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章建跃:人教A版高中数学课标教材中的解析几何

2011-04-15  一亿监利

人教A版高中数学课标教材中的解析几何

──“中学数学中的解析几何之四

人民教育出版社中学数学室 章建跃

一、“课标”对解析几何内容的安排

 

为了体现“基础性”“多样性”“选择性”的原则,《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称“课标”)螺旋上升地在必修和选修模块中设置了解析几何内容。必修模块,要求学生在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程,运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系,并了解空间直角坐标系;体会数形结合的思想,初步形成用代数方法解决几何问题的能力。选修12模块(必选),要求学生学习圆锥曲线与方程,了解圆锥曲线与二次方程的关系,掌握圆锥曲线的基本几何性质,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,进一步体会数形结合的思想。作为解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化,“课标”设置了《坐标系与参数方程》专题(任选),要求学生通过本专题的学习,掌握极坐标和参数方程的基本概念,了解曲线的多种表现形式,体会从实际问题中抽象出数学问题的过程,培养探究数学问题的兴趣和能力,体会数学在实际中的应用价值,提高应用意识和实践能力。

 

从上述安排可见,“课标”构建的解析几何课程体系,是以坐标法为核心,依“直线与方程──圆与方程──圆锥曲线与方程──极坐标系与参数方程”为顺序,螺旋上升、循序渐进地展开内容。

 

二、人教A版解析几何教材的特点

 

在编写人教A版解析几何教材的过程中,我们按照“课标”的要求,注意吸收以往教材的优点,强调在继承基础上进行创新。内容的选择上,加强背景和应用,减少抽象的、形式化的理论;注重按照学生学习心理组织教材内容,循序渐进地逐步提高论理要求;注重坐标法思想内涵的理解和应用,减少机械套用、死记硬背;注重与平面几何、函数等的联系与综合,体现解析几何的学科特征;注重利用数学史料,渗透数学文化;等。在编排体例和编写方法上,贯彻“问题引导学习”思想,以恰时恰点的“问题串”引导学习;强调根据学生的数学认知规律,采用“归纳式”,引导学生归纳和概括数学结论;注意使用“先行组织者”等手段,从方法论角度,对如何观察、分析和解决问题上加强指导;采用单元制,在坐标法的统领下,从直线与方程、圆与方程到圆锥曲线与方程,最后到综合性的参数方程,分层递进、螺旋上升地展开内容;在语言叙述上力求做到条理清楚、简洁明快;等。

 

1.突出坐标法的核心地位,强调数形结合思想

 

应当说,任何解析几何的教材都会把这个问题作为首要任务加以考虑,关键是如何落实。为此,教材从三个方面考虑:

 

1)随时随地强调坐标法的基本思想,明确表述坐标法的基本步骤,并将其概括为“三步曲”:

 

第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何要素,将平面几何问题转化为代数问题;

 

第二步:通过代数运算与变换,解决代数问题;

 

第三步:分析代数结果的几何含义,并“翻译”成几何结论。

 

2)用坐标法解决典型的平面几何问题,引导学生理解坐标法的基本思想,体会坐标法的力量。例如,用坐标法证明三角形、平行四边形的性质,证明与圆相关的一些命题等。这些问题在平面几何中有一定困难,但用坐标法解决却“轻而易举”。

 

3)在解析几何学习的入门阶段,不安排涉及复杂代数运算的题目,减少代数变换的困难,但通过各种机会渗透和概括坐标法思想,强调经历用坐标法解决问题的完整过程,使学生集中精力于坐标法的学习。在后续阶段,逐步加强“先用平面几何眼光观察,再用坐标法解决”的思路。例如,在每一个章前引言中,不厌其烦地阐述解析几何的基本思想;加强“如何在坐标系下确定问题的几何要素”的引导,体现“从平面几何到解析几何”的过渡;明确提出“如何利用几何关系和几何量的代数表示讨论几何问题”的思考任务;强调用坐标法研究问题的规范,给出利用方程完整地讨论几何性质的示范;等。

 

2.根据学生学习心理安排教学内容

 

与以往教材相比较,在强调教材的科学性、逻辑性、结构性的同时,特别关注学生的学习心理,注意按照学生的思维逻辑组织教学内容,这是人教A版的一个总体特色。在解析几何部分,具体体现在如下几个方面:

 

