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1.先分解再通分
有的学生通分时用短除法，找了许多数试除都不行，而断定57和76为互质数。
判断两个数是否互质，不必用2、3、5、……逐个试除。把其中一个分解质因数，看另一个数能否被这里的某个质因数整除即可。
57=3×19，如果57和76有公有的质因数，只可能是3或19。用3、19试除，
[57，76]=19×3×4=228。
26=2×13，65和91是13的倍数。
最小公分母为
13×2×5×7=910。
2.退法
著名的我国数学家华罗庚指出，善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个决窍。
(1)从复杂退到简单
 千克，还剩下20千克。这袋米重多少千克?
 后剩19×2=38(千克)
所求40×2=80(千克)
(2)从一般退到特殊
例2 一只轮船往返于甲、乙码头一次，问：静水中航行所花时间长，还是流水中航行所花时间长，还是所花时间一样长。
这样的问题，一时很难作出解答。我们可以把问题足够地“退”，“退”到一种非常特殊的情况：假定船速等于水速，船在逆水航行时将停止不前。这就是说，船无论花费多长时间，也无法在这样的流水中完成两码头之间的往返航行。而在静水中航行的话，往返一次所花时间总是“往”(或“返”)时的2倍。因此在流水中花的时间最长。
如 时速3千米的一只小船，往返一段12千米的行程。如果水时速1千米，需几小时?若是静水，需几小时?
(3)从抽象退到具体
此题比较抽象，且由于“标准量”、“比较量”前后变化，增加了题目难度。把它从抽象退到具体，不妨假设女生人数是30(所设数是3的倍数简
3.推想与推断
例如，3/17的分子和分母同时加上什么数，
因为一个分数的分子与分母同时加上一个数的前后、分母与分子的差17
 分母同时扩大14÷2=7(倍)，就是
加上的数是35-17=18或21-3=18。
4.割补法
 还少2吨，这时，正好运完。这批货共几吨?
这批货是10吨。
5.统一单位“1”1
分率的单位“1”不同，量的性质相异的题型，由于数量间运算无法直接实施，必须统一单位“1”，才能解答。
 吨?
分析：为了求出甲、乙两堆煤的重量间的倍数关系，只须将其中一个量作为标准量，并以此为计量单位去度量另一个量。若甲堆煤的重量为单位
若设乙堆煤的数量为单位“1”，则算式为
解法二：观察线段图
  各有多少人?
 部分人数，从而求出甲队的人数。
乙队为336-154=182(人)。
∴乙队-甲队=(192-188)×7=28，
∴甲队=(336-28)÷2=154(人)，……。
6.统一单位“1”2
 临时又有10个同学报名参加比赛，这样，参加比赛的人数刚好是未参加人数
依题意作线段图如下：
确定以“原来未参加的人数’为单位“1”。从图中可知，现在参加的
 
整理线段图如下：
因为原未参加人数与现未参加人数相差10人，所以
 
用假设法统一标准量。
比实际少 710-600=110(人)。
 =450(人)。
 =360(人)，或710-350=360(人)。
比实际多 875-710=165(人)。
 
 300(人)。
 350(人)。
7.同分子法
例1 某水果商店运来一批梨和桃子，其中梨比桃子多40千克。已知梨
通常用“两数差与倍数”关系解：
如果把相关的分数化为同分子的分数去分析数量关系问题比较容易解答。
梨和桃的重量共为19个等份，梨占10份，桃子占9份，每份重40千克。
梨：40×10=400(千克)
桃：40×9=360(千克)
可见，科技书和文艺书的相应份数分别为8份和5份。
然后用归一法求出科技书本数。
例3 两人分别从相距224千米的AB两地同时相向而行，因甲途中办事1小时而6小时后相遇并立即返回原地。当甲行2小时，乙行4小时后，分别与AB两地距离相等，每小时各行多少千米?
 所以
8.同分母法
 吨?
