本讲教育信息】
一、教学内容: 专题——整式与分式 二、教学目标: 1. 了解分解因式的意义,会用提公因式法、平方差公式和完全平方公式分解因式. 2. 熟练掌握分式的基本性质,会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算. 3. 会解分式方程和分式方程应用题. 4. 体会数学知识之间的整体联系. 三、知识要点分析: 1. 分解因式 分解因式的常用方法:提公因式法、运用公式法. 2. 分式的运算 (1)分式的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变. (2)分式乘除法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. (3)分式加减法法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;异分母分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算. 3. 分解因式和整式乘法运算是互逆的,分解因式和整式乘法运算是分式运算的重要依据. 4. 解分式方程的一般步骤: (1)去分母,即在方程的两边都乘以最简公分母,把分式方程化为整式方程. (2)解这个整式方程. (3)验根,即把整式方程的根代入最简公分母,使最简公分母不等于零的根是原方程的根,使最简公分母等于零的根是原方程的增根.需要注意的是,这种代入最简公分母验根的方法虽然简便,但是必须要保证解方程的各步运算准确无误,否则这种简便的验根方法不能起到有效的作用.因此,我们还可以采用另一种验根方法,即把求得的未知数的值代入原方程进行检验,看等式左边是否等于右边. 【典型例题】 知识点1:分解因式 例1. 分解因式: (1)x3-2x2+x;(2)x2(x-y)+y2(y-x). 题意分析:本题旨在考查综合运用提公因式法和公式法分解因式. 思路分析:(1)题是三项式,先提取公因式,再考虑用完全平方公式解题.(2)题先提取公因式,再考虑用平方差公式解题. 解:(1)x3-2x2+x =x(x2-2x+1) =x(x-1)2; (2)x2(x-y)+y2(y-x). =(x-y)x2-(x-y)y2 =(x-y)(x2-y2) =(x-y)(x+y)(x-y) =(x-y)2(x+y). 解题后的思考:解决分解因式的问题时,首先考虑因式是否有公因式,如果有,先提取公因式;如果没有公因式且因式是两项式,则考虑能否用平方差公式分解因式;因式是三项式时应考虑用完全平方公式解题.最后,直到每一个因式都不能再分解为止. 例2.在边长为a cm的正方形木板上开出边长为b cm(b<)的四个方形小孔,如图所示. (1)试用a、b表示出剩余部分的面积; (2)若a=14.5,b=2.75,则剩余部分的面积是多少?
题意分析:本题意在考查整式和分解因式的综合应用. 思路分析:剩余面积等于大正方形的面积减去四个小正方形的面积. 解:(1)剩余部分的面积=(a2-4b2)cm2. (2)当a=14.5,b=2.75时, (a2-4b2)=(a+2b)(a-2b) =(14.5+5.5)(14.5-5.5) =20×9 =180(cm2). 答:剩余部分的面积是 解题后的思考:观察所列算式,先分解因式,再代入求值较简便. 小结:分解因式是整式的一种重要的恒等变形,它和整式乘法运算,尤其是多项式乘法运算有着密切的联系.分解因式是分式的化简与运算、解一元二次方程的重要基础. 等关系的方法是相同的,所不同的是分式方程的数量关系大多是以分式的形式出现的. 小结:检验是解分式方程必不可少的步骤.注意,解分式方程的检验与解一元一次方程的检验是不同的,解一元一次方程验根的目的只是检验解答的过程有无错误,而解分式方程验根的目的是在解答无误的前提下看是否有增根,检验的办法是把结果代入原方程的各分母,看是否为零,也可直接代入最简公分母,看是否为零. 总结:本讲内容联系较密切,整式乘法→分解因式→分式运算→分式方程,层层递进,逐级加深.应重点掌握分解因式的方法和分式运算法则,并在此基础上进一步提高分析解决综合问题和应用问题的能力. 【预习导学案】 (暑假专题——图形的相似) 一、预习前知 1. 如何判断两个三角形相似,相似三角形有什么性质? 2. 什么是相似图形,什么是位似图形? 二、预习导学 1. 在同一时刻,身高 2. 如图,在RtΔABC中,∠C为直角,CD⊥AB于点D,BC=3,AB=5,其中的一对相似三角形是__________和__________;它们的面积比为_________.
【模拟试题】(答题时间:50分钟) 一、选择题
*4. 用简便方法计算下列各题. (1)10002-2000×993+9932; (2)1.992-2.992. **5. 注意:为了使同学们更好地解答本题,我们提供了一种解题思路,你可以依照这个思路,填写表格,并完成本题解答的全过程.如果你选用其他的解题方案,则不必填写表格,只需按照解答题的一般要求,进行解答即可. 天津市奥林匹克中心体育场——“水滴”位于天津市西南部的奥林匹克中心内,某校九年级学生由距“水滴” (Ⅰ)设骑车同学的速度为x千米/时,利用速度、时间、路程之间的关系填写下表. (要求:填上适当的代数式,完成表格)
(Ⅱ)列出方程(组),并求出问题的解.
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