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几何证明（与三角形有关） 【复习要点】 1、三角形的边角关系 （1）三角形任何两边之和 第三边，任何两边之差 第三边。 （2）三角形的内角和等于 ，任何一个外角 和它不相邻的两个内角的和；任何一个外角 和它不相邻的内角。 2、三角形全等的判定和性质 （1）三角形全等的判定方法有 、 、 、 ，直角三角形全等的判定除了上述方法外，还有 。 （2）全等三角形的 、 、 、 、 、 、 分别相等。 3、三角形相似的判定和性质 （1）三角形相似的判定方法有 、 、 ，直角三角形全等的判定除了上述方法外，还有 。 （2）相似三角形的 相等， 成比例， 等于相似比， 等于相似比的平方。 4、三角形的中位线 第三边，并且 第三边的一半。 5、三角形的外心是 ，它到 的距离相等。 6、三角形的内心是 ，它到 的距离相等。 7、勾股定理是指： 。 8、等腰三角形的“三线合一”是指： 、 、 互相重合。 9、等边三角形的判定有： ； 【例题解析】 例1：如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．
(2)试判断△OEF的形状，并说明理由． 解析：欲证AB＝DC，则要看这两线段是否在同一个三角形中，若在，则利用“等角对等边”证之；若不在，则看它们分别分布在哪两个三角形中，然后证全等，从而寻求全等所需的三个条件是解决问题的关键。判断△OEF的形状，在利用（1）的结论时推导出是等腰三角形时，还要考虑是不是直角三角形。证明如下：（１）∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF， 即BF＝CE．又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴△ABF≌△DCE（AAS），∴AB＝DC．（２）△OEF为等腰三角形 ；理由如下：∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB=∠DEC．∴OE=OF．∴△OEF为等腰三角形.
例2 如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE；.
解析：看图、选择判定方法是解决这类题的关键，已知条件给的都是角，所以选择判定时可以从和角有关的判定入手。解答如下：（1）△ABC∽△ADE；△ABD∽△ACE。（2）①证△ABC∽△ADE，∵∠BAD=∠CAE ，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE；又∵∠ABC=∠ADE；△ABC∽△ADE；②证△ABD∽△ACE，∵△ABC∽△ADE； 反思：对于此类问题，选择好判定方法是解决这类题的关键，在证明时，应先证简单、把握的，然后现利用已证的结果作条件再应用。 【实弹射击】 1、如图，在
2、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABC≌△BAD．
求证：△
4、如图．点B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BE的两侧，AB∥DE，AC∥DF，BF=CE．求证：AC=DF．
（1）求证：△ABD∽△CED． （2）若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长． 6、如图，
7、学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件． （1）“对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到“满足 ，或 ，两个直角三角形相似”； （2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到“满足 的两个直角三角形相似”．请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程． 已知：如图， ． 试说明Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．
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