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浅谈“数轴”与小学生数感的培养

北京小学 于萍

在新课程理念的指导下，对学生数感的培养越来越受到了关注。教师不仅要努力让孩子们认识数、还要学会灵活熟练地应用数，而且要 让 学生意识到，了解数字之间的关联有助于他们根据已知的计算结果来理解新的问题。这种孩子们能够具有的，对数与数之间关联的意识，以及灵活地解决数字问题的能力称为其对数的“感觉”或“数感”。 数感 主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。

现行教材（人教版）中，在学生认识数、感受数与数之间关系等重要时机，呈现了丰富的、直观的、有效的能够促进学生建立数感的学习材料。如认识整数时的实物图、点子图；认识分数和小数时的实物图、线段图、及平面图形等……这些材料都有效地调动了学生的生活经验与认知基础，为学生认识抽象的数，理解数与数之间的关系提供了重要的感性支撑。除此之外，纵观整套小学教材，我发现“数轴”在“数与计算”的内容中多处出现（有时是以刻度尺的形式出现），在“数的认识”各章节中的体现如下：

年级	内容	是否出现数轴
一	20 以内数的认识	是（且多次）
	100 以内数的认识	是
二	1000 以内数的认识	是
三	万以内数的认识	是
	分数初步认识	否
	小数初步认识	是
四	大数的认识	否
	小数的意义和小数性质	是（且多次）
五	分数意义和分数基本性质	是（且多次）
六	百分数	是

此外，在认识乘法、千米的认识、年月日、因数倍数等内容中也都有体现。学生正式学习数轴是在七年级（初中一年级）“有理数”单元中。教材中写道：一般地，在数学中人们用画图的方式把数“直观化”，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴（ number axis ）。它满足：在直线上任取一个点表示数 0 ，这个点叫做原点（ origin ）；通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1 ， 2 ， 3 ……从原点向左，用类似方法依次表示 -1 ， -2 ， -3 ，……。教材中还明确指出：“数轴的出现对数学的发展起了重要的作用，以它作基础，很多数学问题都可以借助图直观地表示。”

在小学阶段很长时间的学习中，学生们可能并不知道“数轴”这个名称，或并不清楚它的准确含义，但他们能够看懂数轴，甚至能够用好数轴。实践中，我们发现数轴能够帮助学生更深入地认识数，更准确地理解数与数之间的关系，为学生数感的建立起到了积极的作用。为了更全面、系统地理解教材意图，更深入、准确地把握数学概念，更生动、有效地设计教学活动，我通过对教材的梳理和对教学实践案例的分析，进行研究。并努力通过研究提升对教材全面把握的能力。

一. 对教材中“数轴”的分析：

1. 数轴为学生理解“数”带来了直观

数字知识涉及孩子们所要理解的数字系统的结构和规则，即从理解整数扩展到理解有理数（有理数可以用分数和小数来表示），以及理解这些数字系统相互联系的方式。 数字系统的结构和规则，离不开“数”和“计数”这两个概念。而数轴是联系数字和计数的最有效的图形之一。数轴上的数字有其严格的顺序，它们模仿的就是计数的顺序。能够揭示数的概念和本质的数轴对学生发展心算策略具有重要的影响，尤其是在加、减法的运算中，学生可以充分借助这种心理意象来发展计算策略。数轴的使用是数学学科的要求。

数感是高度个性化的产物，它不仅和孩子们已有的数字概念相关，也和怎样形成这些概念相关联。“数”本身是抽象的，学生在最初形成数概念的过程中，依赖直观素材。但我们又不必，也不可能通过直观的方式让学生认识所有的数。但数本身又具备特殊的性质，如数序。这就需要教师有意识地引导学生在认识数的过程中发现这些性质、感受数与数之间的联系。这种建立起的数感，将帮助学生对数系有更全面、深入的认识和理解。数轴的直观可以满足小学生学习数学的心理需求。

此外，数轴在尺子、天平上随处可见（形式虽不同，但本质相同），学生对它感觉很熟悉，这些应用测量工具的经验有助于强化学生对标准的理解。数轴的出现也尊重了学生的生活经验与认知基础。

综上所述，数轴以其直观的形式、贴近学生的认知、揭示数的本质等优势成为了学生认识数和理解数的有效而必要的学习材料。自然，也成为了教师深入钻研，认真把握、精心设计、充分利用的教学资源之一。

以下按照小学生认识数的几个重要阶段，对教材中的数轴进行整理与分析：

 

