|
心算·速算·巧算 人的一生离不开数学，学生时期要计算题目，踏入社会 生活中要买卖、计算收入，时时刻刻都需要数学。计算是数 学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。 准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练， 既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提 高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。 一、加减法 加法中的巧算 一、凑十法 例1 计算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 二、凑整法 1.什么叫“补数”？ 两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…， 就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。 如：1+9=10，3+7=10，2+8=10，4+6=10，5+5=10。 又如：11+89=100，33＋67=100，22+78=100，44+56=100，55+45=100， 在上面算式中，1叫9的“补数”；89叫11的“补数”，11也叫89的“补数”.也就是说两个数互为“补数”。 对于一个较大的数，如何能很快地算出它的“补数”来呢？一般来说，可以这样“凑”数：从最高位凑起，使各位数字相加得9，到最后个位数字相加得10。 如： 87655→12345， 46802→53198， 87362→12638，… 下面讲利用“补数”巧算加法，通常称为“凑整法”。 2.互补数先加。 “凑整”先算 例1.计算：（1）24+44+56 （2）53+36+47 解：（1）24+44+56=24+（44+56） =24+100=124 （2）53+36+47=53+47+36 =（53+47）+36=100+36=136 例2.计算：（1）96+15 （2）52+69 解：（1）96+15=96+（4+11）=（96+4）+11=100+11=111 这样想：把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100， 可凑整先算. （2）52+69=（21+31）+69=21+（31+69）=21+100=121 这样想：因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和， 再把31+69=100凑整先算. 例3.计算：（1）63+18+19 （2）28+28+28 解：（1）63+18+19 =60+2+1+18+19 =60+（2+18）+（1+19） =60+20+20 =100 这样想：将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19 可以凑整先算. （2）28+28+28 =（28+2）+（28+2）+（28+2）-6 =30+30+30-6=90-6=84 这样想：因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2 减去. 例4. 巧算下面各题： ①36+87+64 ②99+136＋101 ③ 1361＋972＋639＋28 解：①式=（36＋64）＋87 =100＋87=187 ②式=（99＋101）＋136 =200+136=336 ③式=（1361＋639）＋（972＋28）=2000+1000=3000 3.拆出补数来先加。 例5. ①188＋873 ②548＋996 ③9898＋203 解：①式=（188+12）+（873-12）（熟练之后，此步可略） ＝200+861=1061 ②式=（548-4）＋（996＋4） =544+1000=1544 ③式=（9898＋102）＋（203-102） =10000+101=10101 竖式运算中互补数先加。如： 有些数相加之和是整十、整百的数，如： 1+19=20 11+9=30 2+18=20 12+28=40 3+17=20 13+37=50 4+16=20 14+46=60 5+15=20 15+55=70 6+14=20 16+64=80 7+13=20 17+73=90 8+12=20 18+82=100 9+11=20 又如：15+85=100 14+86=100 25+75=100 24+76=100 35+65=100 34+66=100 45+55=100 44+56=100等等巧用这 些结果，可以使那些较大的数相加又快又准。像10、20、 30、 40、50、60、70、80、90、100等等这些整十、整百的数就是 凑整的目标。 例6. 计算 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 例7. 计算 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20解：这是求2到 20共10个双数之和，用凑整法做： 例8. 计算 2+13+25+44+18+37+56+75 解：用凑整法： 例9. 计算9＋99＋999＋9999＋99999 解：在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法. 例如将999化成1000—1去计算.这是小学数学中常用 的一种技巧. 9＋99＋999＋9999＋99999 ＝（10－1）＋（100-1）＋（1000－1）＋（10000-1） ＋（100000-1） ＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5 ＝111110-5 ＝111105. 例10. 计算199999＋19999＋1999＋199＋19 解：此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.