等比数列

（一）等比数列

1. 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比值都等于同一个常数，这个数列叫等比数列，用式子表示（常数）。

理解等比数列定义时应注意：

（1）由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能为0。

（2）对于公比q，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒。

（3）“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第2项起，而是从第3 项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从第2项起或第3项起是一个等比数列。

2. 等比数列的通项公式是，它是由不完全归纳法得到的，在理解这一公式时，应注意：

（1）在已知 a₁和 q 的前提下，利用通项公式可求出等比数列中的任意一项。

（2）已知等比数列中任意两项的前提下，使用可求等比数列中任意一项。

（3）用函数的观点看等比数列的通项。

等比数列｛a_n｝的通项公式，可以改写为。当q>0，且q≠1时，是一个指数函数，而是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列｛a _n｝的图象是函数的图象上的一群孤立的点。

3. 如果 a , G , b 成等比数列，则 G 叫做a和b的等比中项 , 。显然，如果a，b存在等比中项，则必有ab>0。于是，如果 a _n≠0 ，且对任意的正整数 n 都成立，则数列｛a _n｝是等比数列。

4. 等比数列的几个性质

设 ，( a ₁ ，q≠0 ) ,

（1）当 q > 1 , a₁>0，或0< q < 1 , a ₁< 0 时， ｛a _n｝是递增数列；当 q > 1 , a _l < 0 ，或 0 < q < 1 , a₁＞0时，｛a _n｝ 是递减数列；当 q＝ 1 时， ｛a _n｝是常数列；当 q < 0时，｛a _n｝是摆动数列。

（2）（m、n ∈N*）

（3）当 m ＋ n ＝p＋q ( m、n、p、q∈N*)时，有

（4）｛a _n｝是有穷数列，则与首末两项等距离的两项积相等，且等于首末两项之积。

（5）数列｛λa _n｝（λ为不等于零的常数）仍是公比为 q 的等比数列；若｛b _n｝是公比为q'的等比数列，则数列｛a _n·b _n｝是公比为qq＇的等比数列，数列是公比为的等比数列；｛|a _n|｝是公比为 |q| 的等比数列。

（6）在｛a _n｝中，每隔 k （k ∈N*）项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为。

（7）当数列｛a _n｝是各项均为正数的等比数列时，数列{}是公差为 lgq 的等差数列。

（8）｛a _n｝中，连续取相邻两项的和（或差）构成公比为 q 的等比数列。

（9）若 m、n、p ( m、n、p ∈N* )成等差数列时， a _m、a _n、a _p成等比数列。

5. 等差数列与等比数列的比较

（1）相同点：

①强调的都是每一项与它前一项的关系。

②数列都由首项、公差或首项、公比确定。

（2）不同点：

①等差数列强调的是每一项与其前一项的差，等比数列强调的是每一项与其前一项的比；

②等差数列中的首项和公差可以为零，等比数列的首项和公比都不等于零；

③等差中项唯一，是，等比中项有两个，分别为。

 

（二）等比数列的前n项和

1. 前 n 项和公式的导出

方法1：设等比数列 a₁ , a ₂, a ₃，… ，a _n，… ，它的前n 项和是 S _n＝ a₁＋a ₂＋a ₃＋… ＋a _n。

由等比数列的通项公式可将 S _n写成 ①

①式两边同乘以 q 得：②

①－②，得，由此得时，

当q ＝ 1时，S _n ＝ n a₁

方法2：由等比数列的定义知：

当q≠1时，，即，故 ，

当q ＝ 1时，S _n ＝ n a₁

方法3：

＝a₁＋q(S _n－a _n)，当 q≠1 时，，当q ＝ 1时，S _n ＝ n a₁

注意问题：

（1）上述证法中，方法1为错位相减法，方法2为合比定理法，方法3为拆项法。各种方法在今后的解题中都经常用，要用心体会。

（2）公比为1与公比不为 1 时公式不同，若公比为字母，要注意分类讨论。

（3）当已知a₁,q, n时，用公式，当已知a₁, q , a _n时，用公式。

（4）等比数列前 n 项和的一般形式，一般地，如果a _l ，q 是确定的，那么，设，则上式可写为

（5）在等比数列的通项公式和前 n 项和公式中，共涉及五个量：，其中首项 a₁和公比 q 为基本量，且“知三求二”。

（6）前 n 项和公式的应用中，注意前 n 项和公式要分类讨论，即 q≠1和 q＝1 时是不同的公式形式，不可忽略 q ＝ 1 的情况。

2. 数列｛a _n｝为等比数列，S _n为其前 n 项和，则仍构成等比数列，且有；

3. 若某数列前 n 项和公式为，则｛a _n｝为等比数列；

4. 在等比数列中，若项数为 2n (n ∈N* ) , 与分别为偶数项与奇数项的和，则÷＝q。

 

（三）数列求和的常用方法

求数列的前 n 项和S _n ，通常要掌握以下解法：

①直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意等比数列要分q≠1和q＝1的讨论。

②倒序相加法：如果一个数列｛a _n｝，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法。

③错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应乘积组成，此时求和可采用错位相减法。

④分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项重新组合，或把整个数列分成两部分，使其转成等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。

⑤裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差。在求和时一些正负项相互抵消，于是前 n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。

 

【典型例题】

  例1. 已知为等比数列，且，求n。

解析1：

解析2：

且

又

点评：正确运用等比数列的通项公式，公式中的知道其中三个量，可以求另外一个量。

 

  例2. 已知：是公比不等于－1的等比数列，且对一切正整数成立。

求证：也是等比数列。

解析：证法一：∵成等比数列，

即构成等比数列。

证法二：∵成等比数列，

又q≠－1，

∴成等比数列。

点评：证明数列成等比数列与证明数列成等差数列类似，可利用定义，也可考虑利用中项，但应注意是a、b、c成等比数列的必要条件。

 

