一起；八年级上册的第3章《分式》中既有式的内容，也有方程的知识；九年级下册的第5章《对函数的再探索》就把方程与函数的知识进行了科学的整合处理.
　　2.2.2 与其它领域之间的知识有机融合
　　我们除了关注同一领域内有关知识之间的相互关连外，还关注了不同领域之间的有关知识的实质性关联. 教科书将“勾股定理”和“数的开方”合为一章，取名为“实数”，安排在八年级上册，作为第5章，可以说这是“数与代数”和“空间与图形”的有关内容进行有机融合的最典型的一章. 这种处理方式是符合数学史实的. 从《标准》可知，勾股定理和实数分别是“空间与图形”和“数与代数”两个领域的核心内容，他们分别代表着“形”和“数”. 从科学发展史来看，二者是并存发展的，硬把它们分开处理既不符合数学史实，在具体教学中也不好处理. 如，2、3等无理数是伴随着勾股定理的发现而诞生的，所以说无理数使得勾股定理对于边长是任意正数的直角三角形都能成立，反过来，勾股定理使得无理数有了明确直观的几何解释. 可见，这种安排是还实数（勾股定理）到其应在的“位置”中去了. “实数”与“勾股定理”的相关内容环环相扣、彼此融合、整分合一,这种处理方式为平方根、立方根的计算、方根的估算以及实数概念的最后建立奠定了坚实的基础. 二者合为一体，揭示了他们之间本来固有的实质性的联系，体现了数学的整体性和文化价值.
2.3 重要的数学概念与数学思想方法体现了螺旋上升的原则
　　《标准》中提出的目标是学生在学段末最终应达到的目标，而学生对相应知识的理解则是逐步深入的，不可能“一步到位”，因此，我们对于一些重要的数学概念和数学思想方法的呈现，除应根据学生的年龄特征与知识积累的情况外，在遵循科学性的前提下，还遵循着逐级递进、螺旋上升的原则，即在知识的深度、广度等方面体现出明显的阶段性要求.
　　2.3.1 重要概念的分散处理
　　学生对数学中的一些重要概念需要经历长时间的认识过程，才能真正理解和应用，有的概念甚至是跨学段才能得到完善的. 因此，对于一些重要的概念宜采取多次呈现、逐步领悟其内涵的方式. 体现这一原则的最典型的是函数概念的形成与发展，函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，也是数与代数中最重要的数学概念之一，我们在初中仅学习代数函数（能够用代数式表示的函数）. 在传统的数学教科书中，代数式与函数的知识都是分别独立出现的，并且函数概念出现的较晚. 国际数学课程改革的研究和实践表明，对变化规律的探索、描述应从低年级非正式的开始，早期让学生经历函数的形成与变化过程对其发展是十分重要的. 我们在编写教科书时，对函数这个重要概念的处理安排就遵循了上述建议，吸收了最新的研究成果，采取了“提前渗透、分层推进、及时穿插、不断深化”的安排方式，这样安排既体现了《标准》的精神，又符合国际潮流和学生的认知规律.
　　教科书是分四个阶段完成对函数概念及其有关知识安排的：
　　（1）初步感受函数概念阶段
　　本阶段主要内容是结合代数式的学习及早给出函数概念. 鉴于代数式与函数知识存在着内在的逻辑关联，我们在编写教科书时，就利用这一关联，在学习代数式的基础上引人了函数的概念，由字母表示数到用字母表示常量和变量，由认识代数式到初步认识函数关系式，由代数式的值引出了函数值的概念，实现了代数式与函数知识的有机整合.
　　具体说来，就是在七年级上册第5章《代数式与函数的初步认识》中，我们结合求代数式的值渗透了变量之间的对应关系，引导学生初步认识变量与常量，然后结合具体的实例，引出函数的概念，让学生初步认识函数及其有关的知识. 这样安排不仅使学生得以较早的用函数的观点去认识数学现象，并且体现了代数与数学分析两个领域的内在联系，为后面将要学习的一次方程与一次函数的整合提供了必要的前提.
　　（2）函数知识的理解与应用阶段
　　本阶段主要研究一次函数的概念、图象、性质及利用一次函数图象解二元一次方程组，对应教科书为七年级下册的第11章和12章的有关内容.
　　七年级下册第11章《图形与坐标》，实际上是把将“空间与图形”领域中的“图形与坐标”和“数与代数”领域中“函数”的部分知识相整合而形成的. 主要内容是学习平面直角坐标系的有关知识，探索一次函数的概念、图象与性质. 这样整合基于两方面的思考：一是有关平面直角坐标系和七年级上册第5章学习的函数基本概念的认识，需要通过对具体函数及其图象的学习，才能得到巩固和提高；二是学习一次函数的图象及性质，可以使学生对研究函数的方法有一个初步的认识.