（如 199＋1＝200） 199999＋19999＋1999＋199＋19 ＝（19999＋1）＋（19999＋1）＋（1999＋1）＋（199＋1） ＋（19＋1）－5 ＝200000＋20000＋2000＋200＋20-5＝222220-5＝22225. 例11. 计算（1＋3＋5＋…＋1989）－（2＋4＋6＋…＋1988） 解法2：先把两个括号内的数分别相加，再相减.第一个括号 内的数相加的结果是： 从1到1989共有995个奇数，凑成497个1990，还剩下 995，第二个括号内的数相加的结果是： 从2到1988共有994个偶数，凑成497个1990. 1990×497＋995—1990×497＝995. 例12. 计算 389＋387＋383＋385＋384＋386＋388 解法1：认真观察每个加数，发现它们都和整数390接近， 所以选390为基准数. 389＋387＋383＋385＋384＋386＋388 ＝390×7—1—3—7—5—6—4—2 ＝2730—28 ＝2702. 解法2：也可以选380为基准数，则有 389＋387＋383＋385＋384＋386＋388 ＝380×7＋9＋7＋3＋5＋4＋6＋8 ＝2660＋42 ＝2702. 例13. 计算（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6 解：认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和，故可选4940为基准数. （4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6 ＝（4940×6＋2＋3—2—1＋1＋3）÷6 ＝（4940×6＋6）÷6（这里没有把4940×6先算出来，而是运运用了除法中的巧算方法） ＝4940×6÷6＋6÷6 ＝4940＋1 ＝4941. 三、用已知求未知 利用已经获得较简单的知识来解决面临的更复杂的难题这是 人们认识事物的一般过程，凑十法、凑整法的实质就是这个 道理，可见把这种认识规律用于计算方面，可使计算更快更 准。下面再举两个例子。 例1. 计算 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20 解：由例2和例3，已经知道从1开始的前10个单数之和以及从2开始的前10个双数之和，巧用这些结果计算这道题就容易了。 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20 =（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19）+（2+4+6+8+10+12+14+16+18+20） =100+110（这步利用了例2和例3的结果）=210 例2. 计算 5+6+7+8+9+10 解：可以利用前10个自然数之和等于55这一结果。 5+6+7+8+9+10=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）-（1+2+3+4） （熟练后，此步骤可省略） =55-10=45 四、带符号“搬家”，改变运算顺序：在只有加减运算的混 合算式中，运算顺序可改变，有时改变加、减的运算顺序可使 计算显得十分巧妙！ 例1.计算：（1）45-18+19 （2）45+18-19 解：（1）45-18+19=45+19-18 =45+（19-18）=45+1=46 这样想：把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先 19-18=1. （2）45+18-19=45+（18-19）=45-1=44 这样想：加18减19的结果就等于减1. 例2. 计算 10-9+8-7+6-5+4-3+2-1 解：这题如果从左到右按顺序进行加减运算，是能够得出 正确结果的。但因为算式较长，多次加减又繁又慢且容易出错。如果改变一下运算顺序，先减后加，就使运算显得非常“漂亮”。下式括号中的算式表示先算， 10-9+8-7+6-5+4-3+2-1 =（10-9）+（8-7）+（6-5）+（4-3）+（2-1） =1+1+1+1+1=5 例3. 计算 325＋46-125＋54 解：原式=325-125＋46+54 ＝（325-125）+（46＋54） =200+100＝300 注意：每个数前面的运算符号是这个数的符号.如+46，-125，+54.而325前面虽然没有符号，应看作是+325。 两个数相同而符号相反的数可以直接“抵消”掉 例4. 计算9+2-9＋3 解：原式=9-9＋2+3=5 例5. 计算 1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11 解：这题只有加减运算，而且1-2不够减。我们可以采用带着 加减号搬家的方法解决。要注意每个数自己的符号就是这个数 前面的那个“+”号或“-”号，搬家时要带着符号一起搬。 1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11 =1+3-2+5-4+7-6+9-8+11-10 =1+（3-2）+（5-4）+（7-6）+（9-8）+（11-10）[先减后加] =1+1+1+1+1+1 =6 在这道题的运算中，把“+3”搬到“-2”的前面，把“+5” 搬到了“-4”的前面，……把“+11”搬到了“-10”的前面， 这就叫带着符号搬家。巧妙利用这种搬法，可以使计算简便。 五、结合法：就是运用加法交换律和结合律。 