年级及主要内容	具体内容及简要分析
一年级   20 以内数的认识 及 100 以内数的认识	•  “ 0 ”的认识： 继 1~5 的学习之后，认识“ 0 ”时，教材中出现了 直尺图，这是在前面用点子图讲数顺序的进一步提高。使学生进一步熟悉数的顺序，认识到 0 是起点。尺子对于学生而言很熟悉，不仅有表示起点的 0 （原点），右端的“残缺”隐含着可以“继续下去”（方向）的意思，这样的尺子，正是数轴的具象呈现。 •  6 、 7 的认识： 直尺图及珠子图，直观地说明 5 再增加 1 是 6 ， 6 增加 1 是 7 ， 6 比 5 大 1 ， 7 比 6 大 1 。让学生感受数与数之间的联系以及它们之间的大小关系。自然数的数序在悄然地走进学生们的心里。在此之后， 8 、 9 、 10 的认识，都出现了“尺子图”： •  6~10 练习： 让学生在数轴上填数，这是教材中第一次出现数轴，它比写在直尺上的数更抽象，其目的是帮助学生进一步巩固 10 以内数的顺序，以此加深学生对数序的理解。 富有童趣的小火车就是一个简化的数轴，帮助学生在情境中理解数序。认识基数和序数。 •  11~20 认识： 此前认数时，直尺是多种实物模型中的一种（出直尺外还有实物图、点子图、算珠图等），现在继小棍（ 10 根一捆）之后，作为认识 11~20 的一道单独例题。明确要求学生能够把直尺上的数读出来，有助于学生理解 20 以内数的顺序和大小。 •  11~20 认识： 用直线上的点表示数，要求学生按照顺序填数。由于“数轴”的概念对于一年级学生而言过于复杂，所以在不介绍概念的情况下，让学生结合对数与数关系的理解，有序地填数，借图形的直观性，更好地加深学生对数序的认识和理解。在 20 以内数的教学中这样的数径（数表）和数轴反复出现，以此强化学生对数序的认识和理解。 •  100 以内认识： 有许多发展加减法概念的活动，用数径（如上题的数表）的活动显得尤其有用。数径的最简单的形式就是一系列的数字排在一条直线上。它和数轴不相同，因为位于空隙处的数字并不同于数轴上的点。因此没有其他类型数字的位置（如有理数），然而这却很有利于发展到数轴的学习。
二年级   1000 以内数的认识	•  1000 以内认识练习： 这道看图填数的实际问题，以数轴形式呈现，不仅帮助学生熟悉“ 100 、 100 的往下数”的方法，也将“以 100 为一个单位来计数”的思想显现的尤为直观。这为学生认识较大的数，理解位值制都有很好的作用。反之，熟悉的情境和整百数也能够让学生对数轴中的“单位”（即标准）有新的认识。
三年级   小数初步认识	•  小数初步认识： 在学生对整数有了丰富的认知之后，小数的认识是对数域的一次扩展。学生们将认识到已经紧挨着的 1 和 2 之间竟然还有其它的数，而且还有很多，这将是学生对数的认识的一次飞跃。这时出现的软尺成为学生将小数与整数建立联系的一种有效工具，小数的数序直观地呈现在软尺之上，小数的大小关系也将得到学生的认可。除了例题中关注的四个小数（成绩）之外，软尺上其它的刻度，也一定能够带给学生对小数更多的认识。 •  小数初步认识练习： 看图写小数和分数，帮助学生巩固对小数含义的认识。 学生在学习整数时认识和使用数轴的经验，可以帮助他们借助数轴比较小数的大小。将小数与数轴上的点一一对应，不仅能够准确地判断小数的大小关系，“大多少”、“小多少”也能够被学生直观地感受到，这也是数感建立的重要过程。 在多个整数之间填入小数，不仅可以使学生进一步理解小数意义，小数与整数之间的数序也自然呈现，这可以有效地帮助学生将小数纳入已有的整数系统之中，从而建立数感。
四年级   小数的意义和性质	•  小数的意义： •  小数的性质： •  小数的意义和性质练习： 本单元中直尺与数轴的呈现方式和作用与三年级小数初步认识中的基本一致，不再赘述。
五年级   分数意义和性质	•  分数意义和基本性质练习： 改变分子但分母保持不变，将会使学生学会在数轴上确定不同分数的位置，并且把这些分数的顺序和整数的计数顺序联系起来。 在同一个数轴上呈现不同的分数，可以说明等值的概念。非常有助于学生理解不同形式分数之间的关系，认可“等值”，感受“联系”，从而建立数感。（练习 4 出现在“分数基本性质”的学习之后，练习 6 则是在学习“约分”之后）。
六年级   百分数	•  分百小互化： 学生对从 0 到 100% 的数轴并不陌生，计算机通常借助这种图行来表明程序执行的进展情况。这种图形能为学生提供一个所需的标准图像，有助于他们把对比率的直观理解与数轴上的刻度联系起来。学生认识到 与 0.75 和 75% 相等是至关重要的。有研究表明，无需强调拆分整体的方法，而是在数轴上找到与分数相等的数字，这种方法也有助于学生在分数、小数以及百分数之间建立等值关系。很好地发挥了将百分数纳入已有的认知系统之中的作用。
六年级   负数	•  负数： 在直线上表示从一点向两个相反方向运动后的情形，也就是在直线上表示整数、 0 和负数的内容，帮助学生进一步感受负数的意义并初步建立数轴的模型，渗透数形结合的思想。学生可以借助数轴来感受负数的大小，初步体会数轴上数的顺序，完成对数的结构的初步建构。

