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“离散型随机变量”的含义理解与教学思考
“2.2.1离散型随机变量”是人教版数学2-3第二章“随机变量及其分布”的第一节第一课时内容，是学生在必修课程学习概率的基础上，进一步学习某些离散型随机变量分布列及其均值、方差等内容的基础概念课.教材通过取有限值的随机变量为载体，介绍有关随机变量的概念，重点在概念含义的理解及应用.随机变量的引入，使概率论的研究由个别随机事件扩大为随机变量所表征的随机现象的研究，它建立了连接随机现象和实数空间的一座桥梁，使我们能用变量来刻划随机试验的结果以及随机事件，以便借助于有关实数的数学工具来研究随机现象的本质，从而可以建立起应用到不同领域的概率模型，如二项分布模型、超几何分布模型、正态分布模型等.
由于随机变量与离散型随机变量不同于函数中的变量，它是按照一定概率取值的变量，牵涉许多学生所不具备的基础知识，按学生的现有知识和认知水平难以透彻理解，所以建立并正确理解随机变量与离散型随机变量的概念就成为教学的难点，关键是多考察实际例子，通过实例加深对随机变量及离散型随机变量含义的认识，会用随机变量表达简单的随机事件.
一、正确理解（离散型）随机变量的含义
随机变量的定义：如果对于试验的样本空间Ω中的每一个样本点ω，变量X都有一个确定的实数值与之对应，则变量X是样本点ω的实函数，记作X=X(ω) .我们称这样的变量X为随机变量．由于中学生相关知识的欠缺，教材对随机变量及离散型随机变量概念的引进都避开严格的数学定义.教科书借助实例给出随机变量的描述性定义：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.在此基础上给出离散型随机变量的定义：所有取值可以一一列出的随机变量.随机变量常用字母 X , Y，
随机变量的含义可以从下述几个方面理解：
（1）随机变量是将随机试验的结果数量化.许多随机事件表现为数量形式，但有些随机事件并不具有数量形式，这时，我们也可把这样的随机事件与实数之间，人为地而又合理地建立起一种对应关系，使每个随机事件都对应着一个实数，那么，随机事件就可以用这些实数为变量来表示，即可把试验的结果数量化.任何一个随机试验的结果都可以进行量化，不同的试验结果用不同的数表示，理论上同一个试验结果可以选择任意一个确定的数来表示，通常根据所关心的问题恰当地定义随机变量.
（2）随机变量的每一个取值都对应于随机试验的某一随机事件.
（3）随机变量的取值具有随机性.一方面指随着试验和观察次数的不同，随机变量可能取得不同的数值，即随机变量在不同的观察次数中数值在不断地变化，当然只有变化才称得上是变量；另一方面，由于随机变量的取值依赖试验的结果，虽然试验之前可以判断随机试验可能出现的所有结果，但在每次试验之前无法断言会出现何种结果，因而也就无法确定随机变量会取什么值，即它的取值具有随机性.
（4）随机变量的取值具有统计规律性.虽然随机变量在一次试验中的取值具有随机性，但多次试验或观测所得到的结果有一定的内在统计规律性，只有认识了这些规律性，才能用它来指导实践，对随机变量的研究可以通过其概率分布来描述，离散型随机变量的研究常用分布列、均值和方差等来衡量.随机变量X取每一个值
（5）通过随机变量的取值表达试验结果，虽然形式不一样，但不影响我们对试验实质的理解，因而在必修3中关于事件的运算性质和法则仍然可用在随机变量表示的事件上.
二、“离散型随机变量”的教学思考
1.通过对熟知实例的分析思考，理解随机变量的含义
随机变量的教学内容虽只限于概率论与数理统计的最基本概念，但仍牵涉许多学生所不具备的基础知识.教学中不追求数学理论上的严密性，对概念的讲解主要通过一些熟知浅显的实例来帮助学生加深理解.一个好的例子胜过一千次说教，教学中要善于利用大量的各种与随机变量有关的实际问题来发展学生感性认识，包括抛掷骰子出现的点数、射击命中的环数、产品检验中次品的件数、电灯泡的使用寿命、一天之内的温度、学生的体育锻炼时间等等.通过大量实例的分析思考，引导学生逐步理解随机变量的含义.