例1： 26+53+75+47+174 =（26+174）+（53+47）+75 =200+100+75 =375 例2： 182+19+45+18+81+55 =（182+18）+（19+81）+（45+55） =200+100+100 =400 例3： 235+525+375+165 =（235+165）+（5258+375） =400+900 =1300 例4： 546+78+22 =546+（78+22） =546+100 =646 例5：354-68-32 =354-（68+32） =354-100 =254 例6： 3252+3748-499 =（3252+3748）-500+1 =7000-500+1 =6501 例7： 85.7-7.8+403-12.2 =（85.7+4.3）-（7.8+12.2） =90-20=70 六、加整去零法：几个数相加，如果有接近整十、整百、整千、整万的数，可以先加上这些整十、整百、整千、整万数，然后再加、减去多（少）加的零头。 例1：533+388 =500+400+33-12 =900+21 =921 例2： 895+495 =900+500-5-5 =1400-10 =1390 例3：988+3425+9998 =10000+1000+3425-12-2 =14425-14 =14411 七、减法中的巧算 1.把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去。 例 3① 300-73-27 ② 1000-90-80-20-10 解：①式= 300-（73＋ 27） ＝300-100=200 ②式=1000-（90＋80＋20＋10） ＝1000-200＝800 2.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。 例4① 4723-（723＋189） ② 2356-159-256 解：①式=4723-723-189 ＝4000-189=3811 ②式=2356-256-159 ＝2100-159 =1941 3.利用“补数”把接近整十、整百、整千…的数先变整， 再运算（注意把多加的数再减去，把多减的数再加上）。 例 5 ①506-397 ②323-189 ③467＋997 ④987-178-222-390 解：①式=500＋6-400+3（把多减的 3再加上）=109 ②式=323-200+11（把多减的11再加上）=123+11＝134 ③式=467＋1000-3（把多加的3再减去） ＝1464 ④式=987-（178＋222）-390 ＝987-400-400+10=197 八、减整加零法：在做减法过程中，如果减数有接近整十、 整百、整千、整万的数，可以先减去这些整十、整百、整 千、整万数，然后再加上多减的零头。 例1：315-289 =315-200+11 =15+11 =26 例2：6890-4192 =7000-4200-110+8 =2698 例3：7.01-0.99 =7.01-1+0.01 =6.02 例4：103+105+98+102+96 =100+100+100+100+100+3+5-2+2-4 =500+4 =504 九、计算等差连续数的和 相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，如： 1，2，3，4，5，6，7，8，9 1，3，5，7，9 2，4，6，8，10 3，6，9，12，15 4，8，12，16，20等等都是等差连续数. 1. 等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间数乘以个数，简记： 例1. 12++13+14+15+16+17+18+19+20 =16×9 =144 注：每两个数之间的距离相等也用此法。 例2. 1+3+5+7+9+11+13+15+17 =9×9 =81 例3. 1+2+3+4+5+6+7+8+9 =5×9 中间数是5 =45 共9个数 例4. 1+3+5+7+9 =5×5 中间数是5 =25 共有5个数 例5.计算：2+4+6+8+10 =6×5 中间数是6 =30 共有5个数 例6.计算：3+6+9+12+15 =9×5 中间数是9 =45 共有5个数 例7.计算：4+8+12+16+20 =12×5 中间数是12 =60 共有5个数 2. 等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数 与末数之和乘以个数的一半，简记成： 或（首项+末项）×（项数÷2） 例1.计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 =（1+10）×5 =11×5 =55 共10个数，个数的一半是5，首数是1，末数是10. 例2.计算：3+5+7+9+11+13+15+17 =（3+17）×4 =20×4 =80 共8个数，个数的一半是4，首数s是3，末数是17. 例3.计算：2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 =（2+20）×5=110 共10个数，个数的一半是5，首数是2，末数是20. 例4. 1+2+3+……+35+36 =（1+36）×（36÷2） =37×18 =666 例5.1+2+3+……+99+100 =（1+100）×（100÷2） =101×50 =5050 十、加减混合式的巧算 1.去括号和添括号的法则 在只有加减运算的算式里，如果括号前面是“＋”号，则 不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都不变；如 果括号前面是“-”号，则不论去掉括号或添上括号，括号 里面的运算符号都要改变，“+”变“-”，“-”变“+”， 即： a＋（b＋c＋d）＝a＋b＋c＋d a-（b＋a＋d）＝a-b-c-d a-（b-c）＝a-b+c 例6. ①100＋（10＋20＋30）② 100-（10＋20+3O） ③ 100-（30-10） 解：①式=100＋10＋20＋30 =160 ②式= ③式=100-30＋10 ＝80 例7. 计算下面各题： ① 100＋10＋20＋30 ② ② ③ 100-30＋10 解：①式=100＋（10+20+30） =100＋60=160 ②式=100-（10＋20+30） ＝100-60=40 ③式=100-（30-10） =100-20=80 十一、同分母的所有真分数（或最简分数）相加，只要用 这些分数的个数除以2就可以得到结果。 