 

2. 数轴为学生理解“计算”带来了形象

数感指一个人对数字和运算的一般理解力，以及灵活应用这种理解力的倾向和能力，用这种方式可以做出明智的数学判断，并开发出应用数字和运算法则的有效策略。

在计算教学中教师不仅仅要关注计算结果，更要关注计算的过程。关注学生是如何理解某种计算的，关注学生能够在数与数之间生成怎样的联系。并努力为学生感受数与数之间的联系，理解计算的模式创造条件。数轴可以让“数”变得直观，更利于学生认识。数轴也可以让“计算”变得形象，有助于学生深入地理解。

年级及主要内容	具体内容及简要分析
一年级   一百以内加减法	•  整十加减一位数： 学生需要要将计数与图像联系起来，“多一个”就是与计数顺序中的下一个数字相联系，“少一个”则是与计数顺序中的前一个数字相联系。向前数（加法的计数策略）和向后数（减法的计数策略）也能和数轴上的移动（或“跳跃”）联系起来。数轴上的“跳跃”将为以计数为基础的计算策略提供心理意象。
二年级 乘法	•  2 、 3 、 4 乘法口诀练习： 学生有在数轴上进行加法“跳跃”的经验，在数轴上进行乘法计算，这样的“等距离连续跳跃”可以帮助学生进一步理解相同加数连加的乘法本质。 •  8 和 9 的乘法口诀： 用数轴上的点来呈现乘法结果，不仅是数形结合的一种体现。更能够让学生在计算小动物“跳跃”过程中，均匀累加的结果。使学生清楚地知道乘法口诀中每个乘积的来源，并理解相邻两个积之间等差的关系。同时也丰富了学生对数轴的认识，感受到数轴上的点与数之间的一一对应关系。
三年级 万以内加减法	•  万以内的加减法和减法（估算）： 估算是展现和提升学生数感的重要途径，在这一内容的教学中出示了简易数轴（单位长度不统一），学生可以结合数轴将“往大估”与“向右移”相联系，“往小估”与“向左移”相联系，“离远了”与“差得多”相联系，“离近了”与“差的少”相联系……数轴为学生多样化的估算策略提供了直观参照。
五年级 因数和倍数	•  因数和倍数： •  最小公倍数： 在数轴上找倍数，与乘法类似，可以让学生直观地感受到一个数的倍数是呈等距均匀分布的，并且可以“向右”无限地找下去。在一个数轴上分别找到两个数的倍数，公共的倍数自然“重合在一起”，帮助学生形象地理解数学概念。

从上面的梳理不难看出，数轴只出现在了简单的“加、减法”和“乘法”（因数和倍数、公倍数实质还是乘法运算）教学中。在数轴上寻求计算结果并不是最有效的、值得推广的计算方法，我们也不可能引导学生总是通过画数轴来“数”结果、“找”结果。在这部分内容的教学中，数轴的价值不是作为算法，而是帮助学生形象地理解计算的本质，帮助学生建立对“加法”、“减法”和“乘法”的心理意象。为认识更复杂的计算，奠定坚实的认知基础。与此同时，我们也应该认识到数轴也不是万能的，它不适合作为理解“除法”概念时的形象素材，分实物等活动更有利于学生认识除法。

3.数轴为学生认识“时间”带来了标准

学生对时间的认识和理解需要相当长的过程。时刻、时间两个概念的区分；对两个时刻之间相隔时间的计算都是教学中的难点。在这个学习过程中学生需要丰富的感知，也需要直观的手段给予辅助。在三年级《年月日》单元中有这样一幅图：

这个不完整的“数轴”的出现给学生们“帮了大忙”。教学中，很多学生都感到如果想知道“从上午 10 时到下午 14 时经过了多长时间？”似乎除了“掰着手指头数”没有什么更好的办法了。如果想知道“从上午 10 时 15 分到下午 14 时 20 分经过了多长时间？”就算“掰着手指头”也数不清楚了。可一旦画出“数轴”（或称“时间线”）很快就能“算”清楚了。在数轴上“时刻”是每个点，“时间”就是两个点之间的距离。这两个概念的不同直观明了。此外，在数轴上每个整时，都能够作为学生对时间进行比较和计算的标准（或参照）。使得复杂的关系变得简捷明了，抽象的概念变得具体形象。刘加霞博士对此有这样的解释：在数学上，可以用一条有起点（相对性）、有单位、有指向、无始无终、均匀分份的数轴来直观表示“钟表”（弯曲的、圆形的）转化为直线型的数轴，并建立二者之间的一一对应关系。

