扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图

扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图  

一. 教学内容：

弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积

 

   教学目的

  1. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥及其特征，使学生掌握圆锥的轴截面图及其特点。

  2. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥侧面展开图的画法及侧面积计算公式。

  3. 使学生比较熟练地应用弧长和扇形面积公式、圆锥的基本性质和轴截面解决有关圆锥表面积的计算问题。

  4. 培养学生空间观念及空间图形与平面图形的相互转化思想，培养学生空间想象能力和计算能力。

    教学重点和难点：

    教学重点是弧长和扇形面积公式，圆锥及其特征，圆锥的侧面积计算

难点是圆锥侧面展开图（扇形）中各元素与圆锥各元素之间的关系

教学过程

1. 圆周长：

    圆面积：

2. 圆的面积C与半径R之间存在关系，即360°的圆心角所对的弧长，因此，1°的圆心角所对的弧长就是。

    n°的圆心角所对的弧长是

                       P₁₂₀

    *这里的180、n在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位。

  3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。

    发现：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。

  4. 在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角为n°的扇形面积是：

    （n也是1°的倍数，无单位）

 

 

 

5. 圆锥的概念

    观察模型可以发现：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。其中底面是一个圆，侧面是一个曲面，如果把这个侧面展开在一个平面上，展开图是一个扇形。

    如图，从点S向底面引垂线，垂足是底面的圆心O，垂线段SO的长叫做圆锥的高，点S叫做圆锥的顶点。

    锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的。也就是说，把直角三角形SOA绕直线SO旋转一周得到的图形就是圆锥。其中旋转轴SO叫做圆锥的轴，圆锥的轴通过底面圆的圆心，并且垂直于底面。另外，连结圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段SA、SA₁、SA₂、……都叫做圆锥的母线，显然，圆锥的母线长都相等。

    母线定义：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。P₁₂₂

  6. 圆锥的性质

    由图可得

    （1）圆锥的高所在的直线是圆锥的轴，它垂直于底面，经过底面的圆心；

    （2）圆锥的母线长都相等

  7. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算

    圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶点、弧长是圆锥底面圆的周长。

    圆锥侧面积是扇形面积。

   

如果设扇形的半径为l，弧长为c，圆心角为n（如图），则它们之间有如下关系：

   

    同时，如果设圆锥底面半径为r，周长为c，侧面母线长为l，那么它的侧面积是：

   

    圆锥的全面积为：

圆柱侧面积：。

 

    例：在⊙中，120°的圆心角所对的弧长为，那么⊙O的半径为___________cm。

    答案：120

    解：由弧长公式：得：

   

    例：若扇形的圆心角为120°，弧长为，则扇形半径为_____________，扇形面积为____________________。

    答案：15；25π

    例：如果一个扇形的面积和一个圆面积相等，且扇形的半径为圆半径的2倍，这个扇形的中心角为____________。

    答案：90°

    例：已知扇形的周长为28cm，面积为49cm²，则它的半径为____________cm。

    答案：7

例：两个同心圆被两条半径截得的，，又AC=12，求阴影部分面积。

    解：设OC=r，则OA=r+12，∠O=n°

   

   

   

    ∴OC=18，OA=OC+AC=30

   

        

        

        

 

    例：如图，已知正方形的边长为a，求以各边为直径的半圆所围成的叶形的总面积。

    解：∵正方形边长为a

    ∴，

   

   

   

   

    ∴叶的总面积为

    *也可看作四个半圆面积减去正方形面积

   

    例：已知AB、CD为⊙O的两条弦，如果AB=8，CD=6，的度数与的度数的和为180°，那么圆中的阴影部分的总面积为？

    解：将弓形CD旋转至B，使D、B重合

    如图，C点处于E点

    的度数为180°

    ∴AE是⊙O的直径

    ∴∠ABE=90°

    又∵AB=8，BE=CD=6

    由勾股定理

    ∴半径

   

    例：在△AOB中，∠O=90°，OA=OB=4cm，以O为圆心，OA为半径画，以AB为直径作半圆，求阴影部分的面积。

    解：∵OA=4cm，∠O=90°

    ∴

   

    ，

   

    则阴影部分的面积为：

   

    例：①、②……是边长均大于2的三角形，四边形、……、凸n边形，分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，……

    （1）图①中3条弧的弧长的和为_________________

    图②中4条弧的弧长的和为_________________

    （2）求图中n条弧的弧长的和（用n表示）

    解：（1）π，2π

    （2）解法1：

    ∵n边形内角和为：（n－2）180°

    前n条弧的弧长的和为：个以某定点为圆心，以1为半径的圆周长

    ∴n条弧的弧长的和为：

    解法2：设各个扇形的圆心角依次为

    则

    ∴n条弧长的和为：

   

