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人教A版高中数学课标教材中的解析几何 ──“中学数学中的解析几何”之四 人民教育出版社中学数学室 章建跃 一、“课标”对解析几何内容的安排 为了体现“基础性”“多样性”“选择性”的原则，《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称“课标”）螺旋上升地在必修和选修模块中设置了解析几何内容。必修模块，要求学生在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系，并了解空间直角坐标系；体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。选修1、2模块（必选），要求学生学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想。作为解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化，“课标”设置了《坐标系与参数方程》专题（任选），要求学生通过本专题的学习，掌握极坐标和参数方程的基本概念，了解曲线的多种表现形式，体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提高应用意识和实践能力。 从上述安排可见，“课标”构建的解析几何课程体系，是以坐标法为核心，依“直线与方程──圆与方程──圆锥曲线与方程──极坐标系与参数方程”为顺序，螺旋上升、循序渐进地展开内容。 二、人教A版解析几何教材的特点 在编写人教A版解析几何教材的过程中，我们按照“课标”的要求，注意吸收以往教材的优点，强调在继承基础上进行创新。在内容的选择上，加强背景和应用，减少抽象的、形式化的理论；注重按照学生学习心理组织教材内容，循序渐进地逐步提高论理要求；注重坐标法思想内涵的理解和应用，减少机械套用、死记硬背；注重与平面几何、函数等的联系与综合，体现解析几何的学科特征；注重利用数学史料，渗透数学文化；等。在编排体例和编写方法上，贯彻“问题引导学习”思想，以恰时恰点的“问题串”引导学习；强调根据学生的数学认知规律，采用“归纳式”，引导学生归纳和概括数学结论；注意使用“先行组织者”等手段，从方法论角度，对如何观察、分析和解决问题上加强指导；采用单元制，在坐标法的统领下，从直线与方程、圆与方程到圆锥曲线与方程，最后到综合性的参数方程，分层递进、螺旋上升地展开内容；在语言叙述上力求做到条理清楚、简洁明快；等。 1．突出坐标法的核心地位，强调数形结合思想 应当说，任何解析几何的教材都会把这个问题作为首要任务加以考虑，关键是如何落实。为此，教材从三个方面考虑： （1）随时随地强调坐标法的基本思想，明确表述坐标法的基本步骤，并将其概括为“三步曲”： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何要素，将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算与变换，解决代数问题； 第三步：分析代数结果的几何含义，并“翻译”成几何结论。 （2）用坐标法解决典型的平面几何问题，引导学生理解坐标法的基本思想，体会坐标法的力量。例如，用坐标法证明三角形、平行四边形的性质，证明与圆相关的一些命题等。这些问题在平面几何中有一定困难，但用坐标法解决却“轻而易举”。 （3）在解析几何学习的入门阶段，不安排涉及复杂代数运算的题目，减少代数变换的困难，但通过各种机会渗透和概括坐标法思想，强调经历用坐标法解决问题的完整过程，使学生集中精力于坐标法的学习。在后续阶段，逐步加强“先用平面几何眼光观察，再用坐标法解决”的思路。