　　就函数知识来说，本章是分两次体现的：第一，让学生观察某气象站某天一昼夜气温变化的曲线，在回答层层深入的6个问题的基础上，借助于刚学习的直角坐标系的知识，从曲线中获取时间与气温的对应关系信息的过程中，感受气温与时间的函数关系，从而认识函数图象的意义，进而了解函数的图象表示法，学会用描点法画出简单的函数图象；第二，从实际问题情境中抽象出一次函数的概念，然后探索一次函数的图象，并根据图象研究了一次函数的性质. 教科书没有将正比例函数进行专题研究，而是将正比例函数作为一次函数的特例加以处理，这样安排让同学们感受到特殊与一般的关系.
　　在七年级下册的第12.3“图象的妙用”中，用“交流与发现”栏目，引导学生在同一个直角坐标系中，画出两个一次函数的图象. 这样安排的目的是通过学生的思考与操作，发现方程与函数图象、方程组的解与对应图象交点的坐标之间的相互关系，以引人二元一次方程组的图象解法，使学生进一步感受“数”与“形”之间的对应关系，发展学生数形结合的意识.
　　（3）理解对应与函数思想阶段
　　本阶段对应八年级下册第9章. 在本章学习的三角比（三角函数）的概念，使同学们对函数的概念及其本质有了更深层次的认识. 这个认识是在引导学生完成对函数概念内涵深入认识的过程中完成的. 大家知道，对概念的深化认识必须从概念的内涵与外延上作深入的剖析，剖析概念的内涵就是抓住概念的本质特征. 对于三角函数，可抓住正弦函数进行剖析，正弦函数涉及到比的定义、角的大小、点的坐标、距离公式、相似三角形、函数概念等知识. 正弦函数的值本质上是一个“比”. 为了突出这个比值，结合图1，今说明如下：
　　①正弦函数是一个比；
　　②这个比是∠α的终边上任意一点的纵坐标y与这一点到原点的距离r的比值；
　　③这个比值随∠α的确定而确定，与点在∠A的终边上的位置无关（这一点可用相似三角形的原理来说明）；
　　④由于y的绝对值≤r，所以这个比值不会超过1.
　　以上就是正弦函数概念的本质属性. 同时引导学生通过探索、交流发现：∠α的终边上的一点P（x，y）一旦确定，就涉及x、y、r这三个量，任取其中两个就可以确定一个比值，这样的比值有且只有六个. 因此，基本三角函数只有六个，这便是三角函数的外延，在初中我们仅学习这六个中的四个.
　　事实上，前面所说的这个“比”就是“函数”，∠α是自变量，函数就是“比”. 这个“比”之所以叫做∠α的函数，就是因为对∠α的每一个确定的值，都有一个确定的比与之相对应. 有了这样的一些认识，学生对正弦函数的理解就比较深刻了. 同时对函数概念的认识也上了一个台阶.
　　（4）深化阶段
　　在九年级下册第5章《对函数的再探索》中，安排了反比例函数与二次函数的有关内容. 在本章的学习中，教科书系统总结了函数的三种表示法，自变量取值范围的确定，完善了对函数概念的认识. 在5.2中，学习的用图象法解不等式的方法及5.9学习的用图象法解一元二次方程的知识，更加巩固了同学们对数形结合思想的认识，5.2的“广角镜”栏目介绍的“分段函数”的知识开阔了学生的视野，反比例函数、二次函数等知识的学习，丰富了对函数的认识，加深了对函数的理解，各种函数解析式的求法与图象的应用使得同学们完成了初中阶段对函数的学习任务.
　　2.3.2 对一些数学思想方法的逐步处理
　　数学思想方法作为一种重要的知识，学生对它的学习更不是一次就能完成的，也需要多次渗透，事实上，就同一个方法来说，学生针对不同的数学内容每感悟一次，对它的认识就深化一步. 有些重要的思想方法有多处的内容都要用它来处理，这就决定了对于这些数学思想方法的处理也要逐级递进.
