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三角恒等变换之我见

 昵称44885 2011-02-26

    变换是一种重要的数学工具,而三角恒等变换是解决三角函数问题的重要工具. 关于三角恒等变换,《普通高中数学课程标准》内的要求如下:
     
一、经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作用。
        二、能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解他们的内在联系。
       三、能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆)。
       三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中,发展推理能力和运算能力,使学生体会三角恒等变换的工具性作用,学会它们在数学中的一些应用。
      三角恒等变换在内容的安排上贯彻"
删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容"的理念,严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度,尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据,而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.运用上述公式进行简单的恒等变换,以引导学生推导半角公式,积化和差、和差化积公式(不要求记忆)作为基本训练,使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性,体会一般与特殊的思想,换元的思想,方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用.
      三角恒等变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,这是三角式恒等变换的重要特点.
       三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角公式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下:
         
(1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差,倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形
           
2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通常化切为弦,变异名为同名。
         
(3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,如常数"1"的代换。
 
      
4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。降幂并非绝对,有时需要升幂。
       
(5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。
       
(6)三角函数式的化简运算通常从:"角、名、形、幂"四方面入手。基本规则是:切化成弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特殊值与特殊角的三角函数互化。
        正确变换是三角恒变换的核心,在三角变换中,需要我们的学生预测变换的目标,合理选择变换公式,通过一些基本的变换途径实现三角变换,提高学生的推理能力和运算能力。

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