都平均分成15份，甲库中的9份相当于乙库中的10份，由此得出甲库与乙库的存粮数之比为10∶9。现有粮
乙库：570-300=270(吨)
乙库原有粮：570-400=170(吨)
9.通用公式
一般的平面图形都可以用公式 (a、b互为两个平行的底边长，h为两底间的距离)
例1 一个三角形的底为6cm，高为4cm，求面积。
例2 一个长方形长8cm，宽2cm，求面积。
例3 一个梯形的上底为12cm，下底为18cm，高为3cm，求面积。
例4 一个平行四边形的底边长9cm，高5cm，求面积。
例5 一个圆的周长是12.56cm，半径是2cm，求圆的面积。
例6 一个圆环，内圆周长18.84cm，外圆周长31.4cm，环宽2cm，求环形面积。
例7 求下图的面积。(单位：厘米)
一般解法：3.14×30=94.2
15.7÷94.2=1/6
S=3.14×152×1/6
=117.75(cm2)
10.替代法
例1 一块布，可以做3套大人衣服或7套儿童衣服。已知做一套大人衣服比做一套儿童衣服多用布8尺。做一套大人衣服和儿童衣服各用布多少尺?
解：将3套大人衣服改做儿童衣服，则少用布8×3=24(尺)，这些布刚好可以做7-3=4套儿童衣服。因此，一套儿童衣服用布24÷4=6(尺)。即
(8×3)÷(7-3)=6(尺)
一套大人衣服用布：
8+6=14(尺)
例2 一个水果店有水果845千克，其中桃子比鸭梨的3倍还多25千克。问各有多少千克?
解：根据已知条件，如果用鸭梨代替桃子，那么桃子就相当于3份鸭梨再加上25千克。从总数中减去25千克，就相当(3+1)份鸭梨，从而可求出鸭梨的重量。
鸭梨 (845-25)÷(3+1)=205(千克)
桃子 845-205=640(千克)
类似以上两例的特点是，题目只给出两个未知数量的关系，要求这两个未知数量，思考时，可根据所给的条件，用一个未知数量代替另一个未知数量，从而找到解题途径。
11.特殊值
有些数学题，按一般思路不易求解，若从给出的特殊值入手，紧扣条件和问题之间的联系，将会优化解题思路，很快找到解题捷径。
例1 如图，梯形ABCD被它的一条对角线BD分为两部分，S△DBC比S△ABD大10cm2。BC与AD的和为5cm，差为5cm，求S梯?
一般是借助“辅助线”解。其实只要仔细分析题意，利用给出的特殊条件可简捷求解。
底，它们等高，由BC=2AD，知△BDC=2△ABD。所以
S梯=10×(2+1)=30(cm２)。
例2 设直角三角形的两条直角边分别为6厘米和8厘米，用四个这样的直角三角形拼成如图所示正方形，求大正方形的边长。
此题用勾股定理求解 ＝10。通过观察可以发现，大正方形和阴影部分小正方形的面积是条件和问题的联系纽带。小正方形的边长为直角三角形两条直角边之差8-6=2(cm)，大正方形面积为四个直角三角形的面积和小正方形面积的和。
1/2×8×6×4+(8-6)2=100(cm2)。
这个面积是一个特殊值100=10×10，所以大正方形的边长为10cm。
例3 四个一样的长方形和一个小的正方形拼成了一个大正方形(如图)大正方形的面积是49平方米，小正方形面积是4平方米。问长方形的短边长度是几米?(第一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛题)
因为 4=2×2， 49=7×7，所以小正方形边长2cm，大正方形边长7cm。
长方形长宽之和为7cm，差为2cm，即
从而可求得，宽为2.5cm。
例4 1992年奥林匹克决赛题：一个正方形(如图)，被分成四个长方形，他们的面积分别是
图中阴影部分是一个正方形，那么它的面积是多少平方米。
大正方形边长为1米。仔细观察还可发现小正方形的边长与长方形Ⅰ、Ⅲ的长和宽有关。只要求出Ⅲ的长和Ⅰ的宽即可求得小正方形的边长了。
12.特殊结论
有些题目按照一般的思考方法解答，或者较麻烦，或者不能获得正确答案。用特殊结论解题，思路清楚，方法简便。
例1 周长为28cm的长方形，如果长和宽都增加1cm，这个长方形的面积增加多少?
