一切尽在情理之中

一切尽在情理之中

——对“平行四边形”概念教学的认识

天津市教育教学研究室　刘金英

摘　要：对数学概念教学“合情合理”的追求，是数学课堂教学永恒的话题．本文结合“平行四边形”概念的教学，从“概念的引入”、“概念的形成”、“概念的应用”出发，探讨数学概念教学中的“合情合理”，试图呈现一种“一切尽在情理之中”的境界．

 

　　关键词：平行四边形  概念教学  合情合理

 

“情理”的基本解释是“常情和道理”．如果说“合乎情理”是人间至善，那么，对于数学概念教学“合情合理”的追求，就应该是数学课堂教学永恒的话题．本文拟结合对义务教育初中学段“平行四边形”概念教学中“情理交融”的认识，探讨数学概念教学的相关问题．

 

一、关于概念的引入

 

1．从实际应用的需要引入

 

数学概念，是人对客观事物中有关数量关系和空间形式方面本质属性的抽象，对某个数学概念的认识，应建立在对一类事物共同属性认识的基础之上．

 

教学“平行四边形”的概念也不例外．教师通过出示小区的伸缩门、庭院的竹篱笆、载重汽车的防护栏等一组日常生活中的图片，并从中抽象出几何基本图形，引导学生观察、思考它们的共同特点，使学生在这些典型、丰富且合乎实际的感性材料的基础上，获得对平行四边形本质属性的初步认识．

 

这样，通过生活中熟悉的素材，设置符合“常情”的教学情境，不仅赋予了“平行四边形”概念的现实背景，也使学生感悟到学习“平行四边形”概念的必要性，明白了学习的“道理”．

 

2．从数学知识发展的需要引入

 

学习一个新的数学概念，还应该把这个概念放到相应的概念体系中，考察它的“来龙去脉”，即分析学习这一概念需要怎样的基础，知道掌握它以后可以做什么．

 

平行四边形的定义，学生在小学已经接触过，但对于这个概念的本质属性，理解的并不深刻．初中学段的教学，并不是简单的重复，而是采用内涵定义法，即“种概念+类差=被定义的概念”，这样的方式，揭示了“平行四边形”概念的本质属性．在平行四边形的定义中，大前提是“四边形（种概念）”，条件是“两组对边分别平行（类差）”．“平行四边形”的内涵包含了“四边形”所有的内涵，而“两组对边分别平行”是平行四边形独有的、用以区别于一般四边形的本质属性．因此，教学中，教师只要抓住种概念（四边形）的类差（两组对边分别平行），引导学生思考“一个四边形具备了什么特征才是平行四边形”，就可以自然地使学生建立起对新概念（平行四边形）的本质属性的理解．

 

另外，学习了“平行四边形”的概念之后，再附加“有一个角为直角”、“邻边相等”，就可以对应得到“矩形”、“菱形”的概念，若两个条件同时满足，就可以得到“正方形”的概念．“平行四边形”概念的教学，为后续概念的学习，奠定了基础．

 

可见，从数学知识发展的需要出发，对“概念体系”进行分析，可以了解到概念间的从属关系，形成明晰的知识结构，并清晰地认识到学习“平行四边形”概念的“合理性”．

 

二、关于概念的形成

 

1．概念的明确

 

所谓明确概念，实质就是让学生理解一类事物的共同本质属性，可以利用学生认知结构中已有的概念，以定义的方式直接揭示概念的本质特征．

 

（1）明确概念的内涵

 

概念的内涵就是反映在概念中的对象的本质属性，它说明概念所反映的事物是什么样的．“平行四边形”的含义是：两组对边分别平行，这就是“平行四边形”的内涵．它揭示了“平行四边形”与“四边形”的隶属关系，以及它们之间的区别与联系，反映了“平行四边形“的本质属性．其中的关键词“两组对边分别平行”，既可以作为平行四边形的判定方法，又可以是平行四边形的一个性质．

 

（2）明确概念的外延

 

概念的外延就是指具有概念所反映的本质属性的对象，它说明概念所反映的是哪些事物．“平行四边形”是指矩形、菱形、正方形的全体，这就是“平行四边形”的外延．它反映的是概念的量的方面，是概念的使用范围．

 

教学中，给“平行四边形”下定义后，教师不仅要指出符合“平行四边形”定义的对象，而且也要让学生自己举出例子来．这样，从概念的引入（具体）到明确概念（一般），再到举出实例（具体），形成了一个完整的概念认知的过程．既符合学生的认知需要，又体现了概念形成的特点，“合情合理”．

 

2．概念的表示

 

在描述数学概念时，除了上述使用文字语言的方式外，还可以用符号语言和图形语言．

 

（1）用符号表示概念

 

数学符号是数学专有的特殊文字，其含义的高度概括和形式的高度浓缩，体现了数学简明性的特点．在概念教学中，真正让学生掌握概念符号的意义尤为重要．用符号语言描述平行四边形的定义为：在四边形中，若//，//，则四边形是平行四边形，记作．