例如为了使试验结果数量化的认知过程自然，让学生感受到引入随机变量的合理简洁性，可以给出一些学生熟知的实例并分三类进行考察.首先通过举出试验结果本身已具有数值意义的实例，如掷一枚骰子可能出现的点数，某人射击可能命中的环数等，说明随机试验直接的可能结果一般为数值，形成对随机试验结果数量化的感性认识.其次举出随机试验的结果虽不具备数量性质，但试验结果间接含有数值意义的实例，如一次罚篮中，可能出现罚中、罚不中这两种情况，这个随机试验的结果不具备数量性质，但实际比赛中罚中得1分，罚不中得0分，当我们看到得1分就表示罚中了，得0分就表示罚不中，因此我们可以分别用数字1、0表示罚中和没罚中，这不仅借助学生“已有认知”感知试验的非数值结果如何数值化，而且隐含“根据所关心的问题恰当地定义随机变量”的特征.最后再给出随机试验的结果“完全”不具备数量性质的随机试验，如投掷一枚硬币，我们可以通过指定数“1”代表正面，“0”代表反面，为了计算n次投掷中出现的正面就只须计算其中“1”出现的次数了，从而使这一随机试验的结果与数值发生联系.明确了这种人为数值化的“对应关系”，再引导学生回顾必修3关于随机试验结果的随机性，随机变量的描述性定义就水到渠成了.
2.通过与函数概念的比较，加深对随机变量概念实质的理解
随机变量与函数这两个概念既有联系又有区别，他们都是从一个集合到另一个集合的映射.它们的区别主要在于：随机变量把随机试验的结果映为实数，而函数是把实数映为实数.在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域.函数关系是一些变量的变化完全决定另一些变量的变化，这些关系是确定性关系.随机变量虽然也是变化的，但却没有一个真正意义上的自变量x，它们之间虽然有着密切的联系，但这种关系无法用确定的函数关系式表达出来，即变量间有关联但不能彼此确定.函数的取值是按一定法则给定的，无需做试验便可依据自变量的值确定函数值，而随机变量的取值随试验结果而定，因为试验的结果的出现是随机的，因此，随机变量的取值也是随机的.
教学中可以借助具体的例子比较帮助学生明确它们的联系与区别.比如圆的面积是圆半径的函数，一旦圆的半径取定，那么圆的面积就是唯一确定的值.而对于掷一枚硬币出现的结果这一变量来说，我们用数1和0分别表示正面向上和反面向上（这种表示是确定的），因为掷一枚硬币可能出现的结果有两种（正面或反面），它是随机的，因此，出现数1和0也是随机的.对于随机变量来说，最关键的地方就是它的取值情况的不唯一，当事情发生时，可能出现多种结果.
3.通过具体实例分析与比较，理解“离散型随机变量”的概念
由于随机变量和离散随机变量是上、下位概念的关系，教学中可在给出随机变量概念的基础上直接给出离散型随机变量的概念，但从有助于学生理解概念的角度，可将随机变量分为“离散型随机变量”与“非离散型随机变量”两类，通过实例比较体会它们的区别，突出离散型随机变量“取值可以一一列出”的特性.
例如：①某机场候机室中一天的游客数量为X；②某寻呼台一天内收到的寻呼次数为X；③某水文站观察到一天中长江的水位为X；④某立交桥一天经过的车辆数为X.其中哪个不是离散型随机变量?
看一个变量是否是离散型随机变量，首先看它是否是随机的，其次看它是否是离散的.①、②、④中的随机变量X可能取的值，我们都可以按一定次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；③中的X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故X不是离散型随机变量.
4.通过实际应用，体会用随机变量表示随机事件的方法
引入随机变量的目的是为了研究随机现象，在“如何通过随机变量表示所关心的随机事件”问题上，教科书通过具体例子介绍用随机变量表示随机事件的方法，并通过“电灯泡的寿命X是离散型随机变量吗？”的问题讨论，引导学生体会，在实际应用中如何根据实际问题恰当地定义随机变量，以达到事半功倍的效果.教学中可以借助其它相关问题的讨论，突出离散型随机变量的取值特征，加深对离散型随机变量概念的理解，进一步体会用随机变量表示随机事件的方法.
例如：下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果.（教科书45页练习）
（1）抛掷两枚骰子，所得点数之和；
（2）某足球队在5次点球中射进的球数；
（3）任意抽取一瓶某种标有2500ml的饮料，其实际量与规定量之差.
并可进一步提出：对于（3）你能恰当地定义随机变量吗？
对随机变量及离散型随机变量这样抽象的概念，教学着眼点在于明确它的意义，通过具体实例分析与比较理解概念的含义，通过实际应用体会用随机变量表示随机事件的方法.结合后续内容的学习，逐步学会一种方法（即利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法），形成一种意识（用随机观念观察分析问题的意识）.
参考文献：
①李勇等.数学选修2-3教师教学用书[M].北京：人民教育出版社，2009.
②沈恒范.概率论与数理统计教程（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，1995.
③韩保席.随机变量教学中难点的成因及其解决对策[J].中学数学研究，2004(2).
④张得然，茆诗松.高中概率统计教学中关于随机性教学思维的培养[J].课程·教材·教法，2003(9). |
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