例1 已知等差数列{an}的前5项和为105，且a10＝2a5.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对任意m∈N*，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm.
(1)由已知列出关于首项和公差的方程组，解得a1和d，从而求出an.
(2)求出bm，再根据其特征选用求和方法．
解 (1)设数列{an}的公差为d，前n项和为Tn，
由T5＝105，a10＝2a5，
得5a1＋5×(5－1)2d＝105，a1＋9d＝2(a1＋4d)，
解得a1＝7，d＝7.
因此an＝a1＋(n－1)d＝7＋7(n－1)＝7n(n∈N*)．
(2)对m∈N*，若an＝7n≤72m，则n≤72m－1.
因此bm＝72m－1.
所以数列{bm}是首项为7，公比为49的等比数列，
故Sm＝b1(1－qm)1－q＝7×(1－49m)1－49＝7×(72m－1)48
＝72m＋1－748.
例2 (1)已知正数组成的等差数列{an}，前20项和为100，则a7·a14的最大值是( )
A．25B．50C．100D．不存在
(2)在等差数列{an}中，a1＝－2013，其前n项和为Sn，若S1212－S1010＝2，则S2013的值为( )
A．－2011B．－2012C．－2010D．－2013
破题切入点
(1)根据等差数列的性质，a7＋a14＝a1＋a20，S20＝20(a1＋a20)2可求出a7＋a14，然后利用基本不等式．
(2)等差数列{an}中，Sn是其前n项和，则Snn也成等差数列．
【答案】 (1)A (2)D
【解析】
(1)∵S20＝a1＋a202×20＝100，∴a1＋a20＝10.
∵a1＋a20＝a7＋a14，∴a7＋a14＝10.
∵an>0，∴a7·a14≤a7＋a1422＝25.
当且仅当a7＝a14时取等号．
故a7·a14的最大值为25.
(2)根据等差数列的性质，得数列Snn也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项S11＝a1＝－2013，公差d＝1，故S20132013＝－2013＋(2013－1)×1＝－1，所以S2013＝－2013.
例3 已知数列{an}的前n项和Sn满足条件2Sn＝3(an－1)，其中n∈N*.
(1)证明：数列{an}为等比数列；
(2)设数列{bn}满足bn＝log3an，若cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和．
(1)利用an＝Sn－Sn－1求出an与an－1之间的关系，进而用定义证明数列{an}为等比数列．
(2)由(1)的结论得出数列{bn}的通项公式，求出cn的表达式，再利用错位相减法求和．
(1)证明 由题意得an＝Sn－Sn－1＝32(an－an－1)(n≥2)，
∴an＝3an－1，∴anan－1＝3(n≥2)，
又S1＝32(a1－1)＝a1，解得a1＝3，
∴数列{an}是首项为3，公比为3的等比数列．
(2)解 由(1)得an＝3n，则bn＝log3an＝log33n＝n，
∴cn＝anbn＝n·3n，
设Tn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋(n－1)·3n－1＋n·3n，
3Tn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1.
∴－2Tn＝31＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1
＝3(1－3n)1－3－n·3n＋1，
∴Tn＝(2n－1)3n＋1＋34.
(1)关于等差、等比数列的基本量的运算，一般是已知数列类型，根据条件，设出a1，an，Sn，n，d(q)五个量的三个，知三求二，完全破解．
(2)等差数列和等比数列有很多相似的性质，可以通过类比去发现、挖掘．
(3)等差、等比数列的判断一般是利用定义，在证明等比数列时注意证明首项a1≠0，利用等比数列求和时注意公比q是否为1.
1．已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为( )
A．－110B．－90
C．90D．110
【答案】 D
【解析】
∵a3＝a1＋2d＝a1－4，a7＝a1＋6d＝a1－12，a9＝a1＋8d＝a1－16，
又∵a7是a3与a9的等比中项，
∴(a1－12)2＝(a1－4)·(a1－16)，
解得a1＝20.
∴S10＝10×20＋12×10×9×(－2)＝110.
2．(2014·课标全国Ⅱ)等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn等于( )
A．n(n＋1) B．n(n－1)
C.n(n＋1)2D.n(n－1)2
【答案】 A
【解析】
由a2，a4，a8成等比数列，得a24＝a2a8，
即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)，
∴a1＝2.
