中国人很早就知道“勾三股四弦五”,现存于世的古老天算著作《周髀算经》就记载了这一结果。一般来说,直角三角形的两直角边平方和等于斜边的平方。三三而九,四四十六,五五二十五,正好有这样一种加法关系。 当年,文渊阁大学士李光地(公元1642年—1718年),奉康熙皇帝之命,率四十九名进士,编纂《周易折中》,搜罗百代之精华,集萃前贤之大成。此书附有易学启蒙篇章,开河洛勾股之先河。 后继者江永(公元1681年—1762年),字慎修,著作《河洛精蕴》。江永七十九岁时,作此书,阐奥发微,一生研究所得,尽在其中。 二位大儒的著作,在清代,产生了非常深广的影响。九数这篇短文的题目“勾股乘方”四字就取自《河洛精蕴》,在他们的基础上,我稍微作了点引申。 四九二 (一)洛书转盘 [2]阴数地盘 很明显,这里写成模10的同余式,是用观察乘法所得的结果来描述转盘数字循环模式的。 洛书口诀中,有一句“左三右七”,我们这里正是用这种模式来解释的。左旋三倍,右旋七倍,这是对天盘和地盘都适用的统一模式。可以说,这是最佳的选择。 (二)周期循环 [2]阴数地盘 [3]河洛对照 对于这些数来说,有一个共同的特点,无论各自周期是多少,五次方的结果,其个位数字总回到该数本身。写成同余式,即a^5≡a(模10)。 (三)卍字螺旋 四,九,二 仔细看,四→三→五,这分明是勾三股四弦五的模式。难道这洛书也能够和勾股定理连上?是的,当年江永就是这样看的。为此,他作了四幅洛书勾股图,每条螺旋一幅图(注:万字的形成与勾股定理和弦图都有密切关联,与洛书也直接相关)。 也许有人会问,那“二→九→五”呢?这也难不住江永,他用前面的“左旋三倍”乘法规则来解释。 注意到卍字符是旋转的,上面的模式还可以继续下去。 勾3→9→27→81→243→729→2187→6561→…… 很明显,卍字符每旋转四分之一圆周,数字就都扩大三倍了,如此循环下去,直至无穷。在这个变化过程中,洛书中的数字,记录的正好是所得大数的个位数字。就这样,小小的洛书中,存储了无数的勾股弦数字组合。 四,□,二 请注意观察偶数在洛书中的排列,按照顺时针方向,从左上角开始,正好是四二六八。非常有趣的是,4+2=6,2+6=8,6+8=14,这里14的个位数字正好回到了出发点4。这里,并没有按照“左旋三倍”的乘法来看,而是不断的作加法,这正是黄金数列的生成规则! 继续演算下去,8+14=22,14+22=36,36+58=94,58+94=152,94+152=246,152+246=398。 就这样,我们得出了一个序列:4,2,6,8,14,22,36,58,94,152,246,398,……很明显这个序列的个位数字恰好是按照4→2→6→8的顺序循环出现。 一般来说,x[1]=4,x[2]=2,x[n]+x[n+1]=x[n+2],由此就可以完全确定这个序列。由于这个序列与斐波那契数列的生成规则一致,都是x[n]+x[n+1]=x[n+2],因此同样会有相邻二项的比值x[n]∶x[n+1]越来越接近0.618……(黄金比)。 我们算几个例子看一下吧。22/36=0.61111…,58/94=0.61702…,94/152=0.61842…,246/398=0.61809…。 好几个世纪以前,一位德国人开普勒说过,几何学里有两大宝藏,一个是勾股定理,一个是黄金比例。非常有意思的是,人们按照易的象数思维,这两大宝藏竟然都和洛书连上了。也许是因为洛书的地位实在太崇高吧,人们总是想尽可能的往洛书里面多装点好东西。 有时候,我在想,八卦就是一只葫芦,里面装着天地间无数的真宝。八卦如此,河图洛书也是如此,天干地支甲子五行还是如此。这是典型的东方人发展学术的方式,后人为前人注解的时候,这个“注”字生动的表达了又有新的东西注入其中了。这个过程,就是往葫芦里装宝的过程。 (五)算术妙趣 四,九,二 他发现,在洛书中,按照“三→八→一→六→五→四→七→二→九”这样的顺序取数,可以得出一组非常奇妙的数字。依次得出的是一位数到九位数:3,38,381,3816,38165,381654,3816547,38165472,381654729。 请看下面的除法计算。 他的发现是,在这个顺序中,取几位数,该数就是几的倍数。需要注意的是,“三→八→一”与“七→二→九”正好在洛书中处于中心对称的位置。你看,这位法国人的发现确实非常有趣呢! 这样的一种数字研究,对于古代的中国人来说,是非常陌生的。因为这完全是西方人的传统,他们受古希腊的影响,重视几何和素数。 算数,对于古代的中国人来说,就是加减乘除乘方开方,并不关心数之间的分解与合成,也就没有素数合数这样的内容了。在二千多年前,中国人并没有素数的概念,这是当时希腊人的文化。算筹算盘这些算具的发明,意味着古代中国人擅长的是计算。 |
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