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一、引进的背景 为什么要在基础教育阶段引进图形变换的内容，怎样认识这一引进的必要性和可能性？不妨从数学本身和数学教育的历史视角切入讨论。 我们知道，约公元前300年，古希腊著名数学家欧几里得在前人基础上所写成的不朽名著《几何原本》，几乎包括了中小学所学习的平面几何、立体几何的全部内容。如此古老的几何内容，自然成了历次数学课程改革关注的焦点。其中最为激进的，如法国布尔巴基学派主要人物狄奥东尼（J.A.Dieadonne），甚至喊出了“欧几里得滚出去”的口号。但改来改去，欧几里得几何的一些内容，仍然构成了多数国家中小学数学几何部分的主要内容。有人称之为“不倒翁现象”。这是因为，欧氏几何从数学的视角，提供了现实世界的一个基本模型，非常直观地反映了我们人类的生存空间，刻画了我们视觉所观察到的物体形状及其相互位置关系。所以，这个模型的基本内容是学生能够理解和掌握的，而且应用广泛的基础知识。它比较适合中小学生学习，也有利于引导中小学生从形的角度去认识我们周围的物体和生活空间。 那么，怎样改造这些传统的、古老的几何内容呢？ 一条途径是教学法方面的改进。首先是内容的精简与演绎体系的通俗化。如精选一些具有实用价值和对继续学习发挥基础作用的内容，打破封闭的公理体系，扩大公理系统，降低证明难度等等。其次是突出几何事实与几何应用，重视几何直观，以及合情推理对于演绎推理的互补作用等非形式化策略。 另一条途径是用近现代数学的观点，高屋建瓴地处理传统的内容。其中几何图形的运动变换观点就是这样的重要观点之一。 从数学发展的角度来看，1872年，德国大数学家克莱茵（kIein，1849?1925）在爱尔兰根大学宣读了现在大家叫做“爱尔兰根纲领”的演说，提出用变换群将几何分类，认为一种几何无非是研究某种变换群下的不变量。这是一个里程碑式的论断，它改变了近两千年来人们用静止的观点研究几何的传统方法，从变换的视角整体考虑几何学的问题，使当时的各种几何学有了统一的形式，对几何学的发展起到了重大的推动作用。“爱尔兰根纲领”公开发表后，很快被人们接受，一些新的几何分支相继建立，几何学的理论及应用呈现出前所未有的局面。必然地，这一观点也会对基础教育数学课程中几何教学的改革产生影响。 按照这种观点，我们所研究的几何图形的种种性质，只不过是研究几何图形在各种几何变换下的不变性和不变量。例如，线段的长度不变、角的大小不变和直线的性质不变，等等，都是在全等变换下的不变量和不变性。但线段的长度不变，在相似变换下就不再存在(相似比为1除外)。于是两线段的比不变，又成了相似变换下的不变量。正是这些建筑在不变量和不变性基础上的图形性质，构成了我们所研究的几何基本内容。 从国际上数学课程改革的历程来看，第二次世界大战以后，特别是在上世纪60年代的“新数学”改革的浪潮中，将运动观点引入几何，成了一种时尚。确实，图形的变换是研究几何问题的有效工具，引进变换能使图形动起来，有助于发现图形的几何性质。相关的许多实验，有的因观点太高而失败，但也有许多成功的尝试。特别是平移、旋转以及轴对称、中心对称等观念已被不少国家的中小学教材所吸收，并放在比较重要的位置。 由此可以说，将图形变换的观点和内容适当地引入我国基础教育的数学课程中，顺应了数学科学和数学教育的发展趋向。 从儿童的生活世界来看，他们已经接触到了大量的物体、图形的平移、旋转或轴对称变换现象。例如，电梯、地铁列车在平行移动，时针、电风扇叶片在旋转，许多动物、建筑物的形状具有对称性。这些现象为儿童学习图形的变换提供了丰富多彩的现实背景。