谈位似及其教学定位

jiu_jie 2013-07-21

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谈位似及其教学定位

淄博十八中　255000　刘同军

1　位似与位似变换

1.1　位似图形

定义1　位似图形：两个图形相似，且一个图形上的任意点A，B，…，P和另一个图形上的点A'，B'，…，P'分别对应，并且满足：

①直线AA'，BB'，…，PP' 都经过同一点O；

② ．

点O叫做位似中心．

若位似形是多边形，叫做位似多边形．即有如下定义：

定义2　对于两个多边形，若一个多边形的顶点A，B，…，P和另一个多边形的对应顶点A'，B'，…，P' 满足：

①直线AA'，BB'，…，PP'都经过同一点O；

② ．

则这两个多边形叫做位似多边形．

两个位似图形的各对对应点，都在位似中心的同旁，这两个位似图形叫做相互外位似，其位似中心叫做外位似中心．

两个位似图形的各对对应点全部都在位似中心的两旁，这两个位似图形叫做相互内位似，其位似中心叫做内位似中心．

位似多边形有如下性质：

①每个多边形都可以位似于它本身（反身性）；

②若多边形F位似于多边形F'，则多边形F'位似于多边形F；

③两个位似多边形一定相似，它们的相似比等于对应顶点与位似中心的距离的比；

④两个位似多边形的对应边分别平行．

1.2　位似变换

定义3　位似变换：一种几何变换．设O为平面上一定点，若某变换把平面上任意一点A变为直线OA上一点A'，并且，，则称这种变换为平面到它自身的位似变换，O为位似中心，k为位似比或位似系数．当k>0时，点A和A'位于直线OA上点O的同侧，称这种变换为正向位似变换，或顺位似变换，O为外位似中心（图1）；当k<0时，点A和A'在直线OA上点O的两侧，称这种位似变换为反向位似变换或逆位似变换，O为内位似中心（图2）．

当k=1时，位似变换为恒等变换，当k=-1时，位似变换为以O为中心，旋转角为180?的旋转变换或中心对称变换．

若图形M上各点经过位似变换后得图形M'时，则称图形M位似于图形M'，或图形M与M'位似．当时，图形被放大，当时，图形被缩小．

位似变换是一种特殊位置的相似变换．

位似变换有如下性质：

①位似变换把任意直线AB变为直线A'B'（过位似中心的直线变为它本身），并且AB∥A'B'，线段AB与A'B'满足；

②位似变换把两条相交直线变为相交直线，交角不变，并且交角的方向也不变；

③任意多边形变为与它相似的多边形；

④任意两个圆都是位似形．

对于两个同心圆来说，显然圆心就是它们的位似中心，而半径之比就是它们的位似系数．对于任意两圆，如图3，设⊙A的半径为r，⊙B的半径为R，如果直线AB上的点O和O₁满足，则O点是⊙A和⊙B的内位似中心，点O₁是两圆的外位似中心．

2　课标教材中的位似

2.1　定义

我们知道，在中小学教材中，为了使学生易于接受，本着科学性和量力性相结合的原则，常常要对一些本来严密的数学概念进行改写，在某一个教学阶段，有时会牺牲一些概念的严密性，仅给出一种描述性定义．位似的概念也是如此．不同版本的课标教材对位似概念的处理虽不尽相同，但大多是结合多边形的缩放给出了位似图形的定义．大致有如下几种说法：

（1）如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时两个图形的相似比又叫做它们的位似比（山东教育出版社2007年7月第3版《数学》八年级上册P58）．

青岛出版社、泰山出版社《数学》2006年8月第1版九年级上册P64：每对对应点所在直线交于一点的相似图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

显然，这两个版本的教材中关于位似的定义是一致的，浙教版九年级上册的数学课本也采用了这样的方法来定义．

（2）图27.3-2每幅图中的两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心（人民教育出版社2006年6月第1版《数学》九年级下册P60）．