增加部分的面积=(半周长+增加数)×增加数。分析示意图，不难发现。
(28÷2+1)×1=15(cm2)
例2 周长为28cm的长方形，长增加1cm，宽增加2cm，面积增加24cm2，求原长方形的面积。
思路一：假设长和宽都增加1cm，根据以上结论，这个长方形的面积增加：(28÷2+1)×1=15(cm2)，因实际宽比假设多增加1cm，而面积多增加24-15=9(cm2)如图，所以原长方形的长为9÷1-1=8(cm)。宽为 28÷2-8=6(cm)。
面积是8×6=48(cm2)
思路二：假设长和宽都增加2cm，根据以上结论，面积增加：
 与题给条件24cm2相差8cm2这是因为长没增加2cm，只增加1cm，假设比实际多的部分的面积如图中阴影部分的面积。所以，原长方形的宽为8÷1-2=26(cm)，长为28÷2-6=8(cm)。
面积为8×6=48(cm2)
例3 如图，已知S阴影=6.28cm2，求空白部分的圆面积。
S圆=6.28×2
=12.56(cm２)根据：
结论——任意一个圆心角为90°的扇形面积，等于以这个扇形的半径为直径的圆的面积。
证明：
设有一圆心角为90°，半径为R的扇形。
则它的面积为
直径为R的圆的面积为
结论，得证。
13.特殊数题1
(1)21-12
当被减数和减数个位和十位上的数字(零除外)交叉相等时，其差为被减数与减数十位数字的差乘以9。
因为这样的两位数减法，最低起点是21-12，差为9，即(2-1)×9。减数增加1，其差也就相应地增加了一个9，故31-13=(3-1)×9=18。减数从12—89，都可类推。
被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍……，常数9也相应地扩大(或缩小)相同的倍数，其差不变。如
210-120=(2-1)×90=90，
0.65-0.56=(6-5)×0.09=0.09。
(2)31×51
个位数字都是1，十位数字的和小于10的两位数相乘，其积的前两位是十位数字的积，后两位是十位数字的和同1连在一起的数。
若十位数字的和满10，进1。如
证明：(10a+1)(10b+1)
=100ab+10a+10b+1
=100ab+10(a+b)+1
(3)26×86 42×62
个位数字相同，十位数字和是10的两位数相乘，十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数，后两位是个位数的积。若个位数的积是一位数，前面补0。
证明：(10a+c)(10b+c)
=100ab+10c(a+b)+cc
=100(ab+c)+cc (a+b=10)。
(4)17×19
十几乘以十几，任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10，加个位数的积。
原式=(17+9)×10+7×9=323
证明：(10+a)(10+b)
=100+10a+10b+ab
=[(10+a)+b]×10+ab。
(5)63×69
十位数字相同，个位数字不同的两位数相乘，用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字，再乘以10，加个位数的积。
原式=(63+9)×6×10+3×9
=72×60+27=4347。
证明：(10a+c)(10a+d)
=100aa+10ac+10ad+cd
=10a[(10a+c)+d]+cd。
(6)83×87
十位数字相同，个位数字的和为10，用十位数字加1的和乘以十位数字的积为前两位数，后两位是个位数的积。如
证明：(10a+c)(10a+d)
=100aa+10a(c+d)+cd
=100a(a+1)+cd(c+d=10)。
(7)38×22
十位数字的差是1，个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘，积为被乘数的十位数与个位数的平方差。
原式=(30+8)×(30-8)
=302-82=836。
(8)88×37
被乘数首尾相同，乘数首尾的和是10的两位数相乘，乘数十位数字与1的和乘以被乘数的相同数字，是积的前两位数，后两位是个位数的积。
(9)36×15
乘数是15的两位数相乘。
被乘数是偶数时，积为被乘数与其一半的和乘以10;是奇数时，积为被乘数加上它本身减去1后的一半，和的后面添个5。
(10)125×101
三位数乘以101，积为被乘数与它的百位数字的和，接写它的后两位数。125+1=126。
原式=12625。
再如348×101，因为348+3=351，
原式=35148。
(11)84×49
一个数乘以49，把这个数乘以100，除以2，再减去这个数。
原式=8400÷2-84
=4200-84=4116。
14.特殊数题2
(12)85×99
两位数乘以9、99、999、…。在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数。
原式=8500-85=8415
不难看出这类题的积：
最高位上的两位数(或一位数)，是被乘数与1的差;
最低位上的两位数，是100与被乘数的差;
中间数字是9，其个数是乘数中9的个数与2的差。
证明：设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a(a≠0)，则
如果被乘数的个位数是1，例如
31×999
在999前面添30为30999，再减去30，结果为30969。
71×9999=709999-70=709929。
这是因为任何一个末位为1的两位自然数都可表示为(10a+1)的形式，由9组成的自然数可表示为(10n-1)的形式，其积为
(13)1÷19
这是一道颇为繁复的计算题。
原式=0.052631578947368421。
根据“如果被除数不变，除数扩大(或缩小)若干倍，商反而缩小(或扩大)相同倍”和“商不变”性质，可很方便算出结果。
原式转化为0.1÷1.9，把1.9看作2，计算程序：
(1)先用0.1÷2=0.05。
(2)把商向右移动一位，写到被除数里，继续除
如此除到循环为止。
仔细分析这个算式：
加号前面的0.05是0.1÷2的商，后面的0.05×0.1÷1.9中0.05×0.1=0.005，就是把商向右移动一位写到被除数里，除以1.9。这样我们又可把除数看作2继续除，依此类推。
除数末位是9，都可用此法计算。
例如1÷29，用0.1÷3计算。
1÷399，用0.1÷40计算。
15.顺推
例1 永明在去农安时速45千米的客车上发现第一块里程碑上的数是AB;过了1小时见第二块里程碑上的数是BA;又过了1小时，见第三块里程碑上的数是A0B。经研究很快明白了，这三块里程碑上的数分别是16、61、106。试说明算理?