反过来，学习一点图形的变换知识，也有助于儿童更好地观察、认识周围生活中的这些现象。 从儿童的年龄特征与认知特点来看，小学生正处在好奇心浓厚的阶段，通过图形的变换，可以引出无数美妙的图案，可以使数学更生动地与现实世界联系起来。从而诱发学生主动探索其中的奥秘，激励他们用图形变换的观点去审视周围的事物。 这些，都是在小学引进图形变换的有利条件。可以说，通过感知和初步学习图形的变换，不仅有助于学生从运动变化的角度去认识事物，去了解图形之间的联系，从中发展他们的空间观念和几何直觉，而且还有利于学生感受、欣赏图形的美，感受数学与现实世界的联系，有利于他们体验学习“空间与图形”的乐趣，增强对数学的好奇心，激发创造潜能。 二、概念的理解 以往的中小学数学课程，在平面几何与立体几何中，一般只讨论图形的对称性，图形的平移变换与旋转变换，是在解析几何的坐标变换中讨论的。而在过去的一段时期内，坐标变换又被作为较高要求略去不讲。中学师范学校的数学课程大多也这样处理。教师在职进修大专学历的数学课程通常直接从空间解析几何或数学分析切入。所以有关平面图行平移与旋转的知识成了多数小学教师数学知识的盲点。因此，尽管整个义务教育阶段都不要求从比较严格的几何变换定义出发来研究变换的性质，但为了搞好这部分内容的教学，教师有必要较透彻地理解图形变换的有关概念。 通俗地讲，所谓平移，就是将一个图形按一定的方向移动一定的距离；所谓旋转，就是将一个图形绕一个顶点转动一定的角度。这样描述，比较适合中小学生的认知水平，但对教师来说，绝对是不够的。请看一个案例。 在一堂教学平移与旋转的公开课中，老师创设了一个玩游乐场的情境。当讨论到摩天轮的运动时，起初同学们都认为是旋转。不料一位同学执着地要求发言，他说：老师，我坐过摩天轮，我坐在上面，始终是头朝上、脚朝下，所以我认为我坐在上面是平移，不是旋转。大家一时都愣住了，教师的应变对策是让学生小组讨论。这下热闹了，有的同意，认为人的方向没变；有的反对，理由是人在转圈。直到下课，都没有搞清楚是平移，是旋转，还是两者都不是。课后，前来观摩的教师也都议论纷纷，多数认为坐在摩天轮上的人与座仓的运动不是平移，也有少数认为是平移的。那么是否旋转呢？同样有两种意见，莫衷一是。由此可见教师自身搞清楚概念是十分必要的。 这里，把最主要的概念与性质尽可能以浅显的方式描述如下。 1.什么是变换？ 变换是近代数学中的重要基本概念之一。一般地说，所谓变换是指某个集合中符合一定要求的一种对应规律。就图形的变换来讲，因为几何图形都是点的集合，所以图形变换可以通过点的变换来实现。 如果一个平面图形的每一个点，都对应于该平面内某个新图形的一个点，并且新图形中的每一个点只对应于原图形中的一个点，这样的对应就叫做变换。 几何变换中最重要的是全等变换与相似变换。 能够保持图形的形状和大小不变的变换就是全等变换。在全等变换中，原图形任何两点之间的距离，都等于新图形中两对应点之间的距离，所以又称为保距变换。 能够保持图形的形状不变，而只改变图形大小的变换就是相似变换。在相似变换中，原图形中所有角的大小都保持不变，所以又称为保角变换。 在小学数学中主要引进了平移变换、旋转变换和轴对称变换，这三种变换都是全等变换。相似变换只是在第二学段中有所渗透，如学习比例尺时两个图形按比例放大或缩小，实际上就是一种相似变换。 2.什么是平移变换、旋转变换和轴对称变换？ 先说平移与旋转。 如果原图形中任意一个点到新图形中相对应点的连线，方向相同，长度相等，这样的全等变换称为平移变换，简称平移。