例如，在每一个章前引言中，不厌其烦地阐述解析几何的基本思想；加强“如何在坐标系下确定问题的几何要素”的引导，体现“从平面几何到解析几何”的过渡；明确提出“如何利用几何关系和几何量的代数表示讨论几何问题”的思考任务；强调用坐标法研究问题的规范，给出利用方程完整地讨论几何性质的示范；等。 2．根据学生学习心理安排教学内容 与以往教材相比较，在强调教材的科学性、逻辑性、结构性的同时，特别关注学生的学习心理，注意按照学生的思维逻辑组织教学内容，这是人教A版的一个总体特色。在解析几何部分，具体体现在如下几个方面： （1）强调“先行组织者”的使用。认知心理学认为，“先行组织者”有助于学生形成有意义学习的心向，能够为学生的学习建立一个“导游图”，避免学习的盲目性，同时也为新旧知识间搭建了一座桥梁。前已指出，解析几何具有“方法论”的学科特征，在解决具体问题之前明确其结构、方向和主要过程正是“先行组织者”的“强项”。所以，在教材内容的展开过程中，特别是在每一章节的开篇，我们赋予“先行组织者”以重要地位，特别注重用坐标法讨论问题基本思路的引导。实际上，这既是解析几何思想的教学，又是一种思维策略的教学。 （2）坐标法、数形结合、运动变化思想等“默会知识”，采取“渗透──明确──应用”的过程。我们知道，坐标法、数形结合思想等都是数学中关于“怎么想”“怎么做”的知识，属“默会知识”范畴。这种知识的掌握，更多地要靠实践过程中的领悟和理解。因此，从总体看，教材按如下思路展开这些内容：在“直线与方程”“圆与方程”部分，从渗透到逐步明确，同时提供用坐标法解决几何问题的示范和练习，引导学生体会解析几何思想；在“圆锥曲线与方程”“参数方程”中，在进一步明确坐标法和数形结合思想的基础上，加强用坐标法解决综合性问题的训练，使学生在实践中深刻理解，学会用坐标法思考和解决问题。 （3）改变“从定义出发”的教材呈现方式，尽量用“归纳式”呈现教材，注意从简单到复杂、从单一到综合地组织内容，按照从具体到抽象、从特殊到一般的方式，给学生提供归纳、概括的机会。这是与以往教材有很大区别的地方。例如，在讲“倾斜角与斜率”概念时，先引导学生思考在直角坐标系中（给定了参照系），“几个条件确定一条直线”“如何刻画‘倾斜程度’”“如何用一个量来表示‘倾斜程度’”等具体问题，并把它与日常生活中的“坡度”概念联系起来。在学生获得充分感知后，再概括出概念。又如，“曲线的方程”“方程的曲线”概念，这是一个充要条件，是数学严谨性的体现，在培养学生思维的逻辑性和严谨性方面都是很好的载体，但这也是一个不容易把握的概念，过早地出现，没有足够的知识准备，不仅会导致学生理解的困难，还会使他们产生“为什么要这样来要求”的疑问。因此，教材在直线与方程、圆与方程部分先有意识渗透相关概念，在圆锥曲线与方程之前，再安排这一概念的学习，并且也采用了从具体到抽象的思路。 3．问题引导学习，改进教与学的方式 这也是本套教材的一个特点。在解析几何部分，具体体现在如下几个方面： （1）充分发挥“史料”的作用，从整体上展示解析几何所研究的问题。正如上文所述，解析几何的发明既是为了解决人类实践活动中提出的问题，又是为了探寻科研的普适性方法。教科书以这些历史资料为素材，从宏观上提出问题，引导学生感受坐标法。我们认为，这样的处理对学生把握解析几何的基本思想和学习方向很有好处，这也是区别于以往教科书的一个突出特点。 （2）利用“观察”“思考”“探究”栏目提出问题，引导学生主动学习。这些问题是学生在学习具体内容时普遍都会遇到的，教科书通过它们来引导学生的思考方向，为学生独立思考、自主探究构建平台。例如，在引入椭圆概念时，通过“你能说出移动的笔尖（动点）满足的几何条件吗？”引导学生探究确定椭圆的几何要素，从而为选择坐标系、建立标准方程、讨论椭圆的性质等做好必要准备。在推导椭圆标准方程的过程中，通过“观察图形，你能从中找出表示a，c， 4．加强背景和应用，完善学习过程 我国数学教学有以练习促理解、以技能训练代替思维训练的习惯，解析几何教学也以解答大量题目为主，这是一种“掐头去尾烧中段”的做法，对学生形成全面的数学理解没有好处。