三大类递推数列通项公式的求法

　　一、一阶线性递推数列求通项问题

一阶线性递推数列主要有如下几种形式：

    1.

    这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列{f(n)}可求前n项和).

　　当为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式．而当为等差数列时，则为二阶等差数列，其通项公式应当为形式，注意与等差数列求和公式一般形式的区别，后者是，其常数项一定为０．

    2.

    这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列{g(n)}可求前n项积).

　　当为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式．

3.；

这类数列通常可转化为，或消去常数转化为二阶递推式.

例１已知数列中，,求的通项公式．

解析：解法一：转化为型递推数列．

∵∴又，故数列｛｝是首项为２，公比为２的等比数列．∴，即．

解法二：转化为型递推数列．

∵=2x_n-1+1(n≥2)　　①　　∴=2x_n+1　　②

②－①，得(n≥2)，故｛｝是首项为x₂-x₁=2，公比为２的等比数列，即，再用累加法得．

解法三：用迭代法．

当然,此题也可用归纳猜想法求之，但要用数学归纳法证明．

例２　已知函数的反函数为

求数列的通项公式.

解析：由已知得，则．

令=,则.比较系数，得.

即有．∴数列｛｝是以为首项，为公比的等比数列，∴，故．

评析：此题亦可采用归纳猜想得出通项公式，而后用数学归纳法证明之．

（4）

若取倒数,得，令，从而转化为（1）型而求之.

（5）；

这类数列可变换成，令，则转化为(1)型一阶线性递推公式.

例３　设数列求数列的通项公式．

解析：∵，两边同除以，得．令，则有．于是，得，∴数列是以首项为，公比为的等比数列，故，即，从而．

例４　设求数列的通项公式．

解析：设用代入，可解出．

∴是以公比为-2，首项为的等比数列．

∴，

即．

（6）

这类数列可取对数得，从而转化为等差数列型递推数列.

二、可转化为等差、等比数列或一些特殊数列的二阶递推数列　

例５　设数列求数列的通项公式．

解析：由可得

设

故即用累加法得

　或

例６　在数列求数列的通项公式．

解析：可用换元法将其转化为一阶线性递推数列．

令使数列是以 为公比的等比数列(待定)．

即∴对照已给递推式，  有即的两个实根．

从而

∴　　①

或　　②

由式①得；由式②得．

消去．

例７　在数列求．

解析：由　①，得　　②．

式②+式①，得，从而有．∴数列是以６为其周期．故==-1．

三、特殊的n阶递推数列

例８　已知数列满足，求的通项公式．

解析：∵　　 ①

　　　∴    ②

 ②－①，得．∴故有

将这几个式子累乘，得

又

例9　数列｛｝满足，求数列｛｝的同项公式．

解析：由 ①，得 ②．

式①－式②，得，或，故有.

∴,.

将上面几个式子累乘，得，即．

∵也满足上式，∴．