也就是说，平移的基本特征是，图形移动前后“每一点与它对应点之间的连线互相平行（或者重合），并且相等”。显然，确定平移变换需要两个要素：一是方向，二是距离。 如果新图形中的每个点都是由原图形中的一个点绕着一个固定点（叫做旋转中心）转动相等角度得到的，这样的全等变换称为旋转变换，简称旋转。也就是说，旋转的基本特征是，图形旋转前后“对应点到旋转中心的距离相等，并且各组对应点与旋转中连线的夹角都等于旋转的角度”。显然，确定旋转变换需要三个要素：旋转中心、旋转方向与旋转角度。 现在我们可以回答摩天轮座仓里的人是否在平移或旋转的问题了。
图1 图2 那么座仓及里面的人是否在旋转呢？依据旋转的基本特征，画出座仓下部中点与摩天轮旋转中心的连线（如图2），它们的长明显不相等。 明明摩天轮在旋转，而座仓与里面的人却不是在旋转，是在平移，这是怎么回事呢？原来，摩天轮在带动座仓顺时针旋转的同时，地球的引力使得挂在吊钩上的座仓也在逆时针细微地转动，从而使座仓与里面的人始终保持向上的方向，并且座仓与人上的每个点都移动相同的距离。 再说对称。对称是一个许多学科都在使用的名词，在数学中它占有相当重要的地位。与对称有关的概念如对称多项式、对称空间、对称原理等等，都是数学中比较重要的概念。小学数学所讨论的，仅限于图形的对称，而且仅指平面图形关于一条直线的对称。至于图形的其他形形色色的对称，如旋转对称及其特例中心对称等等，都不在我们讨论的范围之类。但是当学生提到这类现象时，如平行四边形、电扇叶片等，教师不应断然否定它们的对称性，只要指出它们不是轴对称图形就行了。 如果连接新图形与原图形中每一组对应点的线段都和同一条直线垂直且被该直线平分，这样的全等变换称为轴对称变换，每组对应点互为对称点，垂直平分对称点所连线段的直线叫做对称轴。也就是说，轴对称的基本特征是，“连接任意一组对应点的线段都被对称轴垂直平分”。显然，确定轴对称变换的关键在于找到对称轴。 构成轴对称的图形可以是一个，通常就叫做轴对称图形；也可以是两个，通常叫做这两个图形关于某条直线对称。 成轴对称的两个图形，任何一个都可以看作是由另一个图形经过轴对称变换后得到的。一个轴对称图形，也可以看作以它的一半为基础，经过轴对称变换而成的。 我们也可以用更通俗的语言，对轴对称图形做出直观的描述：将一个图形对折，如果折痕两边的图形完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，折痕叫做对称轴。当然这种描述偏重于图形性质的刻画，运动变换观点的渗透就不那么突出了。 在数学中，为了刻画平移的方向与距离，通常采用有向线段或向量，并放在特定的坐标系内讨论。为了刻画旋转的要素，最简捷的方式就是采用极坐标。因为图形的变换作为点与点之间的一种对应，要精确刻画它是离不开坐标系的。就是把图形的变换看作一种运动，同样需要参照系。事实上，过去一直把平移与旋转放在解析几何里讨论，主要就是这个原因。在小学数学中，讨论平移和旋转时经常利用方格纸，也是这个道理。 3.平移变换、旋转变换与轴对称变换有什么联系？ 前面，我们在描述三种全等变换时，特别强调它们各自的基本特征，以便于正确识别和区分。那么，这三种全等变换又有什么联系呢？ 首先这三种变换都能保持图形的形状、大小不发生变化，这是它们最主要的共同点。其次，如果连续进行两次轴对称变换，在一般情况下： （1）当两条对称轴平行时，那么这两次轴对称变换的最后结果相当于一次平移变换，平移的方向与对称轴垂直，平移的距离为两条对称轴之间距离的2倍。简略地说，两次翻折（对称轴互相平行）相当于一次平移。 （2）当两条对称轴相交时，那么这两次轴对称变换的最后结果相当于一次旋转变换，旋转中心为对称轴交点，旋转角度为两条对称轴夹角的2倍。简略地说，两次翻折（对称轴相交）相当于一次旋转。 上面两条结论是针对图形的一般情况来说的。有些特殊的图形，也可能只经过一次轴对称变换，就能达到平移或旋转的效果。例如图3中“带烟囱的房子”
