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数学是自然的、水到渠成的——“直线的倾斜角与斜率”教学片段的反思与重新设计

2011-04-18  一亿监利
数学是自然的、水到渠成的
——“直线的倾斜角与斜率”教学片段的反思与重新设计
浙江省金华第一中学 孔小明

在第六次课题会之前,笔者参与了阮老师开设“直线的倾斜角与斜率”研究课的教学设计的讨论。课后聆听了课题组成员的评点与分析,深受启发,也促使笔者的进一步反思。下面就课题引入、倾斜角概念形成的教学片段谈点粗浅的想法。

一、教学回顾

老师首先借助一次函数、二次函数与它们图象的关系引出坐标法概念及新内容的特点,然后引导学生研究坐标平面内最简单的图形——直线,明确本课研究的内容和步骤:先探索确定直线位置的几何要素,然后在坐标系中用代数的方法把几何要素表示出来。接着通过下述五个主干问题,引导学生得出刻画直角坐标系中一条直线倾斜程度的几何要素——倾斜角。

问题1:如图1,对于平面直角坐标系内的一直线l,你认为它的位置由哪些条件确定?

          

问题2:如图2在直角坐标系中,过点P1的不同直线的区别在哪里?

问题3在直角坐标系中,任何一条直线与x轴都有一个相对倾斜度,可以用一个什么几何量来反映一条直线与x轴的相对倾斜程度呢?

问题4:依倾斜角的定义,倾斜角的范围是什么?

问题5任何一条直线都有倾斜角吗?不同的直线其倾斜角一定不相同吗?你认为确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是什么?

二、问题思考

教学中,老师能结合教材的章头语,在学生已有知识基础上,利用“先行组织者”,引导学生初步了解坐标法的特点,明确解析几何的研究方法和基本思想,同时通过问题的引领,既展示了知识的发生发展过程,又注意体现对学生思维的引导。但不可否认,教学设计与教学实践中也出现一些问题:如混淆了函数与解析几何研究途径;教学中出现启而不发、答非所问等现象;教学过程中的一些生成问题过于“细化”,“牵”的色彩浓厚;有时过分关注一些“细枝末节”的问题,冲淡了学生对相关概念及坐标法的理解,从而影响了课堂的教学效率。这当中有教师对数学理解不到位的问题,有教学预设时问题设计的适切性问题,也有教师在教学过程中的教学机智问题。另外,从数学知识发生发展过程和学生认知过程看,笔者认为下面几个问题又是影响学生思维的流畅性、知识形成的自然性的“瓶颈”:

1.学生在初中已学过一次函数,它的图象是一条直线,因此能否用一次函数的解析式作为直线的代数表达式呢?

2. “先探索确定直线位置的几何要素,然后再在坐标系中用代数方法把这几个要素表示出来”的研究步骤能否让学生自己在探索过程中感悟出?

3.已经有了两点确定一条直线,为什么还要探索刻画直线倾斜程度的倾斜角?

众所周知,解析几何是以数形结合思想为指导,用代数方法研究几何图形位置关系与性质的学科,其基本思想是坐标法:建立坐标系,进而建立点与有序实数对的对应关系,从而实现点与平面的“算术化”,然后建立起图形与方程的对应关系,再通过方程性质来研究图形的性质。因此,坐标法是解析几何的基本方法。当然,学生对坐标法思想的领悟有个过程,但它的“核心”性不容质疑,教学设计始终要在数形结合思想指导下,抓住坐标法这一核心,对教学过程进行有效构建。

教学设计应是数学知识发生发展的原过程(再创造过程)与学生的思维过程(数学认识过程)的融合。笔者认为,对上述问题的思考并将其融入到教学设计中,教学思路将更加贴近学生思维,数学概念的形成、思想方法的渗透将更加自然得体。

基于上述认识,以解决上述问题为突破口,对教学过程重新进行构思如下:

引导学生了解坐标法的特点及意义之后,指出先研究平面中最简单的几何对象——直线,接着让学生了解函数与解析几何的不同研究途径,再利用任务驱动的方法,给出研究任务:对直角坐标系内确定的直线,要寻找上任意一点满足的关系——直线的方程。固然,一节课是无法完成这个任务的,但学生思维的方向和解析几何的本质是明确的。

为了解决上述问题,首先必须明确确定直线的条件是什么,学生容易想到平面几何中的“两点确定一条直线”,因为点的代数形式是坐标,于是很自然地将任务转化为:如图1,由两点,确定的直线,直线上任意一点满足的关系是什么。当然,该问题的解决与学生固有知识仍然有距离(实际上就是推导直线方程的两点式),但正因为碰到困难,从而促使研究者寻找新的途径和方法,探寻新的确定直线的几何要素——倾斜角的任务也就水到渠成了。