例1： 1/15+2/15+3/15+……+14/15 =14÷2 =7 例2：1/14+3/14+5/14+9/14+11/14+13/14 =6÷2 =3 注：所有分子为奇数，分母为偶数的同分母真分数相加，也用此法。 例3： 1/14+3/14+5/14+7/14+9/14+11/14+13/14 =7÷2 =3.5 十二、分子都为1，分母2、4、8……的分数相加，就用1减去末项就得到结果。 例： 1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64 =1-1/64 =63/64 十三、前项都是后项的2倍，且各项分子都是1的分数连减，其末项就是它们的差。 例：1-1/2-1/4-1/8-1/16-1/32-1/64-1/128 =1/128 十四、从1开始的连续数相加，加到某数又反向加到1，其和就是某数的平方。 例1：1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1 =9²=81 例2：1+2+3+4+5+……+99+100+99+98+……+5+4+3+2+1 =100²=10000 十五、互为补数的两数相减，将被减数减50再乘以2，即为 其差。 例1： 62-38 =12×2 =24 例2： 842-158 =342×2 =684 或者将被减数乘以2，再减去两数之和也得其差。 例3： 87-13 =87×2-100 =154-100 =54 例4： 812-188 =812×2-1000 =1624-1000 =624 十六、被减数是由相同的数字组成的两位数，减数也是两位 数，它的数字之和等于被减数的一个数字时，两数之差正好 是减数的两个数字交换位置。 例1： 44-13=31 66-24=42 例2： 8.8-2.6=6.2 7.7-3.4=4.3 十七、从1开始的n个连续奇数的和等于n的平方。 例1： 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 =10²=100 例2：1+3+5+7+……+（2n-1）=n² 十八、从2开始的n个连续偶数的和等于n（n+1）。 例1： 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 =10×（10+1） =110 例2： 2+4+6+……2n= n（n+1） 十九、退模加补法。减去一个数，等于减去一个数的模再加 上它的补数。 例1： 125-63 =125-100+27 =25+37 =62 例2： 8754-825 =8754-1000+175 =7754+175 =7929 二十、首项是1，后项是前项的倍数，总和是末项的2倍减1. 例1： 1+2+4+8+16 =16×2-1=31 例2： 1+2+4+8+……+n=2×n-1 二十一、加法的基准数法 例1： 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下： 86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。 求这10名同学的总分。 分析：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下： 6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示 这个数比80小。于是得到 总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-6+12-11+4-5） ＝800＋9＝809。 实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。为 了清楚起见，将这一过程表示如下： 通过口算，得到差数累加为9，再加上80×10，就可口算 出结果为809。 例1所用的方法叫做加法的基准数法。这种方法适用于加数 较多，而且所有的加数相差不大的情况。作为“基准”的数 （如例1的80）叫做基准数，各数与基准数的差的和叫做累 计差。由例1得到： 总和数=基准数×加数的个数+累计差， 平均数=基准数+累计差÷加数的个数。 在使用基准数法时，应选取与各数的差较小的数作为基准数， 这样才容易计算累计差。同时考虑到基准数与加数个数的乘 法能够方便地计算出来，所以基准数应尽量选取整十、整百 的数。 例2 某农场有10块麦田，每块的产量如下（单位：千克）： 462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。 求平均每块麦田的产量。 解：选基准数为450，则 累计差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11＝50， 平均每块产量=450＋50÷10＝455（千克）。 答：平均每块麦田的产量为455千克。 例3.计算：23+20+19+22+18+21 解：仔细观察，各个加数的大小都接近20，所以可以把每 个加数先按20相加，然后再把少算的加上，把多算的减去. 23+20+19+22+18+21 =20×6+3+0-1+2-2+1 =120+3 =123 6个加数都按20相加，其和=20×6=120.23按20计算就少加了“3”，所以再加上“3”；19按20计算多加了“1”，所 以再减去“1”，以此类推. 例4.计算：102+100+99+101+98 解：方法1：仔细观察，可知各个加数都接近100，所以选 100为基准数，采用基准数法进行巧算. 102+100+99+101+98 =100×5+2+0-1+1-2=500 方法2：仔细观察，可将5个数重新排列如下：（实际上就是 把有的加数带有符号搬家） 102+100+99+101+98 =98+99+100+101+102=100×5=500 可发现这是一个等差连续数的求和问题，中间数是100，个数 是5. 例5. 计算 78+76＋83＋82+77＋80＋79＋85＝640 |
|
|