图3 图4 经过两次轴对称变换（对称轴平行，且相距4格），相当于一次向右平移8格。图4中“没有烟囱的房子”只要经过一次轴对称变换就相当于平移了。
此外，上面两条结论反过来同样成立。即一次平移变换可以由两次轴对称变换（对称轴互相平行）代替；一次旋转变换，也可以由两次轴对称变换（对称轴相交）替换。它们的运动方式不同，但效果相同。 在小学数学教材中，有些图案可以用不同的变换来生成。例如图5的四叶图案，其中的每一片叶，既可以由相邻的那片叶经过轴对称变换得到，也可以由相邻的叶片旋转90°得到，或者由同一直线上的那片叶经过平移得到。 三、目标的把握 考虑到认识不能一次完成，往往需要多次反复，逐步加深理解，所以在《数学课程标准（实验稿）》中，与其他内容一样，图形与变换的具体目标也是分两个学段陈述的。 第一学段： （1）结合实例，感知平移、旋转、对称现象。 （2）能在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形。 （3）通过观察、操作，认识轴对称图形，并能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形。 第二学段： （1）用折纸等方法确定轴对称图形的对称轴，能在方格纸上画出一个图形的轴对称图形。 （2）能利用方格纸等形式按一定比例将简单图形放大或缩小，体会图形的相似。 （3）通过观察实例，认识图形的平移与旋转，能在方格纸上将简单图形平移或旋转90°。 （4）欣赏生活中的图案，灵活运用平移、对称和旋转在方格纸上设计图案。 显然，无论是第一学段，还是第二学段，都不要求对三种变换做出一般化的描述，更不要求给出定义。 从整体上看，整个小学阶段都只是初步认识图形的变换，上面摘录的这些具体目标可概括为：积累感性认识，形成初步表象，其外显的表现就是“能识别”，“会画图”。离定性地认识、定量地研究还有一定距离。 因此，学习的主要方式是结合实例，通过观察与动手操作，如折纸、画图等活动来进行。而且还规定了画图的行为条件“在方格纸上”。如前所述，这是数学的需要（提供参照系），自然也是降低学习难度的需要。 仔细分析不难看出，两个阶段的学习目标，呈现螺旋上升式的递进。第一学段从感知实际生活中的图形变换现象开始，学习特殊方向的平移，以及直观地认识轴对称图形。第二学段对平移、旋转、轴对称要求略有提高。主要是增加了90°的旋转，确定轴对称图形的对称轴，并能运用所学知识设计图案。同时还要求初步体会图形的相似。 两个阶段学习目标的递进又是细微的。有些光靠课程目标简练语言的描述还显不够。以画轴对称图形为例，第一学段“画出简单图形的轴对称图形”与第二学段“画出一个图形的轴对称图形”，有什么区别呢？考虑到小学以认识轴对称图形为主，关于直线对称的两个图形可以出现，但一般不要求学生画。所以，我们可以理解为，前者要求画出的图形比较简单；后者可以是一个有所组合的图形。 更进一步的目标，就是灵活运用平移、对称和旋转在方格纸上设计图案。实现这一目标需要学生综合运用有关的知识，还需要学生具有一定的创造力和想象力。但由于设计图案的过程是开放的，不同的学生可以有不同的设计，不同的表现。因此这又是一个具有弹性的目标，能够体现学生学习与个性差异的目标。 四、教材的梳理 1．对称现象的感知。 