思路一 BA与AB的差，只能是两位数或一位数。车匀速前进，B必大于A。A0B与BA的差必等于BA与AB的差，不会是三位数。
A只能是1，若是2以上的数，则A0B与BA的差肯定是三位数了。
由下表知：
思路二：由速度一定知BA-AB=A0B-BA。写成十进数，化简
(10B+A)-(10A + B)=(100A + B)-(10B+A)
10B+A-10A-B=100A+B-10B-A
9B-9A=99A-9B
B=6A
B是一位数，且只能是一位数。故A=1，B=6。A和B的数字确定了，其它随之出现。
例2 美国小学数学奥林匹克(1982～1983)第二次 2题：1个面包和6个鸡蛋价值1.80元，同样价格下，2个面包和4个鸡蛋价值2.40元。问1个面包多少钱。
由2个面包和4个鸡蛋价值2.40元，可知，1个面包和2个鸡蛋价值 2.40÷2=1.20(元)。
又由1个面包和6个鸡蛋价值1.80元，知4个鸡蛋价值1.80-1.20=0.60(元)。
所以1个面包价值(2.40-0.60)÷2=0.90(元)。
16.数字的双重作用
例 美国小学数学奥林匹克，第一次(1980年11月)题2：时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，依次类推。从1点至12点这12小时共敲了( )下。
由“首尾之和”知
例2 第二次(1980年12月)2题：如果全体自然数如下表排列，数到1000应在哪个字母的下面。( )
A B C D E F G
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17………………
…………………………
1、2、3、4、5、6既是列的序数，又是对应列以下各数除以7的余数;而7既是列的序数，本列除以7余数为0。
1000÷7=142余6
所以1000与6位于同一列，即在字母F的下面。
17.竖式填空之巧填除法例题1
奥数难题：竖式填空之巧填除法例题1
例1 一个三位数，其十位数字是0，且能被一个一位数整除；如果被另一个一位数除则余3。请填上所有适合的情况。
根据所有条件，全面分析，有序思考：
式(1)中，由除数与商的首位数之积是一个数字，知被除数的百位数字为1；
式(2)中，由余数是3，且除数与商的末位数的积是一位数和“余数必小于除数”，知除数只能为4、5、6，被除数的前两位数为10，除数只能为5，被除数的末位数字为8，这个数为108；
因为108能被2、3、4、6、9整除，但除数为2不符合式(1)的书写形式。答案为：
18.竖式填空之巧填除法例题2
例2
由第一乘积和第一余数，知除数是35;商的十位数字可能是6或4。
商是62不合题意，则除数是35，商为42。
例3 下式可整除，请在□中填进适当的数。
对比联想，逆向思考——转除为乘。
显然，A位只能为7。
B=5，是一定的。C只能是2，到此整个算式解开。
19.竖式填空之巧填除法例题3
例4 第五册数学思考题：
首尾观察：
观察式(1)，知商的百位上是6;再观察式(2)，知商的个位上是2。则被除数为4816。
例5 美国小学数学奥林匹克，第四次(1981年 2月)题 5：在右边的除法算式中，方格表示擦掉的数字，A和B表示商的数字。求A和B的值。 A B A B
由B×5□=432，知B=8;进而知A×54=□6□，A=3。
20.竖式填空之巧填乘法例题1
奥数难题：竖式填空之巧填减法例题1
例1 式中的字母各代表什么数。
M不能大于3，如果是4、则4×4＝16。也不能小于3，如果是2，则2×2＝4，都不符合积的要求。M＝3。
3×N＝21，N＝7；P＝0。即
21.竖式填空之巧填乘法例题2
例2 空，并确定被乘数小数点的位置。
由积的末尾是“30”，知第一部分积为230；
积的最高位是“1”，第二部分积的最高上也为1；
被乘数和第二部分积都是三位数，根据第二部分积的最高位上是1，可确定被乘数和乘数的最高位上也都为1；
被乘数最低位上是“5”，而积的末尾是0，乘数的最低位上可能是2、4、6、8中的一个。由被乘数最高位上是1，第一部分积的最高位上是“2”，知乘数的最低位上为2；
乘数是三位数，而只有两个部分积，知乘数的中间一位上为0；
