2021届中考总复习，圆的知识点综合及考点总结

一．知识框架

二．知识概念　　

1.圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。

2.圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。

3.圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

4.弦心距：圆心到弦间的距离叫弦心距。

5.内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。

6.扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。

7.圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。

三.四等定理：在同圆或等圆中，同弧（等弧）所对的弦、弦心距、圆心角、圆周角也相等；此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，

即：①∠AOB=∠DOE；②AB=DE；

③OC=OF；④ 弧AB=弧BD

四.圆周角定理

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵∠AOB和∠ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角

∴∠AOB=2∠AOC

2、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；

即：在⊙O中，∵∠C、∠D都是所对的圆周角

∴∠C=∠D

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O中，∵AB是直径 或∵∠C=90°

∴ ∠C=90° ∴AB是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△ABC中，∵OA=OB=OC

∴△ABC是直角三角形或∠C=90°

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

【真题演练】

1.下列命题中，正确的是（ ）

① 顶点在圆周上的角是圆周角； ② 圆周角的度数等于圆心角度数的一半；

③ 90°的圆周角所对的弦是直径； ④ 不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤ 同弧所对的圆周角相等

A．①②③ B．③④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤

2.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠DAB=48°，则∠ACD=　 　°．

五.垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

①AB是直径 ②AB⊥CD ③CE=DE

④ 弧BC弧BD ⑤ 弧AC弧AD

中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙中，∵AB∥CD

∴弧AC=弧BD

1. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是

A.CM=DM B.弧AC=弧AD C.AD=2BD D.∠BCD=∠BDC

2. 兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，

半径 OA＝10 m，高度CD为 m．

3.如图，AB是⊙O的弦，CO⊥AB于点，若AB=8cm，

OC=3cm，则⊙O的半径为 cm．

六.圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在⊙O中，

∵四边形ABCD是内接四边形

∴∠C+∠BAD=180° ∠B+∠D=180°

∠DAE=∠C

七.与圆有关的位置关系

（一）点与圆的位置关系

1、点在圆内 d<r 点在圆内；

2、点在圆上 d-r 点在圆上；

3、点在圆外 d>r 点在圆外；

（二）直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离 d>r 无交点；

2、直线与圆相切 d=r 有一个交点；

3、直线与圆相交 d<r 有两个交点；

（三）圆与圆的位置关系

外离（图1） 无交点 ；

外切（图2） 有一个交点 ；

相交（图3） 有两个交点 ；

内切（图4） 有一个交点 ；

内含（图5） 无交点 ；

1.已知⊙O的半径为3cm，直线l上有一点P，OP=3cm，则直线l与⊙O的位置关系为（ ）

A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切

2.如图，在直角坐标系中，圆O的半径为1，则直线y=-x+√2与圆O的位置关系是（ ）

Ａ．相离 Ｂ．相交

Ｃ．相切 Ｄ．以上三种情形都有可能

3.已知⊙O的半径是3，圆心O到直线AB的距离是3，则直线AB与⊙O的位置关系是 4. 两圆半径分别为3和4，圆心距为7，则这两个圆( )

A．外切 B．相交 C．相离 D．内切

八.切线的性质与判定定理（中考必考考点，常与垂径定理、全等三角形、相似三角形综合）

（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；

两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

即：∵MN⊥OA且MN过半径OA外端

∴MN是⊙O的切线

（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）

推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

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九、切线长定理

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵PA、PB是的两条切线

∴PA=PB

PO平分∠BPA

1. 如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．

（1）求证：AB=AC；

（2）求证：DE为⊙O的切线；

（3）若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长．

2.如图所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点D是BC边的中点，连结DE．

（1）求证：DE与⊙O相切；

（2）若⊙O的半径为，DE=3，求AE．

3.如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=4，D是线段BC的中点，

（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）过点D作DE⊥BC，垂足为点E，求证直线DE是⊙O的切线。

4. 如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）．

（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式；

（2）问点A出发后多少秒两圆相切？

十.圆幂定理

1.相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P，

∴PA·PB=PC·PD

2.推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即：在⊙O中，∵直径AB⊥CD，

∴CE2=AE·BE

3.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即：在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线

∴ PA2=PC·PB

4.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。

即：在⊙O中，∵PB、PE是割线

∴PC·PB=PD·PE

十一、圆内正多边形的计算

1.正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在Rt△BOD中进行：

（2）正四边形

同理，四边形的有关计算在Rt△AOE中进行，：

（3）正六边形

同理，六边形的有关计算在Rt△AOB中进行，

十二.扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式

1、扇形：（1）弧长公式：l=nπR/180；

（2）扇形面积公式：S=nπR²/360

n：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S：扇形面积

2、圆柱：

（1）A圆柱侧面展开图

（2）A圆锥侧面展开图

1.如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去1/3圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ）．B

A．6cm B．3√5cm C．8cm D．5√3cm

2.现有一圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（ ）

A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm

3. 将一个弧长为12πcm, 半径为10cm的扇形铁皮围成一个圆锥形容器(不计接缝), 那么这个圆锥形容器的高为_____cm.

4.如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，OF⊥AC于点F．

（1）请写出三条与BC有关的正确结论；

（2）当∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部分的面积．

5. 如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AB=13，BC=5．

（1）求sin∠BAC的值；

（2）如果OD⊥AC，垂足为D，求AD的长；

（3）求图中阴影部分的面积（精确到0.1）．

十三.圆中的动点及最值问题

在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

最值问题的解决方法通常有两种：

(1) 应用几何性质：

① 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

② 两点间线段最短；

③ 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

④ 定圆中的所有弦中，直径最长。

(2) 运用代数证法：

① 运用配方法求二次三项式的最值；

(通常和经济问题，效率问题相结合)

② 运用一元二次方程根的判别式。

这里只介绍圆中的动点和最值相结合的问题，还会有和相似相结合的。下面两道题其实是同种类型的题。一般考试涉及到都会是这两种。

1.如图，A点是⊙O上直径MN所分的半圆的一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是MN上一动点，⊙O的半径为3，则AP+BP的最小值为_________.

解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，AA′．

∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，

∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，

∵点B是弧AN^的中点，

∴∠BON=30°，

∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，

又∵OA=OA′=3，

∴A′B=3

∵两点之间线段最短，

∴PA+PB=PA′+PB=A′B=3

此类问题其实是用将军饮马的思想去解决，先作对称点，然后连结求最值。是将军饮马和圆中动点问题相结合。

2.如图，P为半圆直径AB上一动点，C为半圆中点，D为弧AC的三等分点，若AB=2，则PC+PD的最短距离为____________

解：设点C关于AB的对称点为E，连接DE交AB于P，则此时PC+PD的值最小，且PC+PD=PE+PD=DE．

连接OC、OE；

∵C为半圆中点，D为弧AC的三等分点，

∴弧CD的度数为30°，∠CDE=90°；

∵AB=2，

∴CE=2；

∴DE=EC·cos∠CED=

即PC+PD的最小值为