　　例如，数形结合思想是一种重要的数学思想，“数”和“形”分属于两大领域，二者的结合体现了数学的特性. 对于这一思想方法的渗透我们是逐级呈现的. 七年级上册第2章《有理数》在学习“数轴”的知识时，就借助于“温度计”来形象的感知数轴，用数轴上的点表示有理数的过程中，同学们就能感受到数形结合的思想，给出数轴的概念后，引导学生借助于数轴理解相反数和绝对值的意义的过程中，又发展了同学们的几何直觉. 七年级下册第11章《图形与坐标》及12章《二元一次方程组》中，借助于图象来学习一次函数的性质及用图象的方法解二元一次方程组的问题也都体现出数形结合的思想. 八年级上册第5章《实数》中，利用勾股定理探究长度是2，3，5等无理数的线段的几何作图方法更是把数和形有机的结合在了一起，这为同学们更好的理解实数的概念提供了形象的帮助. 九年级上册介绍的黄金分割及黄金数的概念告诉我们利用一元二次方程的知识可以求出黄金分割线段的具体比值，这些内容告诉我们黄金分割与黄金数在生活与生产中有着广泛的应用. 九年级下册第5章《对函数的再探索》中更是有大量的代数知识可以结合图象来学习的，在这里数形的结合为我们进一步认识函数的有关知识起到了重要的帮助作用. 可以说大量的数形结合的素材为同学们学习、理解“数与代数”的知识提供了直观上的帮助，这些内容也进一步反映出“数”和“形”完美结合的必然趋势. 正如我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.
2.4 体现了数学知识的形成与应用过程
　　我们在编写教科书时，绝不是把一个个的数学知识点向同学们作简单的介绍，学生的学习也不是单纯的机械模仿. 我们是结合具体的数学知识点，精选恰当的学习素材，介绍知识的背景，精心设计必要的数学活动，引导学生通过观察、实验、猜测、推理、交流、反思等，感悟到知识的形成与应用. 努力体现出“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的模式. 在“数与代数”领域，我们的做法是：
　　2.4.1 引导学生通过探究活动完成对数学知识的认知过程
　　在引入新的数学知识时，我们设计了一些探索学习活动，学生在经历这些活动的过程的同时，也经历了数学知识的形成过程，这样安排对于同学们理解数学知识和方法，形成良好的数学思维习惯具有重要的作用.
　　如，七年级上册第3.1节“有理数的加法与减法”中，为了归纳、总结出加法法则，教科书用“交流与发现”的栏目引导学生进行探究活动，给出了海上钻井平台记录潮起潮落的情况，以这一实际问题为例，利用海水涨落的6种不同的情境，引导学生在已有的算术数的加法意义和对正负数的认识的基础上，列出含有正、负数和0的算式，自己得到运算结果. 为帮助同学们理解运算结果的合理性，教科书针对上面的六个问题，分别用点在数轴上位置的变动进行说明，让同学们体会运算法则的合理性.
　　2.4.2 解决问题的活动反映了数学知识的应用过程
　　学习数学的主要目的是利用数学知识解答所遇到的实际问题，在解答这些问题的过程中，形成并发展同学们的数学能力，养成用数学的眼光看待问题的习惯，促进数学素质的提高. 本领域的教科书体现了从具体的问题情境中抽象出数学问题、使用各种数学语言表达问题、建立数学关系式、获得合理的解答、理解并掌握相应的数学知识与技能的有意义的学习过程. 根据课程的内容，进行设计运用有关的数学知识解决问题的活动.
　　如，八年级上册3.7节“分式方程”中的例5：
　　甲、乙两地相距360千米，张老师和王老师分别乘坐早7时发出的普通客车和8时15分发出的豪华客车从甲地去乙地，恰好同时到达. 已知豪华客车与普通客车的 平均速度的比是4∶3，求两车的平均速度.
　　这个问题来源于生活实际，解答的过程实质上就是一个建立方程模型的过程，是对实际问题中的数量关系进一步探索和研究的过程，这样的活动体现了《标准》的编写要求. 在设计运用所学数学知识解答实际问题的过程时，注意到所创设的引导学生经历的过程既要有利于学生理解和掌握相关的知识技能，感悟数学思想，积累数学活动的经验；还要有利于提高学生发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力，以增强应用意识和创新意识.
　　2.5 突出对数学思想方法的渗透
　　《标准》在总体目标中指出，学生通过数学学习，要“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法”. 我们在编写时，非常注重对数学思想方法的渗透，努力做到用数学思想方法把已经学过的知识凝结成一张优化的认知结构网，因为只有这样的知识结构才具有创新性，客观的说，我们以往的教材及教学对此的重视程度是不够的，这或许就是我们的学生动手实践能力、创新能力低的根本之所在.
