2011中考数学一轮复习【代数篇】1.正比例函数与反比例函数

 中考复习之正比例函数与反比例函数

知识考点：

1、掌握正、反比例函数的概念；

2、掌握正、反比例函数的图象的性质；

3、会用待定系数法求正、反比例函数的解析式。

精典例题：

【例1】填空：

1、若正比例函数的图象经过二、四象限，则这个正比例函数的解析式是              。

2、已知点P（1，）在反比例函数（≠0）的图像上，其中（为实数），则这个函数的图像在第        象限。

3、如图，正比例函数（＞0）与反比例函数的图像交于A、C两点，AB⊥轴于B，CD⊥轴于D，则＝          。

                  

    答案：1、；2、一、三；3、6；4、（2，－4）

【例2】如图，直线（＞0）与双曲线（＞0）在第一象限的一支相交于A、B两点，与坐标轴交于C、D两点，P是双曲线上一点，且。

（1）试用、表示C、P两点的坐标；

（2）若△POD的面积等于1，试求双曲线在第一象限的一支的函数解析式；

（3）若△OAB的面积等于，试求△COA与△BOD的面积之和。

解析：（1）C（0，），D（，0）

          ∵PO＝PD

          ∴，

          ∴P（，）

     （2）∵，有，化简得：＝1

          ∴（＞0）

     （3）设A（，），B（，），由得：

，又得，即得，再由得，从而，，从而推出，所以。

故

评注：利用面积建立方程求解析式中的字母参数是常用方法。求两函数图像的交点坐标，即解由它们的解析式组成的方程组。

探索与创新：

【问题】如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和轴、轴分别交于点A和点B，且OA＝OB＝1。这条曲线是函数的图像在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（、），由点P向轴、轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F。

（1）分别求出点E、F的坐标（用的代数式表示点E的坐标，用的代数式表示点F的坐标，只须写出结果，不要求写出计算过程）；

（2）求△OEF的面积（结果用含、的代数式表示）；[

（3）△AOF与△BOE是否一定相似，请予以证明。如果不一定相似或一定不相似，简要说明理由。

（4）当点P在曲线上移动时，△OEF随之变动，指出在△OEF的三个内角中，大小始终保持不变的那个角的大小，并证明你的结论。

解析：（1）点E（，），点F（，）

     （2）

                ＝

                ＝

          （3）△AOF与△BOE一定相似，下面给出证明

∵OA＝OB＝1

∴∠FAO＝∠EBO

BE＝

AF＝

∵点P（，）是曲线上一点

∴，即AF·BE＝OB·OA＝1

∴

∴△AOF∽△BOE

          （4）当点P在曲线上移动时，△OEF中∠EOF一定等于450，由（3）知，∠AFO＝∠BOE，于是由∠AFO＝∠B＋∠BOF及∠BOE＝∠BOF＋∠EOF

    ∴∠EOF＝∠B＝450

    评注：此题第（3）（4）问均为探索性问题，（4）以（3）为基础，在肯定（3）的结论后，（4）的解决就不难了。在证明三角形相似时，∠EBO＝∠OAF是较明显的，关键是证明两夹边对应成比例，这里用到了点P（，）在双曲线上这一重要条件，挖掘形的特征，并把形的因素转化为相应的代数式形式是解本题的关键。

跟踪训练：

一、选择题：

1、下列命题中：

①函数（2≤≤5）的图像是一条直线；

②若与成反比例，与成正比例，则与成反比例；

③如果一条双曲线经过点（，），那么它一定同时经过点（，）；

④如果P1（，），P2（，），是双曲线同一分支上的两点，那么当＞时，＞。

正确的个数有（    ）

A、1个            B、2个            C、3个            D、4个

2、已知M是反比例函数（≠0）图像上一点，MA⊥轴于A，若，则这个反比例函数的解析式是（    ）

    A、                            B、

C、或                  D、或

3、在同一坐标系中函数和的大致图像必是（    ）

   

      A                   B                C              D

4、在反比例函数的图像上有三点（，），（，），（，）若  ＞＞0＞，则下列各式正确的是（    ）

    A、＞＞                      B、＞＞

C、＞＞                      D、＞＞

5、在同一坐标系内，两个反比例函数的图像与反比例函数的图像（  为常数）具有以下对称性：既关于轴，又关于轴成轴对称，那么的值是（    ）

    A、3                  B、2                C、1                D、0

二、填空题：

1、若反比例函数在每一个象限内，随的增大而增大，则＝          。

2、A、B两点关于轴对称，A在双曲线上，点B在直线上，则A点坐标是          。

3、已知双曲线上有一点A（，），且、是方程的两根，则＝          ，点A到原点的距离是              。

4、已知直线与双曲线相交于点（，2），那么它们的另一个交点为            。

5、如图，Rt△AOB的顶点A是一次函数的图像与反比例函数的图像在第二象限的交点，且，则A点坐标是          。

三、解答题：

1、如图，直线交轴、轴于点A、B，与反比例函数的图像交于C、D两点，如果A（2，0），点C、D分别在一、三象限，且OA＝OB＝AC＝BD，求反比例函数的解析式。

      

2、已知，与成正比例，与成反比例，当＝－1时，＝3；当＝2时，＝－3，

（1）求与之间的函数关系式；

（2）当时，求的值。

3、如图，反比例函数与一次函数的图像交于A、B两点。

（1）求A、B两点的坐标；

（2）求△AOB的面积。

4、如图，已知双曲线（＞0）与经过点A（1，0），B（0，1）的直线交于P、Q两点，连结OP、OQ。

（1）求证：△OAQ≌△OBP；

（2）若C是OA上不与O、A重合的任意一点，CA＝，CD⊥AB于D，DE⊥OB于E。①为何值时，CE＝AC？②线段OA上是否存在点C，使CE∥AB？若存在这样的点，则请写出点C的坐标；若不存在，请说明理由。

参考答案

一、选择题：CCCAC

二、填空题：

1、－2；2、（1，1）或（－1，－1）；3、，；4、（，）

5、（－1，2）

三、解答题：

1、；2、（1）；（2）；

3、（1）A（－2，4），B（4，－2）；（2）6；

4、（1）略；（2）①；②存在，C（，0）

http://zhongkao./e/20110105/4d23e66d483ae.shtml