浅谈“数轴”与小学生数感的培养

北京小学 于萍

在新课程理念的指导下，对学生数感的培养越来越受到了关注。教师不仅要努力让孩子们认识数、还要学会灵活熟练地应用数，而且要 让 学生意识到，了解数字之间的关联有助于他们根据已知的计算结果来理解新的问题。这种孩子们能够具有的，对数与数之间关联的意识，以及灵活地解决数字问题的能力称为其对数的“感觉”或“数感”。 数感 主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。

现行教材（人教版）中，在学生认识数、感受数与数之间关系等重要时机，呈现了丰富的、直观的、有效的能够促进学生建立数感的学习材料。如认识整数时的实物图、点子图；认识分数和小数时的实物图、线段图、及平面图形等……这些材料都有效地调动了学生的生活经验与认知基础，为学生认识抽象的数，理解数与数之间的关系提供了重要的感性支撑。除此之外，纵观整套小学教材，我发现“数轴”在“数与计算”的内容中多处出现（有时是以刻度尺的形式出现），在“数的认识”各章节中的体现如下：

此外，在认识乘法、千米的认识、年月日、因数倍数等内容中也都有体现。学生正式学习数轴是在七年级（初中一年级）“有理数”单元中。教材中写道：一般地，在数学中人们用画图的方式把数“直观化”，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴（ number axis ）。它满足：在直线上任取一个点表示数 0 ，这个点叫做原点（ origin ）；通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1 ， 2 ， 3 ……从原点向左，用类似方法依次表示 -1 ， -2 ， -3 ，……。教材中还明确指出：“数轴的出现对数学的发展起了重要的作用，以它作基础，很多数学问题都可以借助图直观地表示。”

在小学阶段很长时间的学习中，学生们可能并不知道“数轴”这个名称，或并不清楚它的准确含义，但他们能够看懂数轴，甚至能够用好数轴。实践中，我们发现数轴能够帮助学生更深入地认识数，更准确地理解数与数之间的关系，为学生数感的建立起到了积极的作用。为了更全面、系统地理解教材意图，更深入、准确地把握数学概念，更生动、有效地设计教学活动，我通过对教材的梳理和对教学实践案例的分析，进行研究。并努力通过研究提升对教材全面把握的能力。

一. 对教材中“数轴”的分析：

1. 数轴为学生理解“数”带来了直观

数字知识涉及孩子们所要理解的数字系统的结构和规则，即从理解整数扩展到理解有理数（有理数可以用分数和小数来表示），以及理解这些数字系统相互联系的方式。 数字系统的结构和规则，离不开“数”和“计数”这两个概念。而数轴是联系数字和计数的最有效的图形之一。数轴上的数字有其严格的顺序，它们模仿的就是计数的顺序。能够揭示数的概念和本质的数轴对学生发展心算策略具有重要的影响，尤其是在加、减法的运算中，学生可以充分借助这种心理意象来发展计算策略。数轴的使用是数学学科的要求。

数感是高度个性化的产物，它不仅和孩子们已有的数字概念相关，也和怎样形成这些概念相关联。“数”本身是抽象的，学生在最初形成数概念的过程中，依赖直观素材。但我们又不必，也不可能通过直观的方式让学生认识所有的数。但数本身又具备特殊的性质，如数序。这就需要教师有意识地引导学生在认识数的过程中发现这些性质、感受数与数之间的联系。这种建立起的数感，将帮助学生对数系有更全面、深入的认识和理解。数轴的直观可以满足小学生学习数学的心理需求。

此外，数轴在尺子、天平上随处可见（形式虽不同，但本质相同），学生对它感觉很熟悉，这些应用测量工具的经验有助于强化学生对标准的理解。数轴的出现也尊重了学生的生活经验与认知基础。

综上所述，数轴以其直观的形式、贴近学生的认知、揭示数的本质等优势成为了学生认识数和理解数的有效而必要的学习材料。自然，也成为了教师深入钻研，认真把握、精心设计、充分利用的教学资源之一。

以下按照小学生认识数的几个重要阶段，对教材中的数轴进行整理与分析：

2. 数轴为学生理解“计算”带来了形象

数感指一个人对数字和运算的一般理解力，以及灵活应用这种理解力的倾向和能力，用这种方式可以做出明智的数学判断，并开发出应用数字和运算法则的有效策略。

在计算教学中教师不仅仅要关注计算结果，更要关注计算的过程。关注学生是如何理解某种计算的，关注学生能够在数与数之间生成怎样的联系。并努力为学生感受数与数之间的联系，理解计算的模式创造条件。数轴可以让“数”变得直观，更利于学生认识。数轴也可以让“计算”变得形象，有助于学生深入地理解。

从上面的梳理不难看出，数轴只出现在了简单的“加、减法”和“乘法”（因数和倍数、公倍数实质还是乘法运算）教学中。在数轴上寻求计算结果并不是最有效的、值得推广的计算方法，我们也不可能引导学生总是通过画数轴来“数”结果、“找”结果。在这部分内容的教学中，数轴的价值不是作为算法，而是帮助学生形象地理解计算的本质，帮助学生建立对“加法”、“减法”和“乘法”的心理意象。为认识更复杂的计算，奠定坚实的认知基础。与此同时，我们也应该认识到数轴也不是万能的，它不适合作为理解“除法”概念时的形象素材，分实物等活动更有利于学生认识除法。

3.数轴为学生认识“时间”带来了标准

学生对时间的认识和理解需要相当长的过程。时刻、时间两个概念的区分；对两个时刻之间相隔时间的计算都是教学中的难点。在这个学习过程中学生需要丰富的感知，也需要直观的手段给予辅助。在三年级《年月日》单元中有这样一幅图：

