专题复习——数列

专题复习——数列

 

【高考要求】了解数列的概念，掌握等差数列与等比数列。

 

二. 基本内容：

1. 一般数列的通项a_n与前n项和S_n的关系：a_n=

2. 等差数列的通项公式：a_n=a₁+（n－1）d      a_n=a_k+（n－k）d     （其中a₁为首项、a_k为已知的第k项）  当d≠0时，a_n是关于n的一次式；当d=0时，a_n是一个常数

3. 等差数列的前n项和公式：S_n=； S_n=； S_n=

当d≠0时，S_n是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a₁≠0），S_n=na₁是关于n的正比例式

4. 等差数列的通项a_n与前n项和S_n的关系：a_n=

5. 等差中项公式：A=  （有唯一的值）

6. 等比数列的通项公式： a_n= a₁ q^n－1     a_n= a_k q^n－k     （其中a₁为首项、a_k为已知的第k项，a_n≠0）

7. 等比数列的前n项和公式：当q=1时，S_n=n a₁     （是关于n的正比例式）；

当q≠1时，S_n=         S_n=

8. 等比中项公式：G=  （ab>0，有两个值）

9. 等差数列{a_n}的任意连续m项的和构成的数列S_m、S_2m－S_m、S_3m－S_2m、S_4m － S_3m、……仍为等差数列

10. 等差数列{a_n}中，若m+n=p+q，则

11. 等比数列{a_n}中，若m+n=p+q，则

12. 等比数列{a_n}的任意连续m项的和构成的数列S_m、S_2m－S_m、S_3m－S_2m、S_4m － S_3m、……仍为等比数列（当m为偶数且公比为－1的情况除外）

13. 两个等差数列{a_n}与{b_n}的和差的数列{a_n+b_n}、{a_n－b_n}仍为等差数列

14. 两个等比数列{a_n}与{b_n}的积、商、倒数的数列{a_nb_n}、、仍为等比数列

15. 等差数列{a_n}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列

16. 等比数列{a_n}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列

17. 三个数成等差的设法：a－d，a，a+d；四个数成等差的设法：a－3d，a－d，，a+d，a+3d

18. 三个数成等比的设法：a/q，a，aq；四个数成等比的错误设法：a/q³，a/q，aq，aq³  （因为其公比为>0，对于公比为负的情况不能包括）

19. {a_n}为等差数列，则（c>0）是等比数列

20. {b_n}（b_n>0）是等比数列，则{log_cb_n} （c>0且c1） 是等差数列

 

【典型例题】

（一）研究等差等比数列的有关性质

1. 研究通项的性质

例题1. 已知数列满足.

（1）求；

（2）证明：.

解：（1）.

（2）证明：由已知，故

， 所以证得.

 

例题2. 数列的前项和记为

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求.

解：（Ⅰ）由可得，

两式相减得：，

又∴   故是首项为1，公比为3的等比数列 

 ∴

（Ⅱ）设的公比为，由得，可得，可得

故可设，又，

由题意可得，解得

∵等差数列的各项为正，∴  ∴ 

∴

 

例题3. 已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且

对任意的都成立，数列是等差数列.

⑴求数列与的通项公式；

⑵是否存在，使得，请说明理由.

点拨：（1）左边相当于是数列前n项和的形式，可以联想到已知求的方法，当时，.

    （2）把看作一个函数，利用函数的思想方法来研究的取值情况.

解：（1）已知…）①

时，…）②

①－②得，，求得，

在①中令，可得得，

所以N*）.                                 

由题意，，，所以，，

∴数列的公差为，

∴，

）.        

（2），

当时，单调递增，且，

所以时，，           

又，

所以，不存在，使得.

 

例题4. 设各项均为正数的数列{a_n}和{b_n}满足：a_n、b_n、a_n+1成等差数列，b_n、a_n+1、b_n+1成等比数列，且a₁ = 1， b₁ = 2 ， a₂ = 3 ，求通项a_n，b_n

    解： 依题意得：

2b_n+1 = a_n+1 + a_n+2       ① 

a²_n+1 = b_nb_n+1          ②

∵ a_n、b_n为正数，  由②得，

代入①并同除以得：  ，

∴ 为等差数列

∵ b₁ = 2 ， a₂ = 3 ，  ，

∴  ，

∴当n≥2时，，

又a₁ = 1，当n = 1时成立， ∴

 

2. 研究前n项和的性质

例题5. 已知等比数列的前项和为，且.

（1）求、的值及数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

解：（1）时，.而为等比数列，得，

又，得，从而.又.

（2），      

） ，得，

.

 

例题6. 数列是首项为1000，公比为的等比数列，数列满足

  ，

（1）求数列的前项和的最大值；（2）求数列的前项和.

       解：（1）由题意：，∴，∴数列是首项为3，公差为的等差数列，

       ∴，∴

       由，得，∴数列的前项和的最大值为.

       （2）由（1）当时，，当时，，

       ∴当时，

       当时，

       ∴.

 

例题7. 已知递增的等比数列{}满足，且是，的等差中项.