　　例如，在7年级上册的第3章《有理数的运算》中所学的有理数的运算是应用最广泛的一种基本运算，它是初等数学的重要内容，是今后将要学习的实数运算、整式运算、分式运算、二次根式的运算等运算的基础. 我们在编写本章时，就努力体现了以下几种数学思想方法：
　　（1）分类思想. 在有理数的加法法则、乘法法则、乘方运算的符号法则等内容时，都是按有理数分成正数、负数、0三类分别研究的.
　　（2）数形结合思想. 有理数加法法则就是利用数轴，运用数形结合的方法经过探究得到的. 借助于数轴的直观性，可以较容易的理解和掌握.
　　（3）化归思想. 有理数的减法就是利用“相反数”这一概念转化为加法来运算的，得到了减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. 这一转化，使得加、减运算得到统一；有理数的除法就是利用“倒数”转化为乘法来运算的，得到了除法法则：除以一个数，等于乘以这个数的倒数. 从而使得乘、除法运算得到了统一.
　　2.6 注重学习方式的转变
　　改进学生的数学学习方式是《标准》所倡导的一个改革目标，它指出：“有效的数学学习活动不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式. ”我们的教科书在呈现方式上特别注意这一点，努力把学习素材用最适合于学生进行观察、发现、探究、合作与交流的方式展开，以此来引导学生主动地从事观察、试验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略.
　　七年级下册12.4节在学习“列方程组解应用题”的内容时，就通过提供一个具体的问题情境（问题串）引导学生经过自主探索和合作交流完成对有关知识的学习的. 这个情境是由一系列、有顺序、有层次的问题串组成的：
　　学校举办足球比赛，比赛的计分规则为：胜一场得3分，负一场的0分，平一场得1分.
　　七年级一班足球队共参加了7场比赛，而且比赛均未负于对手，共积17分. 你能算出七年级一班胜、平各几场？
　　这是一道典型的列二元一次方程组就能解决的实际问题，我们为了改变学生的学习方式，引导他们自主探索，同时照顾到学习困难的学生也能学会解答这一问题，特别设计了下面的一系列问题，让学生思考：
　　在这个问题中：
　　（1）已知量是什么？未知量是什么？
　　（2）等量关系是什么？
　　（3）如果设这支足球队胜x场，平y场，你能根据问题中的两个等量关系列出方程组吗？
　　（4）你会解所列的方程组吗？试一试，与同学交流.
　　显然，这些问题的难度是逐步加强的，同学们在自主探索的基础上，都能完成解答. 这样的引导有利于改变学生的学习方式，便于自学和交流. 同时为了降低学习难度，增加教科书的可读性和趣味性，体现出呈现方式的多样性、活泼性，本题的两个等量关系是由“小莹”给出的：
　　2.7 内容的设计具有一定的弹性，以满足不同学生的学习需求
　　《标准》要求数学课程应体现基础性、普及性和发展性，我们在编写“数与代数”这一领域的教科书时，一方面做到了保证所有学生的学习需求，使基础知识、基本技能、基本活动经验和基本数学思想方法得到相应的训练，完成对《标准》提供的所有学习内容的学习要求. 我们把《标准》的这一要求当做最低要求，它是所有学生都必须完成的学习任务，是一个最低的“平台”；另一方面，照顾到学生发展的差异和各地区发展的不平衡性，体现出了一定的弹性，以满足不同学生的学习需求，这样是符合关于“不同的人在数学上得到不同的发展”的发展性要求的.
　　例如，七年级下册学习完《二元一次方程组》的知识后，我们选取了中国古代数学著作《张丘建算经》中的一道名题“百鸡问题”，用“史海漫游”的栏目给出，这是一个十分有趣的不定方程组及其解的问题，它拓展了刚学习的二元一次方程组的有关知识，具有一定的探索高度，对学习成绩优秀的学生来说，可以起到巩固所学知识，拓展他们的视野的作用.
　　九年级下册5.2节后面用“广角镜”栏目给出的分段函数的简单介绍与应用，具有更大的挑战性，对于有学习潜力的学生来说是难得的学习材料，学生通过阅读与思考这些内容，可以加深他们对函数知识的认识，丰富其认知结构.

2.8 注意了辩证唯物主义观点的培养
　　为了做到让学生了解数学的价值，激发他们的好奇心，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，帮助他们形成实事求是的态度及全面正确看待问题的习惯，达到对其进行情感教育的目的，我们结合有关数学知识的学习，及时的对学生进行了辩证唯物主义等观点的教育.
　　例如，教科书非常注意了对立与统一关系的渗透，大家知道，在数学知识内容中存在着大量的对立和统一的概念，如，正数与负数、加法与减法、乘方与开方、常量与变量、精确与近似等. 在研究过程中也充满了对立与统一，如，已知与未知，特殊与一般，具体与抽象，实践与理论.