解析几何是一门“方法论”色彩浓厚的学科，应当以“用坐标法研究问题”为主线，以让学生领会坐标法和数形结合思想为主要任务，仅靠做练习题是无法完成这一任务的。为此，加强背景和应用，使学生经历完整的用坐标法解决问题的过程，变“掐头去尾烧中段”为“接头续尾烧全鱼”，是解析几何教学中必须予以充分重视的问题。教科书在这方面作出了努力，例如： （1）加强确定各类图形的几何要素的分析，在此基础上建立适当的坐标系。实际上这是“几何眼光观察在先”的体现，是以往教材不够重视的地方。 （2）加大用坐标法思想分析问题的力度。从简洁性考虑，以往教材往往直接呈现逻辑过程，这是一种思考的“结果”，而对“为什么这样思考”则需要学生自己去体会，但这对学生而言是比较困难的。人教A版通过加强用坐标法分析问题，既展示了过程，又体现了对学生思维的引导。例如，通过“对于直角坐标系内的直线，它的位置由哪些条件确定？”引导学生思考：平面几何中是“两点确定一条直线”，有了坐标系作为参照系，这种条件可以有哪些变化。在学生认识到可以用直线与坐标轴的位置关系来确定后，再引入倾斜角概念。在此基础上再讨论如何用代数方法表示直线的“倾斜程度”，由此引入斜率概念。然后，通过引导语：“在直角坐标系中，给定一点P0(x0，y0)和斜率k，就能唯一确定一条直线，即平面直角坐标系中的点在不在这条直线上，完全由点P0(x0，y0)和斜率k确定。也就是说，直线上任意一点P(x，y)的坐标完全由P0的坐标x0，y0和k确定。那么这种关系的代数表达式是什么呢？”启发学生思考，并推导出点斜式方程。这个引导语完整地表述了“平面几何语言——解析几何语言”的转化，“几何关系——坐标关系”的转化。实践表明，这样的措施对于发挥解析几何的综合作用，促进学生对坐标法的深刻理解，提高综合应用数学知识解决问题的能力，都起了很好的作用。 5．加强联系与综合，体现“思想性” 本套教材为了改变以往教材存在的“讲逻辑而不讲思想”的不足，在提高思想性方面作出了较大努力，加强联系与综合正是落实“思想性”的载体。在编写过程中，发挥解析几何课程特点和优势，把它作为提高思想性的强大平台，沟通代数、几何、三角等的相互联系，引导学生认识数学的内在一致性，成为主要指导思想之一。例如，数学史上，函数曾被当作曲线来研究，由于把曲线看成是动点的轨迹，函数（变量之间的关系）与曲线建立了非常紧密的联系，由此也使运动进入了数学。这样，从曲线作为坐标平面内点的运动轨迹，用运动变化的思想，用函数的观点研究问题，是解析几何学习中的应有之意。当然，这种联系与综合，既有点斜式方程与一次函数、抛物线方程与二次函数这样的“显性”内容，更加重要的，还有用函数和运动变化的观点看待和处理点的轨迹方程等问题的“隐性”联系。例如，函数的性质就是在变化过程中表现的规律性，像单调性、周期性、奇偶性、最大（小）值等，都是在变化过程中表现的某种“不变性”，这是学生熟悉的。在解析几何中，也要通过方程研究这种“规律性”，或利用这种“不变性”建立曲线的方程。例如，点斜式方程的建立，依赖于直线的斜率保持不变；椭圆方程的建立依赖于动点到两个定点的距离关系保持不变；圆锥曲线的方程、性质源于“两个距离”的不变关系；等。总之，在解析几何的研究中，怎样把动点表现的“变”与定点、定直线、定长、定角等表现的“不变”联系起来，或“以静驭动”，或“假动观静”，确是一个关键性的问题。教材正是利用了解析几何与函数间的深刻渊源关系，从函数及其性质的研究中得到启发，水到渠成地展开相应的问题和方法。 6．体现教学设计思想 本次课改中，变革教学方式和学习方式是一个共识，教材对此负有责任。人教A版通过渗透以引导学生主动学习为核心的教学设计理念，达到引导教、学方式变革的目的。其中，特别注意了针对数学核心概念、思想方法的教学设计的引领作用。应该说，解析几何中只有坐标系、曲线与方程、斜率、直线的方程、圆锥曲线的方程等不多的核心概念，但坐标法、数形结合思想等极其重要。因此，如何以这些核心概念为载体，更好地体现坐标法和数形结合的基本思想，设计恰当的“问题串”以引导学生独立地、有序地、积极地思考，从而把积极主动的学习方式落在实处，就成为解析几何教材中体现教学设计思想的关键。