由被乘数最低位上是“5”，乘数的最低位上是2，第一部分积的末尾是30，知被乘数中间一位上为1；
由被乘数和乘数，求出第二部分积115，终积117.30；
最后，由乘数是一位小数，积有两位小数，知被乘数为一位小数。即右式
22.竖式填空之巧填乘法例题3
奥数难题：竖式填空之巧填乘法例题3
例3 国小学数学奥林匹克，1981～1982年试题：
下边乘法算式中，每个字母代表不同的数字，A不是零。A、B、C、D各代表什么数。
由C×C＝C，知C只可能是1、5、6。如果C＝1，乘积为原被乘数，与条件矛盾，C只可能是5或6，A只能是1。C＝6无解。
C＝5时，B＝2或7。
如果B＝2，则D＝6；
如果B＝7，则D＝8。即
在右边算式中，每一个方格表示一个擦掉的数字，求最后的乘积。
由第一部分积个位上是2，十位上是8，知被乘数个位数字是6，十位数字是2；
根据第二部分积前两位数字是1、2，确定乘数的十位数字是3。
23.竖式填空之巧填乘法例题4
奥数难题：竖式填空之巧填乘法例题4
例4 下式中每个△号，都只表示某个素数(即2、3、5、7)，请你确定这个算式。
由素数数码构成的三位数与一位素数相乘，积仅是由素数码构成的四位数，只有四种：
325×7＝2275 555×5＝2775
755×5＝3775 775×3＝2325
进一步，不难得到
24.竖式填空之巧填减法例题1
奥数难题：竖式填空之巧填减法例题1
例1 册数学思考题：下面减法竖式中的字母，各代表什么数。
由被减数、减数和差的位数，可确定a＝1，s＝9；13－6＝7，t＝6。
c可能为9，但已借给个位数一个1，c＝0；b可能是4，因为14—7＝7，但b已借1给c，所以b＝5。
25.竖式填空之巧填加法例题2
奥数难题：竖式填空之巧填加法例题2
例2 把下列算式中的符号△、□改写成数字，每种符号代表同一个数。
26.竖式填空之巧填加法例题3
奥数难题：竖式填空之巧填加法例题3
二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初试题：有一个四位数，在它的某位数字前面加一个小数点，再与这个四位数相加，得数2000.81。求这个四位数。
奥数难题：竖式填空之巧填加法例题3
由题意知，所求的四位数是整数，且个位、十位上的数字必定分别是1与8。
变换为下列算式：
易推得方框中的数字为1、9，从而再根据加小数点后的数与原四位数字组成相同，确定这个数为1981。
27.竖式填空之巧填加法例题2
奥数难题：竖式填空之巧填加法例题2
例2 把下列算式中的符号△、□改写成数字，每种符号代表同一个数。
28.竖式填空之巧填加法例题3
奥数难题：竖式填空之巧填加法例题3
二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初试题：有一个四位数，在它的某位数字前面加一个小数点，再与这个四位数相加，得数2000.81。求这个四位数。
奥数难题：竖式填空之巧填加法例题3
由题意知，所求的四位数是整数，且个位、十位上的数字必定分别是1与8。
变换为下列算式：
易推得方框中的数字为1、9，从而再根据加小数点后的数与原四位数字组成相同，确定这个数为1981。
29.竖式填空之巧填加法
奥数难题：竖式填空之巧填加法例题：
最大两位数的和＜200，和的最高位只能是1，B＝1； A＋B≥10，方可形成进位。
A＝9，C＝0。
30.学生何时相遇
一列长110米的火车，以每小时30千米的速度向北驶去，14点10分火车追上一个向北走的工人，15秒后离开工人，14点16分迎面遇到一个向南走的学生，12秒后离开学生。问工人，学生何时相遇？
点击查看答案
设工人速度每小时x千米,
0.11/(30-x)=15/3600,x=3.6千米/小时
设学生速度每小时y千米,
0.11/(30+y)=12/3600,y=3千米/小时
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如果都用小学算术方法解
求工人速度,15秒=1/240小时
工人速度=30-0.11/(1/240)=30-0.11*240=3.6千米/小时;
求学生速度,12秒=1/300小时
学生速度=0.11/(1/300)-30=33-30=3千米/小时