 

（2）用图形表示概念

 

如图①，画出“两组对边分别平行”的四边形，即．结合图形，可以使学生对“平行四边形”的概念有一个更加直观、清晰的认识．

  　　　　

通常情况下，学习几何概念，往往把图形语言和符号语言联系在一起．

 

这里，需要注意的是，应尽量排除标准图形的负迁移作用，以及防止出现符号与概念意义的脱节，避免把个性特征作为概念的本质特征．例如，在中，有“//，//”，而对于，同样具有本质特征“//，//”．

 

符号语言的简明性与图形语言的直观性，合乎学生对“平行四边形”概念的理解和记忆，符合“人之常情”，教师再适时地提醒“回到定义中去”，让学生始终牢记其中的“道理”，即“两组对边分别平行”，可以很好地实现“情理交融”．

 

3．概念的深化

 

几何概念，无外乎从位置关系和数量关系两个角度进行刻画．“平行四边形”定义中的“两组对边分别平行”，是从“位置关系”出发，刻画了“边”的本质属性．如果从“数量关系”的角度，再来研究“平行四边形”的某些几何要素“边”或“角”，自然又可以得到进一步的结论，这是对“平行四边形”概念的深化．

 

在研究平行四边形“边”或“角”的数量关系时，教师不妨通过引导学生从平行四边形的位置关系“两组对边分别平行”出发，经历观察、猜想、实验、概括直至论证的过程，一方面，突出合情推理在解决问题中的作用，诠释“实验几何”与“论证几何”相辅相成的关系；另一方面，可以使学生对平行四边形的概念理解得更加深入，即“平行四边形的两组对边分别相等”，相对于定义中的“两组对边分别平行”，是由位置关系向数量关系的一种延伸，“平行四边形的两组对角分别相等”，相对于“两组对边分别平行”，是由“相邻的角互补”产生的思维的一种深化．

 

三、关于概念的应用

 

为了更好地理解概念，需要有一个应用概念的过程，即通过运用概念，去认识同类事物，推进对概念本质的理解．这是一个应用与理解同步的过程，概念的应用可以在知觉水平上进行，也可以在思维水平上进行．

 

1．在知觉水平上的应用

 

在知觉水平上的应用，就是要引导学生能用概念去判断面临的某一事物是否属于概念反映的具体对象．

 

例如，如图②，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张，形成了一个四边形，这个四边形是平行四边形吗？线段和的长度有什么关系？

  　　　　　　

本题首先要求学生判断一个四边形是否为平行四边形，由于这个“四边形”满

 

足“两条对边平行”，属于“平行四边形”概念所反映的本质属性，因此，学生只要

 

可以正确地完成这样的判断，我们就认为他从知觉上理解了“平行四边形”的概念．另外，本题还要求判断“线段和的长度有什么关系”，由于我们已经得到了“平行四边形的两组对边相等”的结论，学生已不需要再重复一系列的认识过程，可以直接从知觉上观察，得到，这是认知结构中已有概念在知觉水平上应用的另一种情形．

 

2．在思维水平上的应用

 

在思维水平上的应用，就是需要将“平行四边形”的概念，纳入到原有的概念或命题中，或者在解决复杂的问题时，与原有的概念或命题重新组合．

 

例如，如图③，四边形是平行四边形，，平分且交于点，且交于点，求的大小．

  　　　　

本题要求的大小，一种方法是先求，可借助于，将问题转化为求，这时就需要利用平行四边形的“对边平行”，有//，得，再由已知“平分”和“”推出的，可以得到；另一种方法是在△中，考虑与相关的角，需要求及，求时，需要综合（平行线的性质）、平分（角平分线的性质），得到，而求时，就需要根据“平行四边形的对边平行”，将问题转化为“相邻的角互补”，得，于是，可得．

 

在上述分析过程中，我们看到本题主要综合了“平行线的性质”及“角平分线的性质”，将“平行四边形”的概念应用其中．将“两条直线平行，同位角相等”、“两条直线平行，同旁内角互补”、“三角形内角和为”与“平行四边形的对边平行”重新组合、整理，使学生在寻求解题方案的同时，获得新旧知识之间的联系，对“平行四边形”的概念达到灵活应用的水平．

 

世人常说世事应遵从“合情合理”，笔者以为，我们的课堂教学，也应该追求一种“合情合理”的境界．当我们看到，每一个教学环节都是那样的顺畅、每一个问题都是那样的自然、每一个学生都是那样的心领神会时，细细品味，你会感觉到一切已尽在情理之中．

 

参考文献：

 

1 十三院校协编组.中学数学教材教法总论.北京:高等教育出版社，1980

 

2 曹才翰，章建跃.中学数学教学概论.北京:北京师范大学出版集团，2008

 

3 义务教育课程标准实验教科书数学八年级下册. 北京:人民教育出版社. 2008