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数学是自然的、水到渠成的
——“直线的倾斜角与斜率”教学片段的反思与重新设计
在第六次课题会之前，笔者参与了阮老师开设“直线的倾斜角与斜率”研究课的教学设计的讨论。课后聆听了课题组成员的评点与分析，深受启发，也促使笔者的进一步反思。下面就课题引入、倾斜角概念形成的教学片段谈点粗浅的想法。 一、教学回顾 阮老师首先借助一次函数、二次函数与它们图象的关系引出坐标法概念及新内容的特点，然后引导学生研究坐标平面内最简单的图形——直线，明确本课研究的内容和步骤：先探索确定直线位置的几何要素，然后在坐标系中用代数的方法把几何要素表示出来。接着通过下述五个主干问题，引导学生得出刻画直角坐标系中一条直线倾斜程度的几何要素——倾斜角。 问题1：如图1，对于平面直角坐标系内的一直线l，你认为它的位置由哪些条件确定？ 问题2：如图2，在直角坐标系中，过点P1的不同直线的区别在哪里？ 问题3：在直角坐标系中，任何一条直线与x轴都有一个相对倾斜度，可以用一个什么几何量来反映一条直线与x轴的相对倾斜程度呢？ 问题4：依倾斜角的定义，倾斜角的范围是什么？ 问题5：任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？你认为确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是什么？ 二、问题思考 教学中，阮老师能结合教材的章头语，在学生已有知识基础上，利用“先行组织者”，引导学生初步了解坐标法的特点，明确解析几何的研究方法和基本思想，同时通过问题的引领，既展示了知识的发生发展过程，又注意体现对学生思维的引导。但不可否认，教学设计与教学实践中也出现一些问题：如混淆了函数与解析几何研究途径；教学中出现启而不发、答非所问等现象；教学过程中的一些生成问题过于“细化”，“牵”的色彩浓厚；有时过分关注一些“细枝末节”的问题，冲淡了学生对相关概念及坐标法的理解，从而影响了课堂的教学效率。这当中有教师对数学理解不到位的问题，有教学预设时问题设计的适切性问题，也有教师在教学过程中的教学机智问题。另外，从数学知识发生发展过程和学生认知过程看，笔者认为下面几个问题又是影响学生思维的流畅性、知识形成的自然性的“瓶颈”： 1.学生在初中已学过一次函数，它的图象是一条直线，因此能否用一次函数的解析式 2. “先探索确定直线位置的几何要素，然后再在坐标系中用代数方法把这几个要素表示出来”的研究步骤能否让学生自己在探索过程中感悟出？ 3.已经有了两点确定一条直线，为什么还要探索刻画直线倾斜程度的倾斜角？ 众所周知，解析几何是以数形结合思想为指导，用代数方法研究几何图形位置关系与性质的学科，其基本思想是坐标法：建立坐标系，进而建立点与有序实数对的对应关系，从而实现点与平面的“算术化”，然后建立起图形与方程的对应关系，再通过方程性质来研究图形的性质。因此，坐标法是解析几何的基本方法。当然，学生对坐标法思想的领悟有个过程，但它的“核心”性不容质疑，教学设计始终要在数形结合思想指导下，抓住坐标法这一核心，对教学过程进行有效构建。 教学设计应是数学知识发生发展的原过程（再创造过程）与学生的思维过程（数学认识过程）的融合。笔者认为，对上述问题的思考并将其融入到教学设计中，教学思路将更加贴近学生思维，数学概念的形成、思想方法的渗透将更加自然得体。 基于上述认识，以解决上述问题为突破口，对教学过程重新进行构思如下： 引导学生了解坐标法的特点及意义之后，指出先研究平面中最简单的几何对象——直线，接着让学生了解函数与解析几何的不同研究途径，再利用任务驱动的方法，给出研究任务：对直角坐标系内确定的直线 为了解决上述问题，首先必须明确确定直线的条件是什么，学生容易想到平面几何中的“两点确定一条直线”，因为点的代数形式是坐标，于是很自然地将任务转化为：如图1，由两点