过去的小学数学教材，尽管也有轴对称图形的认识，但一般安排在高年级出现，并局限于轴对称图形的认识。现在则加强了观察生活中的对称现象以及画轴对称图形的内容。有的教材还增加了初步感知镜面对称的内容，使对称现象的认识，从一开始就显得更加丰富、充实。 在第一学段，为使学生初步认识对称现象和轴对称图形，从而能以新的视角去观察物体，研究图形，体验它们的对称美。教材一般都会给出各种生活中常见的对称物体，让学生观察，引导学生从对称的视角去重新认识平时经常看到的物体。然后再通过折纸、剪纸等活动，引出轴对称图形。这里，有的教材由折痕引出“对称轴”的概念，但不出轴对称图形的概念，（如人教版二年级上册中的有关内容），也有的教材两个名词都出现（如北师大版三年级下册的有关内容）。 各套教材的共同点就是提供了现实生活中比较常见的一些物体、一些图形、一些交通标志，以及英语字母，或者一些国家的国旗，让学生观察、判断。提供这些素材的意图，一是激发学生的学习兴趣，体验轴对称图形的多样性及其应用的广泛性，只要注意观察，经常能看到；二是通过一些交通标志或一些国家的国旗，丰富学生的社会知识；三是体会对称美，体会生活中为什么会有大量的对称物体、对称图案，培养对数学的情感。显然，从一开始就落实教材的这些编写意图，不但能使图形变换内容的教学有一个良好的开端，对数学其他内容的学习，也是一种促进。 镜面对称同样是日常生活中的常见现象。在儿童生活里（如照镜子），在童话故事里（如猴子捞月亮），在大自然里（如湖面的倒影），甚至在语文课文里（如水平如镜），都不乏这种现象的实例。这方面的很多实例还很容易引起学生的兴趣和探究的欲望。因此，在第一学段就引入镜面对称，具有一定的认知基础。然而，镜面对称与轴对称既有联系，又有区别。它们的联系在于两者都改变图形的方向，如左右互换。区别在于镜面对称严格地说是一种物体或图形关于某个平面的对称，而不是关于一条直线的对称。上面提到的照镜子，是相对于竖直平面的对称；水面倒影是相对于水平面的对称，这是两种特殊的也是最常见的镜面对称。如果在纸上画一个图形，旁边竖一面镜子，则随着镜子摆放位置、角度的变化，图形（镜面对称的“像”）的变化非常多样，对学生来说可谓变幻莫测。所以，一般只是让学生在照镜子的活动中，通过比较镜子内外人与像的位置关系，初步感受镜面对称的特点。至于“镜面对称”、“平面对称”等名词以及镜面对称的性质，教材都不会涉及。 2．轴对称图形的初步认识。 第二学段关于轴对称图形的初步认识，主要内容一是从折纸或观察入手，找到并画出一个图形的对称轴。二是借助方格纸观察并发现轴对称图形的特征，如对应点到对称轴的距离相等。进而根据这个特征，学习在方格纸上画出轴对称图形的另一半。也就是先根据对应点到对称轴的距离，确定图形另一半的顶点，再把轴对称图形画完整。显然，画出轴对称图形的关键，在于掌握对应点的规律。所以，下面两道例题，具有紧密的内在联系。 图6 图7 容易看出，例1是例2的基础，例2所要画的图形，实际上是一个组合图形，比第一学段的简单图形稍复杂一些。 3．平移、旋转现象的感知。 平移和旋转都是学生在日常生活中经常看到的现象。所以第一学段的教材在首次介绍这两种现象时，都会注意结合学生的生活经验，列举一些学生比较熟悉的事物，如火车、电梯的运动和螺旋桨、钟摆的运动，等等，唤起学生的联想，使他们重新审视生活里的某些常见现象，哪些是平移，哪些是旋转。在结合实例初步感知平移和旋转的基础上，体会它们的不同特点。进而学习在方格纸上把简单的图形沿水平方向或竖直方向平移几格。这就达到了本学段的学习目标。 