1)强调“先行组织者”的使用。认知心理学认为,“先行组织者”有助于学生形成有意义学习的心向,能够为学生的学习建立一个“导游图”,避免学习的盲目性,同时也为新旧知识间搭建了一座桥梁。前已指出,解析几何具有“方法论”的学科特征,在解决具体问题之前明确其结构、方向和主要过程正是“先行组织者”的“强项”。所以,在教材内容的展开过程中,特别是在每一章节的开篇,我们赋予“先行组织者”以重要地位,特别注重用坐标法讨论问题基本思路的引导。实际上,这既是解析几何思想的教学,又是一种思维策略的教学。

 

2)坐标法、数形结合、运动变化思想等“默会知识”,采取“渗透──明确──应用”的过程。我们知道,坐标法、数形结合思想等都是数学中关于“怎么想”“怎么做”的知识,属“默会知识”范畴。这种知识的掌握,更多地要靠实践过程中的领悟和理解。因此,从总体看,教材按如下思路展开这些内容:在“直线与方程”“圆与方程”部分,从渗透到逐步明确,同时提供用坐标法解决几何问题的示范和练习,引导学生体会解析几何思想;在“圆锥曲线与方程”“参数方程”中,在进一步明确坐标法和数形结合思想的基础上,加强用坐标法解决综合性问题的训练,使学生在实践中深刻理解,学会用坐标法思考和解决问题。

 

3)改变“从定义出发”的教材呈现方式,尽量用“归纳式”呈现教材,注意从简单到复杂、从单一到综合地组织内容,按照从具体到抽象、从特殊到一般的方式,给学生提供归纳、概括的机会。这是与以往教材有很大区别的地方。例如,在讲“倾斜角与斜率”概念时,先引导学生思考在直角坐标系中(给定了参照系),“几个条件确定一条直线”“如何刻画‘倾斜程度’”“如何用一个量来表示‘倾斜程度’”等具体问题,并把它与日常生活中的“坡度”概念联系起来。在学生获得充分感知后,再概括出概念。又如,“曲线的方程”“方程的曲线”概念,这是一个充要条件,是数学严谨性的体现,在培养学生思维的逻辑性和严谨性方面都是很好的载体,但这也是一个不容易把握的概念,过早地出现,没有足够的知识准备,不仅会导致学生理解的困难,还会使他们产生“为什么要这样来要求”的疑问。因此,教材在直线与方程、圆与方程部分先有意识渗透相关概念,在圆锥曲线与方程之前,再安排这一概念的学习,并且也采用了从具体到抽象的思路。

 

3.问题引导学习,改进教与学的方式

 

这也是本套教材的一个特点。在解析几何部分,具体体现在如下几个方面:

 

1)充分发挥“史料”的作用,从整体上展示解析几何所研究的问题。正如上文所述,解析几何的发明既是为了解决人类实践活动中提出的问题,又是为了探寻科研的普适性方法。教科书以这些历史资料为素材,从宏观上提出问题,引导学生感受坐标法。我们认为,这样的处理对学生把握解析几何的基本思想和学习方向很有好处,这也是区别于以往教科书的一个突出特点。

 

2)利用“观察”“思考”“探究”栏目提出问题,引导学生主动学习。这些问题是学生在学习具体内容时普遍都会遇到的,教科书通过它们来引导学生的思考方向,为学生独立思考、自主探究构建平台。例如,在引入椭圆概念时,通过“你能说出移动的笔尖(动点)满足的几何条件吗?”引导学生探究确定椭圆的几何要素,从而为选择坐标系、建立标准方程、讨论椭圆的性质等做好必要准备。在推导椭圆标准方程的过程中,通过“观察图形,你能从中找出表示ac 的线段吗?”引导学生思考ac 的几何意义,使学生理解引入b2的合理性。

 

4.加强背景和应用,完善学习过程

 

我国数学教学有以练习促理解、以技能训练代替思维训练的习惯,解析几何教学也以解答大量题目为主,这是一种“掐头去尾烧中段”的做法,对学生形成全面的数学理解没有好处。解析几何是一门“方法论”色彩浓厚的学科,应当以“用坐标法研究问题”为主线,以让学生领会坐标法和数形结合思想为主要任务,仅靠做练习题是无法完成这一任务的。为此,加强背景和应用,使学生经历完整的用坐标法解决问题的过程,变“掐头去尾烧中段”为“接头续尾烧全鱼”,是解析几何教学中必须予以充分重视的问题。教科书在这方面作出了努力,例如:

 

1)加强确定各类图形的几何要素的分析,在此基础上建立适当的坐标系。实际上这是“几何眼光观察在先”的体现,是以往教材不够重视的地方。

 

2)加大用坐标法思想分析问题的力度。从简洁性考虑,以往教材往往直接呈现逻辑过程,这是一种思考的“结果”,而对“为什么这样思考”则需要学生自己去体会,但这对学生而言是比较困难的。人教A版通过加强用坐标法分析问题,既展示了过程,又体现了对学生思维的引导。例如,通过“对于直角坐标系内的直线,它的位置由哪些条件确定?”引导学生思考:平面几何中是“两点确定一条直线”,有了坐标系作为参照系,这种条件可以有哪些变化。在学生认识到可以用直线与坐标轴的位置关系来确定后,再引入倾斜角概念。在此基础上再讨论如何用代数方法表示直线的“倾斜程度”,由此引入斜率概念。然后,通过引导语:“在直角坐标系中,给定一点P0(x0y0)和斜率k,就能唯一确定一条直线,即平面直角坐标系中的点在不在这条直线上,完全由点P0(x0y0)和斜率k确定。也就是说,直线上任意一点P(xy)的坐标完全由P0的坐标x0y0k确定。那么这种关系的代数表达式是什么呢?”启发学生思考,并推导出点斜式方程。这个引导语完整地表述了“平面几何语言——解析几何语言”的转化,“几何关系——坐标关系”的转化。实践表明,这样的措施对于发挥解析几何的综合作用,促进学生对坐标法的深刻理解,提高综合应用数学知识解决问题的能力,都起了很好的作用。

 

5.加强联系与综合,体现“思想性”

 

本套教材为了改变以往教材存在的“讲逻辑而不讲思想”的不足,在提高思想性方面作出了较大努力,加强联系与综合正是落实“思想性”的载体。在编写过程中,发挥解析几何课程特点和优势,把它作为提高思想性的强大平台,沟通代数、几何、三角等的相互联系,引导学生认识数学的内在一致性,成为主要指导思想之一。例如,数学史上,函数曾被当作曲线来研究,由于把曲线看成是动点的轨迹,函数(变量之间的关系)与曲线建立了非常紧密的联系,由此也使运动进入了数学。这样,从曲线作为坐标平面内点的运动轨迹,用运动变化的思想,用函数的观点研究问题,是解析几何学习中的应有之意。当然,这种联系与综合,既有点斜式方程与一次函数、抛物线方程与二次函数这样的“显性”内容,更加重要的,还有用函数和运动变化的观点看待和处理点的轨迹方程等问题的“隐性”联系。例如,函数的性质就是在变化过程中表现的规律性,像单调性、周期性、奇偶性、最大(小)值等,都是在变化过程中表现的某种“不变性”,这是学生熟悉的。在解析几何中,也要通过方程研究这种“规律性”,或利用这种“不变性”建立曲线的方程。例如,点斜式方程的建立,依赖于直线的斜率保持不变;椭圆方程的建立依赖于动点到两个定点的距离关系保持不变;圆锥曲线的方程、性质源于“两个距离”的不变关系;等。总之,在解析几何的研究中,怎样把动点表现的“变”与定点、定直线、定长、定角等表现的“不变”联系起来,或“以静驭动”,或“假动观静”,确是一个关键性的问题。教材正是利用了解析几何与函数间的深刻渊源关系,从函数及其性质的研究中得到启发,水到渠成地展开相应的问题和方法。

 

6.体现教学设计思想

 