三、教学设计

基于上述分析思考,重新设计时,给出如下“先行组织者”与主干问题设计,完成从课题引入到倾斜角概念的形成过程。

先行组织者:之前,在几何问题研究中,我们常常直接依据几何图形中的点、直线、平面的关系研究几何图形的性质,今天开始,我们学习另一种研究图形性质的方法:坐标法。坐标法是以坐标系为桥梁,把几何问题转化为代数问题,通过代数运算研究几何图形性质的方法。用坐标法研究几何的学科称为解析几何。解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立的。课后请阅读课本P111《笛卡尔与解析几何》。

我们首先研究平面中最简单的几何对象——直线,在平面直角坐标系中,建立直线的代数表示——直线方程,然后通过方程研究直线的有关性质,如:平行、垂直、两条直线的交点、点到直线的距离等。

意图:使学生了解新内容的特点及意义,从客观上明确研究思路。

在初中的学习中,我们知道,一次函数的图象是一条直线,这就引起我们思考:直角坐标系中的一条直线的代数表达式(方程)是否就是

虽然函数与解析几何的研究途径都要借助坐标系,体现的都是数形结合思想,但在函数的研究中,借助于坐标系而描绘了函数图象,通过函数图象讨论函数性质,体现的是以形助数的思想;解析几何中,借助于坐标系给出了图形(或曲线)的代数表示——方程,通过方程讨论图形的性质,体现的是以数论形的思想。

意图:了解解析几何与函数研究的异同点,初步了解坐标法的本质。

为了用坐标法研究直线,我们首先要建立直线方程。我们知道,平面几何中,两点确定一条直线,在平面直角坐标系中,点可以用坐标表示,这样,在直角坐标系中,给定两点,就能确定一条直线。

问题1.给定直线上两点的坐标,你能将直线上所有点的坐标满足的关系表示出来吗?

意图:在坐标法思想指导下,明确探究方向与途径。当然,解决上述问题是困难的(事实上是建立直线的两点式方程),但可以引发学生积极思维的心向。

问题2.反思上述过程,你认为建立直线方程的基本步骤是什么?

意图:明确研究的基本步骤:先给出确定直线(图形)的几何要素,然后在坐标系中用代数方法把几何要素表示出来,再进一步给出直线(图形)的方程。

问题3.有了坐标系作为参照系,你认为坐标系内的直线位置还可以如何确定?

意图:将问题转化为重新探寻坐标系内确定直线的几何要素:直线上一点和直线的倾斜程度。可以让学生充分思考讨论,展示想法。若问题仍有难度,教师可适时给出问题4

问题4. 如图2在直角坐标系中,过点P1的不同直线的区别在哪里?

意图:引导学生发现过定点的不同直线,其倾斜程度不同。进一步探索描述直线的倾斜程度的几何要素,由此引出倾斜角的概念。

        

问题5.如图3,若将图中称为倾斜角,结合角的定义,你能给出倾斜角的定义吗?

意图:让学生自己给倾斜角下定义,促进概念的形成。师生共同完善定义(如倾斜角为情形)。

问题6.你认为倾斜角的范围是多少?

意图:明确倾斜角的范围0°≤α<180°,感受数学是自然的。

问题7.平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角吗?不同的直线其倾斜角一定不相同吗?

意图:通过辨析,深化概念的理解。明确确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素可以是:直线上一个定点和它的倾斜角。

四、设计特点

上述设计过程突出以下特点:

1.发挥“先行组织者”的作用。解析几何具有“方法论”的学科特点,作为起始课,学生面对“全新”的研究几何问题的方法,教师明确其结构、方向与过程,注重坐标法讨论问题基本思路的引导,既是基本思想的教学,也是思维策略的教学。

2. 坐标法思想贯穿始终。解析几何是用代数方法研究几何问题,坐标法思想是解析几何的核心思想。上述教学过程设计紧扣用坐标法思想解决问题的第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题所涉及的几何要素。当问题碰到困难时转向探寻刻画直线倾斜程度的几何要素——倾斜角,在后续研究中通过类比初中学过的“坡度”概念将几何要素代数化,给出斜率定义,再根据坐标法的要求,将斜率进一步坐标化得出直线的斜率公式。

3.通过对课本知识内容的“再创造”,使学生不但知其然,还知其所以然,让学生体验数学发现和创造历程。在这一过程中,通过设置认知要求由高到低的问题,保证学生较高的思维参与度,提高学生的思维能力,同时渗透一般科学研究方法——如何探索,如何发现,如何研究。

参考资料:

1.章建跃.人教A版高中数学课标教材中的解析几何.中学数学教学参考(高中),2007.10

2.许锋.一课二讲浅议效.数学通讯,2008.1

3.胡炯涛.数学教学论.广西教育出版社.1996

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