　　再如，在变量的研究中充满着运动、变化的思想. 7年级下册第11章《图形与坐标》中，所学习的一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=kx的图象之间可以通过上下移动|b|的距离而互相生成；九年级下册第5章《对函数的再探究》中，在学习了二次函数y=ax2的图象和性质后，可以通过上、下、左、右移动抛物线y=ax2，从而得到抛物线y=ax2+bx+c. 显然这些过程都体现着运动与变化的思想. 及时恰当的向学生渗透这些观点、思想能促进学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲，逐步养成全面看待问题、客观分析事物的良好思维品质和习惯.
　　2.9 图文并茂，可读性强
　　为了让学生愿意亲近数学、了解数学、喜欢数学，从而主动地从事数学学习，同时还为了使学习内容表述简单明了，容易让学生接受，增强教科书的可读性，实现“人书”对话，便于学生与学生，学生与教师之间的交流，我们在编写这个领域的内容时，做到了把实物、照片、图形、图表、文字、数学符号等多种形式相结合的方式，这样处理使得教科书的呈现方式丰富多彩，增加了教科书的可读性. 就“数与代数”领域来说，我们的具体做法是：
　　2.9.1 设计了“小亮”、“小莹”和“小博士”三个形象
　　卡通人物“小亮”、“小莹”和“小博士”的采用，增强了教科书的趣味性、活泼性，其中“小亮”和“小莹”代表学生，他们与同学们是同学，他们既可以提出问题，也可以与同学们一起学习和讨论，从而解答问题；“小博士”是知识的化身，可以看成是“教师”，他能对同学们学习中可能遇到的疑难问题及时进行点拨、提示和总结. 如从前面的引例可以看出，解应用题必须把普通语言转化为数学语言，为了强化这一点，教科书是让博士告诉同学们的. 这样安排实现了人与教科书的对话，能激发同学们学习的积极性，也促进了同学与同学、同学与教师之间的交流.
　　2.9.2 用“加油站”等固定栏目，及时补充有关的知识
　　我们在这套教科书中根据学习内容的需要设置了“动脑筋”、“加油站”、“智慧园”、“广角镜”、“回顾与总结”等固定栏目，这些栏目或者是为同学们提供数学知识背景资料，或者提供具有挑战特点的题目，或者系统整理这一章的学习内容等.
　　如7年级上册8.5节中的例5属于营销问题，这类问题与经济活动有关，可培养学生自主参与经济活动的能力. 解决这类问题，必须弄清楚进价、原价（标价）、售价、打折和利润等有关的概念以及它们之间的关系. 对这些问题，教科书用“加油站”栏目给出，类似这样的栏目，本节教科书还有五个，其中三个智趣园，两个挑战自我栏目. 这些栏目内容丰富多彩，一方面补充了课文中的有关知识，另一方面，又显得版面设计大方. 增强了教科书的可读性，易激发学生的学习兴趣，并能使学生较持久的保持这种学习兴趣. 2.10 重视数学文化的熏陶作用 《标准》指出“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分”. 数学文化作为人类文化体系中的一个重要组成部分，由于具有自己独特的数学思想方法体系，数学语言体系和数学发展的动力体系等，所以数学文化构成了不同于其他文化的一种独特的体系. 数学文化是人类智慧与创造的结晶. 数学文化的历史以其独特的思想体系，保留并记录了人类社会在特定社会形态和特定历史阶段文化发展的状态. 普遍认为数学文化的教育价值在促进人的素质提高方面的作用越来越大，我们为了充分发挥数学课程的文化传播功能，在教科书的编写过程中，结合具体的教学内容，适时恰当的以古代的一些数学文化为讨论问题的背景，这样一方面为相应内容的学习提供了素材，另一方面还向学生展现了古代数学及其理念、思想、方法在人类文化发展中的重要作用和地位.
　　如七年级上册8.5“一元一次方程的应用”中用两个“智趣园”栏目，给出了两道可用一元一次方程解答的题目：
　　（1）我国古代数学名著《九章算术》中的题目：“今有乘传委输，空车日行七十里，重车日行五十里. 今载太仓粟输上林，五日三返，问太仓去上林几何？”
　　（2）爱迪生曾设计了一个打水装置，将它与他家的大门相连，来人每次推门都会往水槽里加入20升水. 后来经过改进，每次推门能往水槽里加25升水，这样比原来少推门12次就能把水槽加满水，爱迪生家的水槽能盛多少升水？
　　学生在解答这两个题目时，除练习了方程的有关知识外，还受到了古代数学文化的熏陶.
