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离散型随机变量的教材设计意图与教学
最近在山西省晋中市参加了“中学数学核心概念、思想方法及其教学设计研究”的第九次课题活动，期间听了一堂离散型随机变量的课，使用的教材是人民教育出版社《普通高中课程标准试验教科书·数学（选修2-3）》（A版）．这堂课由浙江省绍兴市高级中学的陈柏良老师执教，学生来自晋中市榆次二中，课前教师做了充分的准备．课堂教学一定程度上反映了近年来课题给教师的成长带来的变化，以及高中课程改革的成果，但这堂课也反映出教师对教材内容的研究和处理还存在着一些问题．下面就结合这堂课，具体谈谈离散型随机变量这个概念教材的设计意图和教学建议．
一、课堂教学情况
本堂课教师主要按照以下三个环节来帮助学生认识离散型随机变量：
（一）初步理解随机变量
教师先通过抛掷一枚骰子的随机试验，给出每一种结果及其概率．在此基础上，引导学生分别将“1点朝上”、“2点朝上”、…、“6点朝上”等随机事件与数字1、2、…、6对应，从而就可以用数字来表示随机事件．其中，表示随机事件的这些数字为变量X的取值，该变量就是随机变量．这样，就初步建立了随机变量的概念．
（二）进一步认识随机变量
然后，教师引导学生将随机变量X的取值与骰子的每一种结果的概率建立对应关系，并说明该对应关系就是函数关系．由于每一个随机事件都有唯一的数字与它对应，于是进一步说明随机变量就是随机事件到表示其数字的一种映射．在此基础上，从函数概念出发，对比上述两种对应关系的差异，并强调前者是函数关系，而后者却不是．
（三）形成离散型随机变量的概念
最后，教师通过实例，让学生认识变量的取值存在连续和离散的情况．由此在随机变量概念的基础上，进一步给出离散型随机变量的概念．
从上所述可见，教师非常强调从函数角度理解随机变量概念．并且，突出了三种对应关系，一是随机事件与其发生概率的关系，二是随机事件发生的概率与表示随机事件的数字的关系，三是随机事件与表示其数字的关系．而教学的重点则主要放在后两种关系的分析上．
二、教材设计意图
（一）离散型随机变量概念的本质
在随机试验中，所有试验结果可以构成一个样本空间，而样本空间中的每一个试验结果都可以用一个实数表示，这些实数又构成一个实数空间，于是由样本空间到实数空间就确定了一个映射，这个映射就是一个随机变量，它的取值就是实数空间中的元素．如果随机变量的所有取值都可以一一列出时，这样的随机变量就是离散型随机变量．教材正是在此背景下给出离散型随机变量的概念．
（二）类比函数给出随机变量的概念
在《数学１》中已从集合对应的角度介绍了函数的概念，然后又介绍了映射的概念，并指出函数就是一个非空数集到另一个非空数集的映射．由此可知，随机变量和函数都是一种映射，二者具有类似的一面．所以，为了帮助学生更好地认识随机变量，教材便通过类比函数给出随机变量的概念．
不过需要注意的是，随机变量是把随机试验的结果映为实数，而函数则是把实数映为实数．研究函数主要是研究其概念和性质，并利用其概念和性质分析和解决现实世界中的一些变化规律．而本教材引入随机变量则主要为了更方便地研究与其相关的随机事件发生的概率的分布情况，从而让学生更好地认识随机现象．可见，随机变量与函数不论是概念还是研究内容和方法都有着本质的不同．教材类比函数仅仅是为了帮助学生更好地了解随机变量的概念，但并未将随机变量看作是函数，更没有用研究函数的方法去研究随机变量．
（三）大纲教材与课标教材在引入离散型随机变量概念的对比
1．大纲教材的引入
通过射击和产品检验这两个具体的随机试验，说明射击的环数和所抽次品的件数都可以用数字表示，而这些数字又可以用一个变量来表示，于是给出：
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．然后进一步给出：
对于随机变量可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
2．课标教材的引入
通过掷一枚骰子和掷一枚硬币这两个具体的随机试验，说明骰子朝上一面的点数和硬币朝上一面的结果都可以用数字表示，并图示出了试验结果与表示试验结果的数字的对应关系，然后给出：
在掷骰子和掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个实验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．然后教材指出：
随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．然后教材进一步给出：
所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
对比概念的上述两种引入，不难看出，大纲教材只是将随机变量定位在表示随机试验结果的数字的变量．而课标教材则通过类比函数，还进一步体现了随机变量的取值与试验结果的对应关系，不仅利于学生在原有认知基础上了解随机变量这一新的概念，还利于学生建立起随机变量与随机事件的联系，提高他们对随机事件发生的随机性的认识，不至于将随机变量仅仅看作是用来表示数字的一个字母，从而削弱了其取值与随机事件的对应关系．
三、教学建议
通过对教材设计意图的了解，以及对离散型随机变量概念本质的认识，再反思这堂课的教学，可以在以下方面对本堂课的教学作进一步的思考：
（一）注意区别随机变量和函数两个概念
教师在让学生通过类比函数来认识离散型随机变量的教学过程中，应该注意区别随机变量和函数两个概念．我们既要通过类比函数，让学生能够在所学函数概念的基础上，从映射的角度来认识随机变量，但还要让学生清楚随机变量毕竟不是函数，不能把随机变量当做函数来研究．当引入了离散型随机变量后，就应该将教学的重点转向研究离散型随机变量的分布列，并加强对随机现象的认识，而不必继续纠缠在与随机变量有关的映射关系的研究上．
（二）不必按函数对应关系进一步认识随机事件的概率与离散型随机变量的关系
教师应该充分领会教材的设计意图，把握好通过类比函数引入离散型随机变量的教学的度．当给出了离散型随机变量的概念之后，就不必再进一步研究随机事件的概率与离散型随机变量的取值的对应关系．虽然从随机事件的概率的集合到离散型随机变量的取值的集合的对应关系也是一种映射，而且这种映射就是一种函数关系，但研究这种函数关系既不是教材内容的重点，也不是概率统计学科所关心的问题，甚至可以说它对概率统计的研究意义不大．
（三）要突出引入离散型随机变量概念的必要性
1．能够很好地表示随机事件
虽然随机试验的结果可以用一个数来表示，但在一次随机试验之前，其可能出现的结果事先是无法预知的，即这个数是不能预先确定的．但用随机变量来表示随机试验的结果，其不同取值就可以表示不同的试验结果，这样就能够很好地反映随机试验中事件发生的随机性．
2．为利用数学工具更好地研究随机现象创造了条件
随机变量的引入是概率发展的一个分水岭，它使得对概率的研究发生了质的变化．由于引入了随机变量，不仅将大量具体的随机事件符号化，使不同的随机试验能够抽象为相同的数学模型，还为利用数学工具更好地研究随机现象创造了条件．从本堂课开始，就要有意识地让学生逐步感觉到随机变量的作用，并在此过程中对随机变量形成正确的认识．
教学研究是一个永无止境的过程，虽然本堂课存在一些问题，但正是由于暴露出了这些问题，才引发了我们对教材和教学的进一步思考，也才给了大家一个共同探讨的空间．本堂课也有许多值得大家借鉴的东西，例如教学内容实现了由大纲教材向课标教材的转变，体现了课标教材新的理念．在今后课程改革的实践中，我们还需要继续加强对课标、教材和教学设计的研究，促进课堂教学的改进，突出学科核心概念和思想方法．并通过课堂教学，反思课标和教材内容的设置和处理，推动课标和教材的进一步完善和发展，最终形成良性循环，使教学质量得到不断的提高． |
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