显然，和（1）中定义位似的方法不同，这里用“位似多边形”作为位似图形的重要示例，把“每组对应点”改为了“对应顶点”，且注明了条件“对应边互相平行”．

（3）图24.5.1中的两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似叫做位似，点O叫做位似中心（华东师范大学出版社2007年6月第三版《数学》九年级上册P71）．

这是一个很不严密的定义．

2.2　性质

教材中关于位似的性质大都只涉及这么一条：位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上，任意一对对应点到似中心的距离之比等于位似比．

有的教材（如山东教育出版社）还试图让学生通过探究发现如下性质：位似图形的对应线段平行（或共线）．

3　教学中的位似

3.1　位似的教学定位：放缩变换

义务教育数学课程标准中对位似的要求是“了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。”可见，课标让学生了解位似，定位于让学生知道位似是一种变换，一种可以将图形放大或缩小的变换．

和大纲教材不同，课标教材强化了图形变换的意识，在学习位似之前，已经学习了平移、旋转（含中心对称）、轴对称三种变换，它们都是合同变换，也就是能够保持图形上任意两点间的距离不变，变换后的两个图形是全等形．在学习了相似形的知识后，还有必要让学生了解：初等几何变换还有相似变换，其中最简单的是位似变换，它是可以把图形放大缩小的一种变换．这种变换在生活中的例子除了在放映机、照相机等成像过程中常见外，课本还安排了诸如“对数视力表”等素材让学生去主动探究（北师大版、鲁教版等），有时，还可以用位似变换来设计艺术字（人教版），如图4．

3.2　关于位似的判定

（1）学习了位似的概念，似乎就绕不过对位似图形的识别判定问题．由于课标并未涉及位似的判定，教材中也未出现位似的判定定理，因而，定义就成了判定位似图形的唯一依据．

比如，鲁教版教材中设计了一个例题和一组练习，其中的例题是判断常见的基本图形——“A型图”中的两个三角形是否是位似图形．例题的解答中首先推导出△ADE∽△ABC，然后进行了如下说明：

又因为点A是△ADE和△ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C是对应点，直线BD和CE相交于点A，所以△ADE和△ABC是位似图形．

这个结论无疑是正确的，然后，上述解答却把教材上定义中的条件“每组对应点所在直线交于一点”中的关键词“每组对应点”简化成了“对应顶点”，这种不严密的推理，很容易使人产生这样的错误认识：“如果两个相似多边形的对应顶点的连线经过同一个点，则这两个多边形就是位似的．”

《中学数学杂志》2008年第8期李孟堂老师的《一道位似图形题引发的思考》一文中，李老师命制了如下题目：

如图6，在梯形ABCD中，AB⊥BC，∠ADC的平分线和∠BCD的平分线交于点E，且点E恰好落在AB上，则图中和△AED是位似图形的是　　　　，位似中心是．

李老师认为“△BCE与△AED是位似图形及中心点是E是确信无疑的”，但一些教师却根据“任意一对对应点到位似中心的距离比都等于位似比”得出了矛盾．其实，李老师“确信无疑”的是一个错误结论，“任意一对对应点到位似中心的距离比都等于位似比”本该是定义中的条件．即使按鲁教版的定义来分析，△AED的三个顶点及其对应点并不能代表△AED和△BCE的“每对”对应点．事实上，相似三角形的每对对应点远不只是它们的对应顶点，还包括了对应边上的无数对对应点．如图7，我们只要取AE的中点M和BC的中点N这样一对对应点，就会发现，它们的连线并不经过E．

要避免此类错误，关键是要对概念真正理解．作为一个教师或教研员，对概念的理解如果只局限于课本上的文本，则显得有些高度不够．这似乎又验证了那句老话：用教材教而不是教教材．

（2）由于位似图形具有对应线段平行、对应线段之比等于位似比和对应点的连线过位似中心等性质，因此，恰当使用位似来解题往往会使解法显得简捷明了．但是，要使用位似的性质都需要先进行位似的判定，而初中教材上给出的定义大都难以直接用来证明位似，所以，笔者认为用位似解复杂的证明和计算题，应属于竞赛性质的较高要求，不宜作为对一般学生的普遍要求，也不宜作为中考或模拟考试题使用．