主讲：方敏文
一周强化
一、一周知识概述
1、相似多边形
一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边的长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的长度的比叫作相似比．
2、相似多边形的性质
由相似多边形的定义知相似多边形的对应角相等，对应边成比例．
此外还有性质
定理1 相似多边形周长的比等于相似比；
定理2 相似多边形面积的比等于相似比的平方．
例如：如图所示，已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，且
．则：
(1)∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，∠D=∠D′；
(3)四边形ABCD的周长︰四边形A′B′C′D′的周长=k；
(4)S四边形ABCD︰S四边形A′B′C′D′=k2．
3、相似变换
把一个图形变成另一个图形，并保持图形形状不变的几何变换叫做相似变换．
4、位似变换与位似图形
如果一个图形由另一个图形作相似变换得到，而且对应顶点的连线交于一点O，这样的相似变换叫做位似变换，点O叫作位似中心，这时的相似比叫作位似比．
一个图形经过位似变换得到的图形与原图形是两个相似多边形，如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线交于一点，对应边互相平行（或共线），这样的两个多边形叫做位似图形。
5、 位似图形的画法及步骤
（1）确定位似中心；
（2）画经过位似中心，且分别过已知多边形各顶点的直线；
（3）分别在各直线上取一点，使其到位似中心的距离与已知多边形的对应顶点到位似中心的距离之比为相同的一个定值；
（4）顺次连接各点．
6、以原点为位似中心的位似变换的性质
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k．
若原图形上的点的坐标为（x,y），像与原图形的位似比为k，则像上的对应点的坐标为（kx，ky）或（－kx，-ky）．
二、重难点知识
1、一般地，两个相似多边形被分成个数相同且对应相似的三角形来研究相似多边形的性质，遵从将复杂的问题转化为简单的问题的一般方法，即从三角形入手，将多边形问题转化为三角形问题来处理．体现了转化的数学思想．
2、相似多边形性质应注意以下几点：
①面积比=（相似比）2，当已知面积比求相似比时，要进行开方运算：相似比=
；
②面积比=
．
(2)相似多边形中，对应三角形相似，其相似比等于原相似多边形的相似比；
相似多边形中对应对角线的比等于相似比；
相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
3、位似图形的两个特征
（1）两个图形是相似图形；
（2）两个相似图形每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行或共线．
4、位似变换和位似图形的性质
两个位似图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
5、相似图形与位似图形的区别与联系
两个图形是相似图形，但不一定是位似图形；
两个图形是位似图形，它们一定是相似图形．
三、典型例题讲解
例1、如果一张矩形纸的整张与半张相似，求整张纸的长和宽的比．
分析：
先根据题意，转换为几何图形，如下图，矩形ABCD为纸片，E、F分别为AD、BC的中点，由条件可得：AD︰AB＝AB︰BF可求．
解：如上图，∵矩形ABCD∽矩形BFEA，
．
∵点F为BC的中点，
．
．
．
，
．
例2、已知反比例函数，求以坐标原点为位似中心，位似比为2︰1的反比例函数解析式．
分析：
要求反比例函数解析式，只要知道一点的坐标，因此在的图象上找一点，所求反比例函数图象上对应点，由已知：︰1，从而求出点坐标．
解：
在图象上取一点，连结并延长至，使︰︰1，则得所求图象上的对应点．代入y=中得k=4．
∴所求反比例函数关系式为．
例3、将下图中的△ABC作下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．
(1)沿y轴负方向平移1个单位；
(2)关于x轴对称；
(3)以C点为位似中心，放大到1.5倍．
分析：
作平移、对称后的图形与原图全等，点的坐标发生变化，可根据平移、对称的特征，求出平移、对称后图形的坐标．位似变换如果以原点为位似中心可按位似变换的点的坐标求法求点的坐标．
解：变换后的图形如下图所示．
(1)将△ABC沿y轴负方向平移1个单位后得到△A1B1C1，A1(－5,－1)，B1(0,2)，C1(0,－1)．
即横坐标不变，纵坐标减小．
(2)将△ABC关于x轴对称后，得△A2B2C2，A2(－5,0)，B2(0,－3)，C2(0,0)．
即横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数．
(3)将△ABC以C点为位似中心，放大到1.5倍得△A3B3C3，显然，A3(－5×1.5,0)，B3(0,3×1.5)，C3(0,0)，即A3(－7.5,0)，B3(0,4.5)，C3(0,0)．
反思：
本题应先按图形变换的要求画出相应的图形，再求出变换后图形的点的坐标，第(3)问求变换后图形的点的坐标的方法，注意此时的位似中心是原点．
例4、如图，求作内接于已知三角形ABC的矩形DEFG，使它的边EF在BC上，顶点D，G分别在AB，AC上，且DE∶EF＝1∶2．
分析：
要作出DEFG的关键是确定它的一个顶点，如果我们选择B作位似中心，那就在△ABC中作出矩形，使，在BC上，在AB上，且．连结延长交AC于点G，就可作出符合条件的矩形DEFG．
作法：
(1)在AB上靠近B点取一点，经过作⊥BC，是垂足．
(2)在上取．
(3)经过作BC的平行线，经过作的平行线，这两条直线相交于点．
(4)连结，并延长交AC于点G．
(5)经过G作GD∥BC，交AB于点D，作GF⊥BC于点F．
(6)经过D作DE∥GF．
四边形DEFG是所求作的矩形．
例5、如图△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，2），B（3，1），C（1，0），试将△ABC放大，使放大后的△DEF与△ABC对应边之比为2∶1，并指出其对应边AB与DE有何位置关系？并说明理由．
分析：
将图形放大、缩小是位似变换，应先确定位似中心．
根据题意可取坐标原点为位似中心，则根据位似比可得D、E、F的坐标．
解：如上图，选取坐标原点为位似中心，连OA、OB，
则OA的直线解析式为y＝x
∵位似比k＝2
∴点D（4，4）在直线OA上
同理可得E（6，2），F（2，0）
连DE、EF、DF
则△DEF为将△ABC放大2倍后的图形
对应边DE∥BC
证明：
又∠AOB＝∠DOE
∴△AOB∽△DOE
∴∠OAB＝∠ODE
∴DE∥BC