二 . 对教学中创造性使用“数轴”的案例分析：

通过对教材中“数轴”的梳理，可以看出“数轴”对学生数感的建立能够起到积极的促进作用。在教学中，可以结合恰当的内容，更充分地发挥数轴的价值，为学生更深入地理解数、更全面地理解数与数之间的关系创造条件。

1. 分数教学中，让学生在数轴上“找到”无数个分数：

在一节五年级《分数比大小中学通分》的课中。在学生已经掌握分数比较大小的方法后，教师设计了“找一找”的小游戏（指在数轴上找符合要求的分数）。

（ 1 ）“请说出一个比 3/4 小的分数”

学生很顺利地说出了： 1/4 、 2/4 、 3/5 、 3/6 、 3/7 ……

（ 2 ）“再说出一个比 2/5 大的分数。”

学生又顺利地说出了： 3/5 、 4/5 、 5/5 、 6/5 ……

（ 3 ）“说一个比 3/4 小同时又比 2/5 大的分数。”

短暂的沉寂之后，有学生喊出了 3/5 ，很快得到了大家的认可。

（ 4 ）“除了 3/5 还有吗？”

教室里安静极了……，学生们遇到了困难。这时“数轴”出现了……

出现在 2/5 与 3/4 之间的 3/5 ，让大家对它更加确信了。这时 3/5 两边的“空隙”使学生们有种“ 应该还有。”“一定还有！”“但又说不清还有几。”的感觉。

将 3/5 与 3/4 之间的“空隙”放大后再平均分……

学生们找到了 13/20 和 14/20 。这时教室里冒出了一句“找一段，再放大。”于是出现了：

“太多了，找也找不完！”学生们的答案与先前的“没有！”“不对，有一个。”形成了鲜明的对比。

逐渐苛责的要求使数轴的出现成为了学生的需求，通过对数轴的观察，一层层的“放大”，学生们发现了藏在两个原本认为已经很“紧密”的分数之间竟然发现了无数个新的分数，甚至可以说在任意两个分数之间其实还藏有无数个分数。这个“找分数”的过程极大地丰富了学生对分数的数感。学生对“整数和分数都有无数个”早有认识。但同样的“无数”背后却藏着不同。通过对比，使学生初步地感受到整数的连续和分数的连续是不同的，分数的排列更为紧密，渗透无限的思想。这无疑对学生数感的建立起到了有效的促进作用，而这些收获都离不开学生对“数轴”的认识和运用。

2. 中位数的教学中，让学生在数轴上深化对概念的理解：

学生认识“中位数”后，教师设计了这样的练习：

（ 1 ）“指出 A ， B ， C 的中位数。”

（ 2 ）“现在只剩 A 和 B ，请你添上一个数 X ，使 A 成为这三个数的中位数， X 可能在哪儿？”

（ 3 ）“在数轴上指出 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 这 6 个数的中位数。”

（ 4 ）“如果去掉 A ，中位数是谁？”

（ 5 ）“要让 C 成为中位数可以怎么办？”

（ 6 ）要想让 F 成为这组数的中位数，那至少要添几个数据？它们应该在什么位置？

在上面围绕数轴展开的一系列讨论中，没有出现具体的数据。学生在解决这些问题的过程中能够根据数据在数轴上的位置，进而分析它们的大小关系，以此做出正确判断。类似的设计还可以出现在《平均数》的教学中。数感的建立在一次次的寻找、一次次的猜测、和一次次的分析中悄然得以建立。数轴再次为学生深入理解概念，和建立数感发挥了积极的作用。

数轴的三要素是起点（原点）、方向和单位长度。它的“起点”，是学生理解数序，全面认识数的起点。它的“方向”，为学生感受数的大小，认识运算指明了方向。它的“单位”，为学生感受数与数之间的关系提供了标准和参照。

实践证明，数轴对促进学生建立数感的价值不容忽视。我想一个数学教师的目光只要不仅仅停留在计算的结果上，心里惦念着学生数学素养的提升。就一定能够在教学实践中发现、用好、甚至是创造出更多、更好的教学资源。

参考文献：

[ 英 ]Julia Anghileri 著，徐文彬译，如何培养学生的数感，北京师范大学出版社， 2007.4

J.L.Martin 著，史静寰审译，教与学的新方法·数学（上），北京师范大学出版社， 2004.2

刘加霞，儿童时间概念形成的心理基础与有效教学活动设计，小学教学 2009.3 ， 19