例如，在“直线与方程”一章中，教材以斜率概念为核心，通过“思考”“探究”等栏目，用前后连贯、循序渐进的近30个问题组成“问题串”，将整章内容连成一体。这些问题既有针对具体内容的，也有针对思想方法的，还有针对特例、细节的，它们构成本章内容的学习主线，形成思想内涵丰富的“直线与方程”的概念网络。在“问题串”的引导下，学生可以自然地、水到渠成地学习与思考，建立清楚的概念体系，形成清晰、稳定和可利用的“直线与方程”认知结构。又如，在“圆锥曲线与方程”中，以“曲线与方程”和“椭圆与方程”为核心构建内容、方法和思想体系，设计了以“曲线与方程”为指导思想，以椭圆的概念、几何要素、方程和性质的学习为重点，类比“椭圆与方程”学习“双曲线与方程”“抛物线与方程”的教学思路。实践表明，这样的编写思路对教师的教学设计和学生的自主学习，确能起到积极的引导作用。 三、几个教学建议 前面介绍教材特点时，已经涉及了如何教学的问题。下面我们再概括地谈几点建议。 1．以坐标法为核心和纽带，构建解析几何教学体系。 教学过程中，只有体现解析几何课程特点，抓住它的核心，才能真正发挥这一课程的作用，达成它的教学目标。解析几何所讨论的内容是非常丰富的，中学数学的解析几何课程只是最基础的、最简单的部分，但是其中的思想却是有一般意义的。因此，教学中应当注意以直线与方程、圆锥曲线与方程为载体，把让学生掌握坐标法这一工具去解决一些几何、代数的问题作为核心和重点。 2．解析几何是“以代数方法研究几何问题”，但教学中要注意代数与几何的相互为用。实际上，首先应该明确面临的几何问题是什么，然后才能用代数方法研究之。所以，教学中一定要注意“先用几何眼光观察，再用坐标法推理、论证和求解”的基本思路，不要忽视“几何要素的分析”这一环。实际上就是要处理好“代数求解”与“几何直观”之间的关系。如果过多地把注意力集中在代数角度研究，虽然能达到细致入微的境界，但没有直观形象的支撑，最后还是不能很好地把握几何性质。所以，教学中适当地进行“代数关系的几何意义”的训练也是很有必要的。 3．学习解析几何的另一个拦路虎是代数变换的繁琐、冗长，需要较强的运算能力。解题过程中，许多学生都是因为不能顺利进行代数变换而导致失败。鉴于当前学生数学水平的实际状况，为了使学生把握解析几何的基本思想，在教学中一定要注意控制代数变换的难度和技巧。 4．注意循序渐进地提高综合和联系的要求。解析几何课程的特点就在于它的综合性，但对学生而言，这样的综合能力需要逐步培养。有些问题，虽然其需要的基础知识学生都具备，但由于综合与联系所带来的思想方法的要求会极大地提高，伴随着的是对学生思维能力的高要求，因此这样的问题也不能过早出现。例如：圆的方程为x2+y2=r2，直线的方程为y=kx，这是最简单、常见的；三角函数中，正弦函数的性质、和（差）角公式是学生熟悉的；平面几何中，关于直线、圆的一些简单性质也是学生了解的。在这样的知识背景下，可以变化出非常复杂的问题来： （1）圆x2+y2=r2上任意一点的坐标表示为P(rcosθ,rsinθ)，直线的方程为y=kx，由于直线过圆心（原点），因此将“圆上的点到直径的距离不大于半径”翻译为代数语言就有如下命题： 设k，θ∈R，那么 （2）由k=tanα，可以将直线方程化为xcosα+ysinα=0，由cos2α+sin2α=1，又可以将方程化为 如果|a|≤1，|b|≤1，那么 （3）更一般地，以圆的方程x2+y2=d2，直线方程ax+by=0和“圆上的点到直径的距离不大于半径”为基础，可以构造如下命题： 已知a，b，c，d是实数，|c|≤|d |，求证 显然，如果在学习了直线与方程、圆与方程后，就让学生解答上述几个题目，那么大部分学生都会感到太难了。其原因并不是知识不具备，而是自觉应用数形结合的思想、综合运用知识的能力还达不到这样的水平。
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