本次课改中,变革教学方式和学习方式是一个共识,教材对此负有责任。人教A版通过渗透以引导学生主动学习为核心的教学设计理念,达到引导教、学方式变革的目的。其中,特别注意了针对数学核心概念、思想方法的教学设计的引领作用。应该说,解析几何中只有坐标系、曲线与方程、斜率、直线的方程、圆锥曲线的方程等不多的核心概念,但坐标法、数形结合思想等极其重要。因此,如何以这些核心概念为载体,更好地体现坐标法和数形结合的基本思想,设计恰当的“问题串”以引导学生独立地、有序地、积极地思考,从而把积极主动的学习方式落在实处,就成为解析几何教材中体现教学设计思想的关键。例如,在“直线与方程”一章中,教材以斜率概念为核心,通过“思考”“探究”等栏目,用前后连贯、循序渐进的近30个问题组成“问题串”,将整章内容连成一体。这些问题既有针对具体内容的,也有针对思想方法的,还有针对特例、细节的,它们构成本章内容的学习主线,形成思想内涵丰富的“直线与方程”的概念网络。在“问题串”的引导下,学生可以自然地、水到渠成地学习与思考,建立清楚的概念体系,形成清晰、稳定和可利用的“直线与方程”认知结构。又如,在“圆锥曲线与方程”中,以“曲线与方程”和“椭圆与方程”为核心构建内容、方法和思想体系,设计了以“曲线与方程”为指导思想,以椭圆的概念、几何要素、方程和性质的学习为重点,类比“椭圆与方程”学习“双曲线与方程”“抛物线与方程”的教学思路。实践表明,这样的编写思路对教师的教学设计和学生的自主学习,确能起到积极的引导作用。

 

三、几个教学建议

 

前面介绍教材特点时,已经涉及了如何教学的问题。下面我们再概括地谈几点建议。

 

1.以坐标法为核心和纽带,构建解析几何教学体系。

 

教学过程中,只有体现解析几何课程特点,抓住它的核心,才能真正发挥这一课程的作用,达成它的教学目标。解析几何所讨论的内容是非常丰富的,中学数学的解析几何课程只是最基础的、最简单的部分,但是其中的思想却是有一般意义的。因此,教学中应当注意以直线与方程、圆锥曲线与方程为载体,把让学生掌握坐标法这一工具去解决一些几何、代数的问题作为核心和重点。

 

2.解析几何是“以代数方法研究几何问题”,但教学中要注意代数与几何的相互为用。实际上,首先应该明确面临的几何问题是什么,然后才能用代数方法研究之。所以,教学中一定要注意“先用几何眼光观察,再用坐标法推理、论证和求解”的基本思路,不要忽视“几何要素的分析”这一环。实际上就是要处理好“代数求解”与“几何直观”之间的关系。如果过多地把注意力集中在代数角度研究,虽然能达到细致入微的境界,但没有直观形象的支撑,最后还是不能很好地把握几何性质。所以,教学中适当地进行“代数关系的几何意义”的训练也是很有必要的。

 

3.学习解析几何的另一个拦路虎是代数变换的繁琐、冗长,需要较强的运算能力。解题过程中,许多学生都是因为不能顺利进行代数变换而导致失败。鉴于当前学生数学水平的实际状况,为了使学生把握解析几何的基本思想,在教学中一定要注意控制代数变换的难度和技巧。

 

4.注意循序渐进地提高综合和联系的要求。解析几何课程的特点就在于它的综合性,但对学生而言,这样的综合能力需要逐步培养。有些问题,虽然其需要的基础知识学生都具备,但由于综合与联系所带来的思想方法的要求会极大地提高,伴随着的是对学生思维能力的高要求,因此这样的问题也不能过早出现。例如:圆的方程为x2+y2=r2,直线的方程为y=kx,这是最简单、常见的;三角函数中,正弦函数的性质、和(差)角公式是学生熟悉的;平面几何中,关于直线、圆的一些简单性质也是学生了解的。在这样的知识背景下,可以变化出非常复杂的问题来:

 

1)圆x2+y2=r2上任意一点的坐标表示为P(rcosθ,rsinθ),直线的方程为y=kx,由于直线过圆心(原点),因此将“圆上的点到直径的距离不大于半径”翻译为代数语言就有如下命题:

 

kθR,那么 1

 

2)由k=tanα,可以将直线方程化为xcosα+ysinα=0,由cos2α+sin2α=1,又可以将方程化为 0。以“单位圆上的点到直径的距离不大于1”为基础,可以构造出命题:

 

如果|a|1|b|1,那么 1

 

3)更一般地,以圆的方程x2+y2=d2,直线方程ax+by=0和“圆上的点到直径的距离不大于半径”为基础,可以构造如下命题:

 

已知abcd是实数,|c||d |,求证 |d|

 

显然,如果在学习了直线与方程、圆与方程后,就让学生解答上述几个题目,那么大部分学生都会感到太难了。其原因并不是知识不具备,而是自觉应用数形结合的思想、综合运用知识的能力还达不到这样的水平。

 

 

 

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