　　八年级上册5.3节内用“史海漫游”栏目介绍的“关于圆周率的近似计算”及“无理数的由来”等知识都丰富了同学们的知识结构，感受到中国古代数学的辉煌，也增强了他们努力赶超世界先进水平的决心，可以说学生受到这种文化熏陶的价值远比仅仅理解栏目给出的知识或解答所给出的数学题目要大得多.
　　
　　3 教学建议
　　
　　数学教学应根据具体的教学内容，注意使学生在获得间接经验的同时也能够有机会获得直接经验，即从学生实际出发，创设有助于学生自主学习、合作交流的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流等获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，促使学生主动地、富有个性地学习，不断提高发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力. 教师在具体的数学教学活动中，要把《标准》的基本理念转化为自己的教学行为，处理好教师讲授与学生自主学习的关系，注重启发学生积极思考；发扬教学民主，当好学生数学活动的组织者、引导者、合作者；激发学生的学习潜能，鼓励学生大胆创新与实践；创造性地使用教科书，对教学内容进行大胆的组合与优化，积极开发、利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材；关注学生的个体差异，有效地实施差异教学、尝试教学，努力使每个学生都得到充分的发展. 就“数与代数”领域来说，在教学中，应注意以下几点：
　　3.1 注重数学课程目标的整体实现
　　《标准》在每个领域从“知识与技能”、“数学思考”、“解决问题”、“情感与态度”四个方面具体阐述了课程的目标. 课程目标的这四个方面，不是互相独立和割裂的，而是一个密切联系又相互交融的有机整体. 数学思考、问题解决、情感态度的发展离不开知识技能的学习，而知识技能的学习又必须有利于其他三个目标的实现. 这就要求我们在具体的备课设计和教学活动中，应同时兼顾这四个方面的目标，达到整体实现课程的目标. 只有做到四个课程目标同时得到实现，才能说学生受到了良好的数学教育，也才能达到学生全面、持续、和谐的发展.
　　课程目标的整体实现不是一朝一日就能完成的，它是一个类似于“滚雪球”的过程，需要日积月累. 在日常的教学活动中，教师应努力挖掘教学内容中可能蕴涵的、与上述四个方面目标有关的教育资源，通过长期的教学过程，逐渐实现课程的整体目标. 因此，无论是设计课堂教学方案，还是为实施这一设计方案而组织学生参与的各种教学活动，既要重视引导学生获得知识技能，还要通过创设一定的富有实际意义的情境来激发学生的学习兴趣，通过独立思考或者合作交流感悟所学具体知识中蕴涵的数学思想与方案例1 “二元一次方程组”的课程目标的制定（七年级下册第12章）
　　我们在制定“二元一次方程组”这一章的课程目标时，遵循《标准》的理念，是应从以下四个方面来落实的：
　　知识技能：（1）了解二元一次方程组及其有关概念；（2）会利用消元法、加减消元法解二元一次方程组；（3）探索二元一次方程组对应的图像，并会用作图像的方法解二元一次方程组；（4）能以二元一次方程组为工具解决一些简单的实际问题.
　　数学思考：（1）探索二元一次方程组的解法，体验“消元”方法和转化的数学思想；（2）经历用作图像的方法解二元一次方程组的过程，发展几何直觉；（3）能用二元一次方程组刻画事物间的相互关系，发展方程意识，体会到方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型.
　　解决问题：（1）能结合具体问题，尝试用不同方法解二元一次方程组，并能评价不同解法间的关系和不同；（2）能用文字、字母、图像清楚的表达解二元一次方程组的过程；（3）在运用二元一次方程组解决实际问题的过程中，发展应用意识.
　　情感与态度：（1）积极参入数学活动，努力探索二元一次方程组的解法；（2）体验数形结合的优越性，增强学习数学的兴趣；（3）在运用二元一次方程组解决实际问题的过程中，体验数学是解决实际问题的重要工具；（4）在独立思考的基础上，能与同学交流自己的解法，并能从交流中获益.
　　对目标的要求决不能只停留在知识技能方面，而且还要注重在让学生参入数学活动的过程性的要求. 注重数学应用意识的形成和培养，将教学目标的实现有机的融入到精心设计的情境中、过程中和应用中. 所以说上述目标涵盖了数学课程目标的各个纬度，体现了新课程的价值追求.