这部分教材的特点是，既不给平移和旋转下定义，也不用语言描述，只要求学生获得物体平移、旋转的感性认识，初步体会生活中的平移现象和旋转现象是很普遍的。 为了提高学生的学习兴趣，让学生在玩中获得感悟，有的教材还运用运动变化原理设计了一些新颖、有趣的“学具”。例如，下面的“拉一拉”、“转一转”，巧妙地蕴涵了平移、旋转的特点。 图8 图9 4．平移、旋转的初步认识。 第二学段的教材中，有关平移的初步认识大多没有多少新的内容。因为依据课程标准，学生在第一学段已经学习了利用方格纸沿水平方向或竖直方向平移简单图形。考虑到小学生的知识基础，第二学段在方格纸上平移图形也只能沿这两个方向，至多把两个方向的平移综合起来。如先向下平移2格，再向右平移3格，等等。学生有了平移的初步认识，再来学习画平行线就比较方便了。所以，有的教材还安排了引导学生用平移方法画平行线的内容。这样安排，可以发挥学习的正迁移作用。 第二学段有关旋转的初步认识，除了继续联系现实情境让学生进一步体验图形旋转的特点之外，主要就是学习在方格纸上将图形旋转90°。通常，教材的编排是先通过实际情境使学生认识顺时针旋转和逆时针旋转，然后教学怎样在方格纸上把一个简单的图形旋转90°，让学生在动手画图的过程中体验旋转的方法。 最后，各套教材都会安排的一个课题，就是欣赏与设计图案。通常先让学生欣赏一些漂亮的图案，并思考图案的形成，即这些图案是经过怎样的平移、旋转或翻转得到的。然后启发学生尝试用平移、旋转或轴对称的方法做出一些简单的图案。在此基础上，放手让学生灵活应用对称、平移和旋转自己设计、制作图案。教学实践表明，这是一个数学应用与审美、手工融为一体的学习课题，也是一个能够将培养学生的创新精神与实践能力结合起来的载体。在小学数学学科中，这样的有效载体是为数不多的。应当充分用好。
五、教学的策略 1．注意选取生活中较为典型的例子，让学生感知对称、平移、旋转现象。 我们知道，新一轮课改，数学学科的主要改革趋势之一就是加强数学与儿童生活的联系，关注数学的抽象与数学的应用。因此，教学图形变换时，大家都想到了联系现实生活，由观察实例切入教学。 这一教学策略，符合儿童的思维特点和这部分内容的教学定位。儿童思维的特点即年龄特征，主要反映在他们的抽象思维需要具体形象思维与生活经验给予支撑，对感知图形变换这样的抽象概念来说，尤其需要。相应地，小学阶段关于图形变换的教学定位，在于积累感性体验，形成初步认识。因此，结合实例展开教学，是一条相当重要的教学策略，很多教师已经积累了一定的经验。 从近几年的教学实践来看，还需要注意实例选取与活动设计的典型性。 以平移和旋转为例，生活中有许多物体的运动可以看作平移或旋转。学生在生活中也或多或少接触过平移、旋转现象，这是他们已有的认识基础。但是，生活中的平移或旋转现象，并不都是数学意义上的平移或旋转。如果我们选来让学生观察的例子不够典型，就容易屏蔽概念的本质，有时还可能产生歧义，对学生形成正确表象不利。 让我们来分析下面三种不同的教学活动设计。 活动一：请学生表演健美操的走步与转身动作，作为平移、旋转的观察例子，一人表演，众人观察； 活动二：让学生自己用各种动作表示平移、旋转，同桌互相表演，再全班交流； 活动三：让学生用铅笔头表示交通工具在方格纸上平移或旋转。 教学实践表明，三种活动都富有童趣，都能激起学生的学习热情，后两种活动还做到了人人参与。差异表现在： 实施活动一时，学生对健美操走步时的跳跃现象产生了质疑。争论后形成的共识是走步才是平移，但实质上跳跃与走步在这里并没有本质上的区别。 |
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