三、教学设计 基于上述分析思考，重新设计时，给出如下“先行组织者”与主干问题设计，完成从课题引入到倾斜角概念的形成过程。 先行组织者：之前，在几何问题研究中，我们常常直接依据几何图形中的点、直线、平面的关系研究几何图形的性质，今天开始，我们学习另一种研究图形性质的方法：坐标法。坐标法是以坐标系为桥梁，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法。用坐标法研究几何的学科称为解析几何。解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立的。课后请阅读课本P111《笛卡尔与解析几何》。 我们首先研究平面中最简单的几何对象——直线，在平面直角坐标系中，建立直线的代数表示——直线方程，然后通过方程研究直线的有关性质，如：平行、垂直、两条直线的交点、点到直线的距离等。 意图：使学生了解新内容的特点及意义，从客观上明确研究思路。 在初中的学习中，我们知道，一次函数 虽然函数与解析几何的研究途径都要借助坐标系，体现的都是数形结合思想，但在函数的研究中，借助于坐标系而描绘了函数图象，通过函数图象讨论函数性质，体现的是以形助数的思想；解析几何中，借助于坐标系给出了图形（或曲线）的代数表示——方程，通过方程讨论图形的性质，体现的是以数论形的思想。 意图：了解解析几何与函数研究的异同点，初步了解坐标法的本质。 为了用坐标法研究直线，我们首先要建立直线方程。我们知道，平面几何中，两点确定一条直线，在平面直角坐标系中，点可以用坐标表示，这样，在直角坐标系中，给定两点 问题1.给定直线 意图：在坐标法思想指导下，明确探究方向与途径。当然，解决上述问题是困难的（事实上是建立直线的两点式方程），但可以引发学生积极思维的心向。 问题2.反思上述过程，你认为建立直线方程的基本步骤是什么？ 意图：明确研究的基本步骤：先给出确定直线（图形）的几何要素，然后在坐标系中用代数方法把几何要素表示出来，再进一步给出直线（图形）的方程。 问题3.有了坐标系作为参照系，你认为坐标系内的直线位置还可以如何确定？ 意图：将问题转化为重新探寻坐标系内确定直线的几何要素：直线上一点和直线的倾斜程度。可以让学生充分思考讨论，展示想法。若问题仍有难度，教师可适时给出问题4。 问题4. 如图2，在直角坐标系中，过点P1的不同直线的区别在哪里？ 意图：引导学生发现过定点的不同直线，其倾斜程度不同。进一步探索描述直线的倾斜程度的几何要素，由此引出倾斜角的概念。
问题5.如图3，若将图中 意图：让学生自己给倾斜角下定义，促进概念的形成。师生共同完善定义（如倾斜角为0°情形）。 问题6.你认为倾斜角的范围是多少？ 意图：明确倾斜角的范围0°≤α＜180°，感受数学是自然的。 问题7.平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？ 意图：通过辨析，深化概念的理解。明确确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素可以是：直线上一个定点和它的倾斜角。 四、设计特点 上述设计过程突出以下特点： 1.发挥“先行组织者”的作用。解析几何具有“方法论”的学科特点，作为起始课，学生面对“全新”的研究几何问题的方法，教师明确其结构、方向与过程，注重坐标法讨论问题基本思路的引导，既是基本思想的教学，也是思维策略的教学。 2. 坐标法思想贯穿始终。解析几何是用代数方法研究几何问题，坐标法思想是解析几何的核心思想。上述教学过程设计紧扣用坐标法思想解决问题的第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题所涉及的几何要素。当问题碰到困难时转向探寻刻画直线倾斜程度的几何要素——倾斜角，在后续研究中通过类比初中学过的“坡度”概念将几何要素代数化，给出斜率定义，再根据坐标法的要求，将斜率进一步坐标化得出直线的斜率公式。 3.通过对课本知识内容的“再创造”，使学生不但知其然，还知其所以然，让学生体验数学发现和创造历程。在这一过程中，通过设置认知要求由高到低的问题，保证学生较高的思维参与度，提高学生的思维能力，同时渗透一般科学研究方法——如何探索，如何发现，如何研究。 参考资料： 1.章建跃.人教A版高中数学课标教材中的解析几何.中学数学教学参考（高中），2007.10 2.许锋.一课二讲浅议效.数学通讯，2008.1 3.胡炯涛.数学教学论.广西教育出版社.1996 |
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