　　案例2 “等式的基本性质”的学习目标（七年级上册第八章第3节）
　　案例1是针对一章学习内容的整体目标设计，就一个课时来说，也要针对具体学习内容，从以上四个方面进行教学方案的设计. 在制定本课时的教学方案时，对于教学目标的定位应为：
　　（1）经历探索等式性质的过程；
　　（2）理解等式的基本性质；
　　（3）能利用等式的基本性质进行等式的变形；
　　（4）通过等式基本性质的运用对学生进行辩证唯物主义的教育.
　　3.2 加强数学概念教学
　　多年的教学实践告诉我们，决定数学教学效果的首要因素、基础因素和贯穿始终的因素就是：概念要明确. 在概念教学中，不能按照“定义＋例题”的教学模式进行，要设法复原从问题到结论和方法之间的精彩过程，即注重数学概念的过程教学.
　　一个数学概念的教学就是一个完整的教学过程，研究表明这个过程大致可以分为如下四个阶段：（1）概括；（2）表述；（3）识别；（4）运用. 可见，给数学概念下定义不是概念教学的全部，不能在定义本身下太多的功夫，应注意概念教学的全过程，不可有头无尾，也不能对四个阶段平均用力，应根据具体概念的实际和学生的认知水平，恰当的分配教学时间，以最优的方式完成概念教学. 对于一些抽象数学概念的教学，要如《标准》指出的那样，要关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式.
　　案例3 “三角函数概念”（八年级下册第9章）的导学过程
　　对于数学概念的教学，一定要引导学生经历概念的形成过程. 对于三角函数这个概念的教学，我们要向同学们展示三角函数的形成过程. 三角函数概念的产生过程，实质上就给出了下面的一个构造程序：图2
　　①建立坐标系；②计算∠α终边上一点P（x，y）到原点的距离r；③作yr，xr，yx，xy四个比；④分别给出四个比的名称；⑤给出三角函数的定义.
　　如sin30°的计算过程是：建立如图2所示的坐标系，在30°角的终边上任取一点P（x，y），显然，P点到O的距离r=2y，所以sin30°=yr=y2y=12. 3.3 重视实验操作
　　《标准》强调改变学生的学习方式，指出“动手操作，自主探究，合作交流是学生学习数学的重要方式”. 有些数学知识可通过引导学生自己亲自操作、实验或通过现代教育技术手段演示及操作，从中领悟到这些知识的形成过程，这样既发展了学生的思维能力、理解能力与创造能力，又能将新知识与已有知识有机的结合起来，还能增强学生学习的主动性，可谓“一举多得”.
　　案例4 估算意识的培养（七年级上册7.1节）
　　为了引出“估算”的概念，从而使学生感受到学习估算的必要性，逐步培养他们的估算意识，我们借助实验操作创设问题情境，引发学生思考与探索. 用“实验与探究”栏目引导学生进行折纸活动：
　　取一张报纸，将它对折，再对折，你估计最多能将它折几次？并提出两个问题让学生思考与探究：
　　（1）你能将它对折8次吗？为什么？
　　（2）如果能将一张报纸连续对折30次，你估计它的厚度是多少？
　　紧接着，教科书列式子估计出将一张报纸连续对折30次后的厚度将是100千米，这个厚度将超过珠穆朗玛峰的海拔高度11倍之多，这显然是不可能的.
　　3.4 重视数学思想方法的渗透和应用
　　《标准》在总体目标中指出，学生通过数学学习，要“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法”. 这就要求我们在数学教学中一定要根据具体的教学内容及时向学生渗透有关的数学数学方法.
　　案例5 多项式乘以多项式的法则的归纳过程（七年级下册第14章）
　　在《整式的乘法》这一章中，转化思想起着重要的作用，例如，同底数幂的乘、除法就分别转化为指数的加、减法，多项式的乘法最终要转化为单项式的乘法等，在这里“转化”起着关键性的作用. 教学中一定要结合具体的实例让学生体会到转化的意义. 在归纳“多项式乘以多项式的法则”的过程中，教师一定要充分重视对引例的分析与教学. 引例为：图3
　　汽车从北京出发，以a千米／时的速度行驶，经过t时到达天津. 然后，汽车速度比原来增加b千米／时，行驶时间比北京到天津多用w时到达泰山（图3）. 从天津到泰山的行程是多少千米？
　　由题意，得（a+b）（t+w）=a（t+w）+b（t+w）=at+aw+bt+bw.