例3. 互不相等的三个数之积为，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数排成的等差数列。

解析：设三个数为，所以，即，

所以三个数字为

（1）若－2为和－2q的等差中项，则

所以与已知矛盾

（2）若－2q为与－2的等差中项，则得＝2q，

，三数为4，1，－2；

（3）若为－2q与－2的等差中项，

则

所以，所以q＝－2，所以三数为4，1，－2。

综合（1）、（2）、（3）可知，这三个数排成的等差数列为4，1，－2。

点评：若知道等比数列几项的积，一般按本题形式设出…，，a，aq，… 式的对称式，也可以按定义来设定。

 

  例4. 数列中，，求前n项和。

解析：         ①

                  ②

②÷①得

都是等比数列，公比q＝4

（1）当n为奇数时

  

（2）当n为偶数时

综合以上两种情况

点评：本题的解题关键是，从已知条件中得出数列的奇数项和偶数项分别成等比数列，然后分别求和，再归纳出S_n。

 

  例5. 在等比数列中，，且前n项和S_n＝126，求n及公比q。

解析：

是方程的两根

解方程得

若

由是

∴q＝2，由得

若a₁＝64，a_n＝2

同理可求得，n＝6

综上所述，n的值为6，公比q＝2或。

点评：等比数列中五个基本量，知三可求二，列方程组是求解的常用方法。解本题的关键是利用，进而求出 a ₁、a _n，要注意a ₁、a _n是两组解。

 

  例6. 求和：

解析：由    ①

得              ②

①－②得

（1）当a≠1时

即

（2）当a＝1时，

点评：本题的解决给我们有两点启示：（1）由数列结构1，2，3，…，n为等差，l，a，a²，…，为等比由此引发出与课本中等比数列前n项和推导类似——错位相减。（2）由公比a（含零）可取1引出进行分类。

 

  例7. 若数列成等比数列，且a_n>0，前n项和为80，其中最大项为54，前2n项之和为6560，求S₁₀₀。

解析：由        ①

                ②

②÷①得1＋qⁿ＝82，则qⁿ＝81代入①得

           ③

由a₁>0得，是递增数列，

故知最大项为a_n＝54。

点评：本题求解过程事实上就是将问题转化为求关于的方程组的过程，求解过程中始终将视为整体作为一个变量来处理，简化了式子结构，便于计算。

 

  例8. 求和：

解析：当x≠±1时

当x＝±1时，S_n＝4n。

点评：某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和。分组转化法是通过对数列通项结构特点的分析研究，将数列分解转化为若干个能求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和的一种求和方法。

  例9. 已知等比数列中前10项的和S₁₀＝10，前20项的和S₂₀＝30，求S₃₀。

解析：解法一  设公比为q，则

所以

       ＝10×（1＋2＋4）＝70

解法二  因为S₁₀，S₂₀－S₁₀，S₃₀－S₂₀仍成等比数列

又因为S₁₀＝10，S₂₀＝30

所以S₃₀－30

即S₃₀＝70

点评：等比数列｛a_n｝，若平均分成若干组，每组的和仍为等比数列。

 

例10. （2001·全国·21）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年将比上年增加。

（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为a_n万元，旅游业总收入为b_n万元，写出a_n、b_n的表达式；

（2）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？

解析：（1）第一年投入为 800 万元，第二年投入为万元，…，第n年投入为万元。所以 n 年内总投入为：

  

  

第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为万元，…，第n年旅游收入为万元，所以n年内的旅游业总收入为：

（2）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此：

，即

化简得：

设，则，解得：

∴x>1（舍去），即，由此得n≥5。

故：至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入。

点评：解等比数列模型的求和应用题，一是直接运用公式求和；二是由特例入手，归纳总结一般情形，进而建立等比数列求和的模型，再求其和；三是寻找递推公式，把它转化为递推数列的问题。

 

【模拟试题】

1. 是成等比数列的（    ）

A. 充分但不必要条件                                     B. 必要但不充分条件

C. 充要条件                                            D. 既不充分又不必要条件

2. 等比数列中，，则（    ）

A. 128                 B. 36                    C. 20           D. 10

3. 设是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且，则等于（    ）

A.                         B.                  C.                              D.

4. 等比数列中，公比q，它的前n项和为M,数列前n项和为N，则的值为（    ）

A. 2                 B.        C.                 D. 2

5. 如果数列的前n项和，那么这个数列（    ）

A. 是等差数列但不是等比数列               B. 是等比数列不是等差数列

C. 既是等差数列又是等比数列               D. 既不是等差数列又不是等比数列

6. 在等比数列中，对于，,则的值等于（    ）

A.         B.      C.         D.  (4ⁿ－1)

7. 已知是等比数列，且，则＝          。

8. 设等比数列的前n项和为,公比为2，        ，k ＝        。

9. 设等比数列的前n项和为，若，则公比q＝        。

10. 已知下列命题：

①若为等比数列，m、n、p、q均为正整数，m＋n＝p＋q，则；

②的等比中项；

③常数数列是公比为1的等比数列；

④等比数列的项数作自变量，各项对应值视为函数值，则等比数列的图象是分布在指数函数图象上的一群孤立的点。

其中正确的命题序号有          。

11. 等比数列中，，求项数n和公比的值。

12. 若数列前n项和可表示为，则是否可能成为等比数列？若可能，求出a值；若不可能，说明理由。

13. 已知数列的前n项和为，又有数列，它满足关系，对n∈N_＋, 有。

求证：是等比数列，并写出它的通项公式。

14. 有四个正数，前三个数成等差数列，其和为48，后三个数成等比数列，其最后一个数为25，求此四个数