∴Sn＝2n＋n(n－1)2×2
＝2n＋n2－n＝n(n＋1)．
3．等比数列{an}的前n项和为Sn，若2S4＝S5＋S6，则数列{an}的公比q的值为( )
A．－2或1B．－1或2
C．－2D．1
【答案】 C
【解析】 方法一 若q＝1，
则S4＝4a1，S5＝5a1，S6＝6a1，
显然不满足2S4＝S5＋S6，
故A、D错．
若q＝－1，则S4＝S6＝0，S5＝a5≠0，
不满足条件，故B错，因此选C.
方法二 经检验q＝1不适合，
则由2S4＝S5＋S6，
得2(1－q4)＝1－q5＋1－q6，化简得
q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)，q＝－2.
4．(2014·大纲全国)等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于( )
A．6B．5C．4D．3
【答案】 C
【解析】
数列{lgan}的前8项和S8＝lga1＋lga2＋…＋lga8
＝lg(a1·a2·…·a8)＝lg(a1·a8)4
＝lg(a4·a5)4＝lg(2×5)4＝4.
5．(2014·大纲全国)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6等于( )
A．31B．32C．63D．64
【答案】 C
【解析】
在等比数列{an}中，S2、S4－S2、S6－S4也成等比数列，
故(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，
则(15－3)2＝3(S6－15)，
解得S6＝63.
6．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且AnBn＝7n＋45n＋3，则使得anbn为整数的正整数n的个数是( )
A．2B．3C．4D．5
【答案】 D
【解析】 由等差数列的前n项和及等差中项，
可得anbn＝12(a1＋a2n－1)12(b1＋b2n－1)
＝12(2n－1)(a1＋a2n－1)12(2n－1)(b1＋b2n－1)＝A2n－1B2n－1
＝7(2n－1)＋45(2n－1)＋3＝14n＋382n＋2
＝7n＋19n＋1＝7＋12n＋1 (n∈N*)，
故n＝1,2,3,5,11时，anbn为整数．
即正整数n的个数是5.
7．(2013·课标全国Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn＝23an＋13，则{an}的通项公式是an＝________.
【答案】 (－2)n－1
【解析】 当n＝1时，a1＝1；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝23an－23an－1，
故anan－1＝－2，故an＝(－2)n－1.
8．(2014·江苏)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．
【答案】 4
【解析】 因为a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，a6＝a2q4＝1×22＝4.
9．(2014·安徽)数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.
【答案】 1
【解析】 设等差数列的公差为d，
则a3＝a1＋2d，a5＝a1＋4d，
∴(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5)，解得d＝－1，
∴q＝a3＋3a1＋1＝a1－2＋3a1＋1＝1.
10．在数列{an}中，如果对任意n∈N*都有an＋2－an＋1an＋1－an＝k(k为常数)，则称数列{an}为等差比数列，k称为公差比．现给出下列问题：
①等差比数列的公差比一定不为零；
②等差数列一定是等差比数列；
③若an＝－3n＋2，则数列{an}是等差比数列；
④若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比．
其中正确命题的序号为________．
【答案】 ①③④
【解析】 若k＝0，{an}为常数列，分母无意义，①正确；公差为零的等差数列不是等差比数列，②错误；an＋2－an＋1an＋1－an＝3，满足定义，③正确；设an＝a1qn－1(q≠0)，则an＋2－an＋1an＋1－an＝a1qn＋1－a1qna1qn－a1qn－1＝q，④正确．
11．(2014·课标全国Ⅰ)已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{an2n}的前n项和．
解 (1)方程x2－5x＋6＝0的两根为2,3，
由题意得a2＝2，a4＝3.
设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，
故d＝12，从而a1＝32.
所以{an}的通项公式为an＝12n＋1.
(2)设{an2n}的前n项和为Sn.
由(1)知an2n＝n＋22n＋1，则
Sn＝322＋423＋…＋n＋12n＋n＋22n＋1，
12Sn＝323＋424＋…＋n＋12n＋1＋n＋22n＋2.
两式相减得
12Sn＝34＋(123＋…＋12n＋1)－n＋22n＋2
＝34＋14(1－12n－1)－n＋22n＋2.
所以Sn＝2－n＋42n＋1.
12．(2014·北京)已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和．
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得
d＝a4－a13＝12－33＝3，
所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1,2，…)．
设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得
q3＝b4－a4b1－a1＝20－124－3＝8，解得q＝2.
所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1.
从而bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．
(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．
数列{3n}的前n项和为32n(n＋1)，
数列{2n－1}的前n项和为1－2n1－2＝2n－1.
所以，数列{bn}的前n项和为32n(n＋1)＋2n－1.