（1）求{}的通项公式；（2）若，求使成立的的最小值. 

解：（1）设等比数列的公比为q（q＞1），由

a₁q+a₁q²+a₁q³=28，a₁q+a₁q³=2（a₁q²+2），得：a₁=2，q=2或a₁=32，q=（舍）

∴a_n=2·2^（n－1）=2ⁿ

（2） ∵，∴S_n=－（1·2+2·2²+3·2³+…+n·2ⁿ）

∴2S_n=－（1·2²+2·2³+…+n·2ⁿ⁺¹），∴S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ－n·2ⁿ⁺¹=－（n－1）·2ⁿ⁺¹－2，

若S_n+n ·2ⁿ⁺¹＞30成立，则2ⁿ⁺¹＞32，故n＞4，∴n的最小值为5.

 

例题8. 已知数列的前n项和为S_n，且成等差数列，. 函数.

（I）求数列的通项公式；

（II）设数列满足，记数列的前n项和为T_n，试比较

的大小.

解：（I）成等差数列，①  当时，②.

①－②得：，，

当n=1时，由①得， 又

是以1为首项3为公比的等比数列，        

（II）∵，，

，   

比较的大小，只需比较与312 的大小即可.

∵∴当时，

当时，

当时，.

 

3. 研究生成数列的性质

例题9. （I） 已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数；

（II） 设、是公比不相等的两个等比数列，，证明数列不是等比数列.

解：（Ⅰ）因为{c_n+1－pc_n}是等比数列，故有

（c_n+1－pc_n）²=（ c_n+2－pc_n+1）（c_n－pc_n－1），

将c_n=2ⁿ＋3ⁿ代入上式，得

[2^n＋1+3^n＋1－p（2ⁿ＋3ⁿ）]²

=[2^n＋2+3^n＋2－p（2ⁿ⁺¹＋3ⁿ⁺¹）]·[2ⁿ+3ⁿ－p（2^n－1＋3^n－1）]，                 

即[（2－p）2ⁿ+（3－p）3ⁿ]²

=[（2－p）2ⁿ⁺¹+（3－p）3ⁿ⁺¹][ （2－p）2^n－1+（3－p）3^n－1]，

整理得（2－p）（3－p）·2ⁿ·3ⁿ=0，

解得p=2或p=3.                                                 

（Ⅱ）设{a_n}、{b_n}的公比分别为p、q，p≠q，c_n=a_n+b_n.

为证{c_n}不是等比数列只需证≠c₁·c₃.

事实上，=（a₁p＋b₁q）²=p²＋q²＋2a₁b₁pq，

c₁·c₃=（a₁＋b₁）（a₁ p²＋b₁q²）= p²＋q²＋a₁b₁（p²＋q²）.

由于p≠q，p²＋q²>2pq，又a₁、b₁不为零，

因此c₁·c₃，故{c_n}不是等比数列.                               

 

例题10. n²（ n≥4）个正数排成n行n列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等已知a₂₄=1，

求S=a₁₁ + a₂₂ + a₃₃ + … + a_nn

解： 设数列{}的公差为d， 数列{}（i=1，2，3，…，n）的公比为q

则= a₁₁ + （k－1）d ， a_kk = [a₁₁ + （k－1）d]q^k－1

依题意得：，解得：a₁₁ = d = q = ±

又n²个数都是正数，

∴a₁₁ = d = q =  ， ∴a_kk =

，

，

两式相减得：

 

例题11. 已知函数的图象经过点和，记

（1）求数列的通项公式；

（2）设，若，求的最小值；

（3）求使不等式对一切均成立的最大实数.

解：（1）由题意得，解得，

       

（2）由（1）得，         ①

 ②    ①－②得

. ，

设，则由

得随的增大而减小

时，又恒成立，

    （3）由题意得恒成立

    记，则

是随的增大而增大 

的最小值为，，即.

 

（二）证明等差与等比数列

1. 转化为等差等比数列.

例题12. 数列中，且满足，.

⑴求数列的通项公式；

⑵设，求；

⑶设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

解：（1）由题意，，为等差数列，设公差为，

由题意得，.

（2）若，

时，

故  

（3），

若对任意成立，即对任意成立，

的最小值是，的最大整数值是7.

即存在最大整数使对任意，均有

 

例题13. 已知等比数列与数列满足N*.

（1）判断是何种数列，并给出证明；

（2）若.

解：（1）设的公比为q，∵，∴。

所以是以为公差的等差数列.

（2）∵所以由等差数列性质可得

…

 

2. 由简单递推关系证明等差等比数列

例题14. 已知数列和满足：，，，（），

且是以为公比的等比数列.

（I）证明：；

（II）若，证明：数列是等比数列；

（III）求和：.

解法1：（I）证：由，有，.

（II）证：∵，

，，

.

是首项为5，公比为的等比数列.

（III）解：由（II）得，，于是

      

       .

当时，.

当时，

.

故

解法2：（I）同解法1（I）.

（II）证： ，又，

是首项为5，公比为的等比数列.