   

    例：如图，在Rt△ABC中，已知∠BCA=90°，∠BAC=30°，AC=6m，把△ABC以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转到AB边的延长线上的点C'处，那么AC边扫过的图形（阴影部分）的面积为？

    分析：在Rt△ACB中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=6

   

   

    法一：

   

   

   

    法二：以B为圆心，BC为半径画弧

    交A'B于D，AB于D'

    有，

   

 

    例：如图，已知Rt△ABC的斜边AB=13cm，一条直角边AC=5cm，以直线AC为轴旋转一周得一个圆锥。求这个圆锥的表面积。如果以直线AB为轴旋转一周，能得到一个什么样的图形？

    解：

    以直线AC为轴旋转一周所得的圆锥如图所示，它的表面积为：

   

    以直线AB为轴旋转一周，所得到的图形如图所示。

   

   

   

              

 

例：一个圆锥的模型，这个模型的侧面是用一个半径为9cm，圆心角为240°的扇形铁皮制作，再用一块圆形铁皮做底，则这块图形铁皮的半径为______________。

    答案：6

 

    例：若圆锥的轴截面是一个边长为2cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是_______。

    答案：2π

 

    例：已知圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则它的侧面展开图的圆心角为______。

    答案：160°

 

    例：若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面展开图的圆心角是__________。

    答案：180°

 

    例：如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm，母线长50cm。

    （1）画出它的展开图；

    （2）计算这个展开图的圆心角及面积。

    解：（1）烟囱帽的展开图是扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面周长（如图）

    （2）设扇形的半径为l，弧长为c，圆心角为α，则l=50cm，

   

    =288（度）

   

 

    例：一个圆锥的高是10cm，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积。

    解：设圆锥底面半径为r，圆锥母线长为l，扇形弧长（即半圆）为c，则由题意得

   

    即

    在Rt△SOA中，

    由此求得

    故所求圆锥的侧面积为

 

    例：蒙古包可以近似地看作圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为，高为3.5m，外围高4m的蒙古包，至少要多少平方米的毛毡？

    解：

    ∵h₁=4，∴

   

      

   

    答：至少要平方米的毛毡。

 

【模拟试题】

［基础演练］

  1. 已知扇形的弧长为6πcm，圆心角为60°，则扇形的面积为____________。

  2. 已知弓形的弧所对的圆心角为60°，弓形弦长为a，则这个弓形的面积是__________。

  3. 如图，在平行四边形ABCD中，，，BD⊥AD，以BD为直径的⊙O交AB于E，交CD于F，则图中阴影部分的面积为___________。

  4. 如图，AB是⊙O₁的直径，AO₁是⊙O₂的直径，弦MN//AB，且MN与⊙O₂相切于C点，若⊙O₁的半径为2，则O₁B、、CN、所围成的阴影部分的面积是_____________。

  5. 如图，△ABC为某一住宅区的平面示意图，其周长为800m，为了美化环境，计划在住宅区周围5m内，（虚线以内，△ABC之外）作绿化带，则此绿化带的面积为___________。

  6. 如图，两个同心圆被两条半径截得的，，⊙O'与，都相切，则图中阴影部分的面积为____________。

［综合测试］

  7. 如图，OA是⊙O的半径，AB是以OA为直径的⊙O’的弦，O’B的延长线交⊙O于点C，且OA=4，∠OAB=45°，则由，和线段BC所围成的图形面积是______。

  8. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB长为30cm，贴纸部分BD长为20cm，贴纸部分的面积为（    ）

    A.                             B.

    C.                       D.

  9. 如图，在同心圆中，两圆半径分别为2、4，∠AOB=120°，则阴影部分的面积为（    ）

    A.                   B.                   C.                  D.

  10. 一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平翻滚（如图），那么，B点从开始至结束所走过的路径长度为（    ）

    A.                  B.                  C. 4               D.

  11. （2004·湖北黄冈）如图，要在直径为50cm的圆形木板上截出四个大小相同的圆形凳面，问怎样才能截出直径最大的凳面，最大直径是多少厘米？

［探究升级］

  12. （2004·新疆）在相距40km的两个城镇A、B之间，有一个近似圆形的湖泊，其半径为10km，圆心恰好位于A、B连线的中点处，现要绕过湖泊从A城到B城，假设除湖泊外，所有的地方均可行走，有如图所示两种行走路线，请你通过推理计算，说明哪条路线较短。

    （1）的路线：线段线段DB

    （2）的路线：线段线段FB（其中E、F为切点）