　　要解决这个引例问题，我们列出了多项式乘多项式的算式：（a+b）（t+w）. 在得到算式的同时，使学生感受到多项式乘法运算来源于生活的实际问题. 为了计算上面的两个多项式相乘的问题，我们可以先把（t+w）看做一个字母A，这样就转化为前面学过的单项式与多项式相乘的问题了，然后利用单项式与多项式相乘的法则就可以把单项式与多项式相乘的问题转化为单项式与单项式相乘的问题. 从而推导出多项式与多项式相乘的法则. 由此可见，在归纳多项式乘多项式的法则的过程中，我们使用了整体的思想，两次使用了转化的思想.
　　3.5 注重学习方式的转变，促进学生的个性发展
　　《标准》特别强调要改变学习方式，鼓励学生自主发展. 本领域内我们将学习大量的运算法则和运算律，为落实这一要求，在引导学生探索运算法则和运算律时，教师应设计并组织学生进行观察、思考、探索、交流、发现等数学活动，让学生在参入这些活动的过程中，鼓励他们用自己的语言归纳出运算法则和运算律. 经过小组和全班的交流，逐步形成较为规范的语言，使学生真正理解用数学语言表达的运算法则和运算律的确切含义，会根据具体问题，运用相应的法则和运算律去处理.
　　案例6 负整数指数幂的意义（七年级下册14.2节）
法，引导他们在参与数学活动的过程中积累基本经验，并且逐步形成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等良好的学习习惯.
为了让学生理解规定a-n=1an（a≠0，n是正整数）的合理性，可让学生计算下列问题：23÷25和102÷106.
　　为了引起学生思维的认知冲突，引导学生分别按以下两种方式计算上面问题：
　　(1)根据分数的意义和约分法则计算
　　（得到23÷25=2325=122和102÷106=102106=1104）
　　(2)仿照同底数幂除法的运算法则进行计算
　　（得到23÷25=2-2和102÷106=10-4）
　　在学生得到两种不同结果的前提下，启发学生回答：要使被除式的指数小于除式的指数时，同底数幂除法的运算性质也能使用，我们该怎么办？
　　学生思考、猜想、议论、交流……，之后，得到的答案是：
　　2-2=122，10-4=1104.
　　教师导语：同学们猜想的很对，为了使被除式的指数小于除式的指数时，同底数幂除法的运算性质也能使用，我们规定：a-n=1an（a≠0，n是正整数）.
　　最后，再引导学生用自己的语言叙述上述规定的意义，至此，一个新的概念就建立起来了，从这个概念的建立过程看，我们改变了以往传统的教师直接讲的做法，注重了学生的活动，这样做既尊重了学生的个性，又促进了学生的发展.
　　3.6 充分利用现代信息技术与其他学科资源
　　《标准》指出：“教师要创造性地使用教科书，积极开发、利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材；要重视现代教育技术在教学中应用，有条件的地区，要尽可能合理、有效地使用计算机和有关软件，提高教学效率. ”教学在中，我们应努力使计算机、多媒体、互联网等信息技术等成为数学课程的资源，积极开发课件，将实物照片、素描、文字、表格、图形、字母等多种形式结合起来. 要充分发挥信息技术的优势，为学生的学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具；为所有学生提供探索复杂问题、多角度理解数学思想的机会，丰富学生数学探索的视野；为一些有需要的学生提供个体学习的机会，以便于教师为特殊需要的学生提供帮助；为偏远地区的学生提供教学指导和智力资源，更有效地吸引和帮助学生的数学学习. 多媒体技术能为教学提供并展示各种所需的资料，包括文字、声音、图像等，并能随时抽取播出；可以创设、模拟各种与教学内容相适应的情境.
　　3.7 加强对学生情感态度与价值观的培养
　　《标准》在“情感与态度”的四项指标中，包括了学习数学的价值. 提高到价值观的高度来认识，就回到了“以人为本”的教育理念上来了. 可见新的数学课程更加关注学生在情感态度、价值观和一般能力方面的全面发展，也就是说，我们更应该注重数学文化教育的价值作用. 在教学中，教师教得好与不好，不决定于教师的教，而决定于学生的学习情感、学习意志、学习习惯和学习能力. 这就决定了我们在进行数学教育时，不要单纯的只传授数学知识，而应该更加重视数学文化素质的培养.
　　在数学学习和训练时所形成的科学素质，无论干什么工作，都会起到重要的作用. 据我们所知，有不少各级党政领导、事业或企业的管理干部、学校校长，原来就是受过数学专业教育的. 在他们的工作中，虽然很少具体用到数学中的某个定理或定律，但通过数学训练所形成的数学思想和方法，用他们自己的话说，在工作中却是终生受益的. 正因为如此，许多国家都非常重视对学生情感态度和价值观的培养，这一点在各个国家的课程标准或课程方案中都有明显的体现.