（III）由解法1中（II）的类似方法得，

，

，.

∴.

 

例题15. 设数列

（1）证明：数列是等比数列；

（2）设数列的公比，数列满足，b_n=f （b_n－1）（n∈N*，n≥2），求数列的通项公式；

（3）设，，求数列的前n项和Ｔ_n.

（1）证明：由

相减得：∴数列是等比数列

（2）解：

是首项为，公差为1的等差数列，∴. .

（3）解：时

  ①

      ②

 ①－②得：

∴

所以：.

 

例题16. 的各个顶点分别为，设为线段的中点，为线段OC的中点，为线段的中点. 对每一个正整数为线段的中点. 令的坐标为，.

（1）求及；

（2）证明：

（3）记，证明：是等比数列.

（1）解：因为y₁=y₂=y₄=1， y₃=，y₅=，所以 得a₁=a₂=a₃=2.

又由，对任意的正整数n有

a_n+1====a_n

恒成立，且a₁=2，   所以{a_n}为常数数列， a_n=2，（n为正整数）

（2）证明：根据， 及=a_n=2，  易证得y_n+4=1－

（3）证明：因为b_n+1==（1－）－（1－）=，

又由b₁==1－y₄=，

所以{b_n}是首项为，公比为的等比数列.

 

【模拟试题】

一、填空题

1. 在等差数列｛a｝中，已知a=2，a+a=13，则a+a+a等于=         .

2. 已知数列的通项，则其前项和         .

3. 首项为－24的等差数列，从第10项开始为正，则公差的取值范围是      .

4. 在等比数列中，和  是二次方程  的两个根，则

的值为          . 

5. 等差数列{a_n}中，a₁=1，a₃+a₅=14，其前n项和S_n=100，则n=            .

6. 等差数列{a_n}的前m项和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和为________ 

7. 已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，= 

    ，若为正整数，n的取值个数为___________。

8. 已知数列对于任意，有，若，则  .

9. 记数列所有项的和为，第二项及以后各项的和为，第三项及以后各项的和为 ，第项及以后各项的和为，若，，，

，则等于       .

10. 等差数列共有项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_____.

11. 等差数列中，，若且，，则的值为         .

12. 设为等差数列的前项和. 已知，则等于

          .

13. 已知函数定义在正整数集上，且对于任意的正整数，都有

，且，则__     __.

14. 三个数成等比数列，且，则b的取值范围是              . 

15. 等差数列中，前项和为，首项.

（1）若，求

（2） 设，求使不等式的最小正整数的值.

点拨：在等差数列中知道其中三个就可以求出另外一个，由已知可以求出首项与公差，把分别用首项与公差，表示即可. 对于求和公式，采用哪一个都可以，但是很多题目要视具体情况确定采用哪一个可能更简单一些. 例如：已知判断的正负. 问题2在思考时要注意加了绝对值时负项变正时，新的数列首项是多少，一共有多少项.

16. 等差数列{}的前项和为，，.

（I）求数列{}的通项与前项和为；

（II）设（），求证：数列{}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

17. 在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数n，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，­为公差的等差数列.

⑴求点的坐标；

⑵设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，设与抛物线相切于的直线的斜率为，求：.

⑶设，等差数列{}的任一项，其中是中的最大数，，求{}的通项公式.

18. 已知数列满足，

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足（n∈N^*），证明：是等差数列.

 

 

 

【试题答案】

1. 42

2.

3.

4.

5. 10

6. 210

7. 8.5；5个

解法一：点拨 利用等差数列的求和公式及等差数列的性质

“若，则”

解析：=

解法2： 点拨  利用“若{}为等差数列，那么”这个结论，根据条件

找出和的通项.

解析：可设，，则，

，则=

由上面的解法2可知=，显然只需使为正整数即可，

故，共5个.

点评：对等差数列的求和公式的几种形式要熟练掌握，根据具体的情况能够灵活应用.

反思：解法2中，若是填空题，比例常数k可以直接设为1.

8. 4

9. 解：.    

10. 解：依题意，中间项为，于是有解得.

11. 解：由题设得，而，，又，，.       

12. 解：， ，

. ∴。

13. 解：由知函数当从小到大依次取值时对应的一系列函数值组成一个等差数列，形成一个首项为2，公差为4的等差数列，.   

14. 解：设，则有.

当时，，而，；

当时，，即，而，，则，

故.   

15. 解：（1）由，得：，

又由.

即，得到.

（2）由

若≤5，则≤，不合题意

故>5，

即，所以≥15，使不等式成立的最小正整数的值为15

16. 解答：（I）由已知得，，

故.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得.

假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则.

即.

，

.

与矛盾.

17. 解：（1）

（2）的对称轴垂直于轴，且顶点为. 设的方程为：

把代入上式，得，的方程为：.

，

=.

（3），

T 中最大数.

设公差为，则，由此得

18. （1）解： 

       是以为首项，2为公比的等比数列.

              即 .

（2）证：    

                  ①

             ②

       ②－①，得

       即③

④

      ③－④，得

       即     

       是等差数列.