这个不完整的“数轴”的出现给学生们“帮了大忙”。教学中，很多学生都感到如果想知道“从上午 10 时到下午 14 时经过了多长时间？”似乎除了“掰着手指头数”没有什么更好的办法了。如果想知道“从上午 10 时 15 分到下午 14 时 20 分经过了多长时间？”就算“掰着手指头”也数不清楚了。可一旦画出“数轴”（或称“时间线”）很快就能“算”清楚了。在数轴上“时刻”是每个点，“时间”就是两个点之间的距离。这两个概念的不同直观明了。此外，在数轴上每个整时，都能够作为学生对时间进行比较和计算的标准（或参照）。使得复杂的关系变得简捷明了，抽象的概念变得具体形象。刘加霞博士对此有这样的解释：在数学上，可以用一条有起点（相对性）、有单位、有指向、无始无终、均匀分份的数轴来直观表示“钟表”（弯曲的、圆形的）转化为直线型的数轴，并建立二者之间的一一对应关系。

二 . 对教学中创造性使用“数轴”的案例分析：

通过对教材中“数轴”的梳理，可以看出“数轴”对学生数感的建立能够起到积极的促进作用。在教学中，可以结合恰当的内容，更充分地发挥数轴的价值，为学生更深入地理解数、更全面地理解数与数之间的关系创造条件。

1. 分数教学中，让学生在数轴上“找到”无数个分数：

在一节五年级《分数比大小中学通分》的课中。在学生已经掌握分数比较大小的方法后，教师设计了“找一找”的小游戏（指在数轴上找符合要求的分数）。

（ 1 ）“请说出一个比 3/4 小的分数”

学生很顺利地说出了： 1/4 、 2/4 、 3/5 、 3/6 、 3/7 ……

（ 2 ）“再说出一个比 2/5 大的分数。”

学生又顺利地说出了： 3/5 、 4/5 、 5/5 、 6/5 ……

（ 3 ）“说一个比 3/4 小同时又比 2/5 大的分数。”

短暂的沉寂之后，有学生喊出了 3/5 ，很快得到了大家的认可。

（ 4 ）“除了 3/5 还有吗？”

教室里安静极了……，学生们遇到了困难。这时“数轴”出现了……

出现在 2/5 与 3/4 之间的 3/5 ，让大家对它更加确信了。这时 3/5 两边的“空隙”使学生们有种“ 应该还有。”“一定还有！”“但又说不清还有几。”的感觉。

将 3/5 与 3/4 之间的“空隙”放大后再平均分……

学生们找到了 13/20 和 14/20 。这时教室里冒出了一句“找一段，再放大。”于是出现了：

“太多了，找也找不完！”学生们的答案与先前的“没有！”“不对，有一个。”形成了鲜明的对比。

逐渐苛责的要求使数轴的出现成为了学生的需求，通过对数轴的观察，一层层的“放大”，学生们发现了藏在两个原本认为已经很“紧密”的分数之间竟然发现了无数个新的分数，甚至可以说在任意两个分数之间其实还藏有无数个分数。这个“找分数”的过程极大地丰富了学生对分数的数感。学生对“整数和分数都有无数个”早有认识。但同样的“无数”背后却藏着不同。通过对比，使学生初步地感受到整数的连续和分数的连续是不同的，分数的排列更为紧密，渗透无限的思想。这无疑对学生数感的建立起到了有效的促进作用，而这些收获都离不开学生对“数轴”的认识和运用。

2. 中位数的教学中，让学生在数轴上深化对概念的理解：

学生认识“中位数”后，教师设计了这样的练习：

（ 1 ）“指出 A ， B ， C 的中位数。”

（ 2 ）“现在只剩 A 和 B ，请你添上一个数 X ，使 A 成为这三个数的中位数， X 可能在哪儿？”

（ 3 ）“在数轴上指出 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 这 6 个数的中位数。”

（ 4 ）“如果去掉 A ，中位数是谁？”

（ 5 ）“要让 C 成为中位数可以怎么办？”

（ 6 ）要想让 F 成为这组数的中位数，那至少要添几个数据？它们应该在什么位置？

在上面围绕数轴展开的一系列讨论中，没有出现具体的数据。学生在解决这些问题的过程中能够根据数据在数轴上的位置，进而分析它们的大小关系，以此做出正确判断。类似的设计还可以出现在《平均数》的教学中。数感的建立在一次次的寻找、一次次的猜测、和一次次的分析中悄然得以建立。数轴再次为学生深入理解概念，和建立数感发挥了积极的作用。

数轴的三要素是起点（原点）、方向和单位长度。它的“起点”，是学生理解数序，全面认识数的起点。它的“方向”，为学生感受数的大小，认识运算指明了方向。它的“单位”，为学生感受数与数之间的关系提供了标准和参照。

实践证明，数轴对促进学生建立数感的价值不容忽视。我想一个数学教师的目光只要不仅仅停留在计算的结果上，心里惦念着学生数学素养的提升。就一定能够在教学实践中发现、用好、甚至是创造出更多、更好的教学资源。

参考文献：

[ 英 ]Julia Anghileri 著，徐文彬译，如何培养学生的数感，北京师范大学出版社， 2007.4

J.L.Martin 著，史静寰审译，教与学的新方法·数学（上），北京师范大学出版社， 2004.2

刘加霞，儿童时间概念形成的心理基础与有效教学活动设计，小学教学 2009.3 ， 19