-----------------------------------
火车14点10分追上工人，14点16分遇到学生,
火车行进路程30*6/60=3千米
从14点10分到14点16分,工人行进3.6*6/60=0.36千米
14点16分,工人与学生相距3-0.36=2.64千米
工人与学生需要2.64/(3.6+3)=0.4小时相遇
0.4小时=24分钟,即14点16分后24分钟,
14点40分,工人与学生相遇.
31.牛吃草
有三块草地，面积分别是5，15，24亩。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？
【解析】这是一道牛吃草问题，是比较复杂的牛吃草问题。
把每头牛每天吃的草看作1份。
因为第一块草地5亩面积原有草量＋5亩面积30天长的草＝10×30＝300份
所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5＝60份
因为第二块草地15亩面积原有草量＋15亩面积45天长的草＝28×45＝1260份
所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15＝84份
所以45－30＝15天，每亩面积长84－60＝24份
所以，每亩面积每天长24÷15＝1.6份
所以，每亩原有草量60－30×1.6＝12份
第三块地面积是24亩，所以每天要长1.6×24＝38.4份，原有草就有24×12＝288份
新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此288÷80＝3.6头牛
所以，一共需要38.4＋3.6＝42头牛来吃。
两种解法：
解法一：
设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总草量为：10*30/5=60；每亩45天的总草量为：28*45/15=84那么每亩每天的新生长草量为(84-60)/(45-30)=1.6每亩原有草量为60-1.6*30=12，那么24亩原有草量为12*24=288，24亩80天新长草量为24*1.6*80=3072，24亩80天共有草量3072+288=3360，所有3360/80=42(头)。
解法二：10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩，根据28头牛45天吃15木，可以推出15亩每天新长草量(28*45-30*30)/(45-30)=24；15亩原有草量：1260-24*45=180；15亩80天所需牛180/80+24(头)24亩需牛：(180/80+24)*(24/15)=42头。
32.慢车的车速是多少
有三辆不同车速的汽车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人．这三辆车分别用3分钟，5分钟，8分钟分别追上骑车人．已知快速车每小时54千米，中车速每小时39．6千米，那么慢车的车速是多少（假设骑车人的速度不变）？
分析 根据题意先画出线段图，如图5-2．
从图5-2可以看出，要求慢车的车速，只要求出慢车行8分钟的路程.慢车8分钟的路程等于路程ab加上路程be．ab表示三车出发时骑车人已骑出的一段距离，这段距离用快车行3分钟的路程ac减去骑车人行3分钟的路程bc得到，骑车人3分钟行的路程是多少，关键求出骑车人的速度，由图中可以看出，中速车行5分钟的路程ad减去快车行3分钟的路程ac恰好为路程cd，路程cd是骑车人5-3=2分钟行的路程，于是求出了骑车人的速度．be表示骑车人8分钟行的路程，也就容易求出，这样慢车的速度便可以迎刃而解了．
解：快车速度54千米／小时=900米／分钟
中速车速度39．6千米／小时=660米／分钟
（1）骑车人的速度
（660×5-900×3）÷（5-3）=300（米／分钟）
（2）三车出发时骑车人距三车出发地的距离
900×3-300×3=1800（米）
（3）慢车8分钟行的路程
1800+300×8=4200（米）
（4）慢车的车速
4200÷8=525（米／分）=31.5千米／小时
答：慢车的车速为每小时31.5千米．
33.马吃草
20匹马72天可吃完32公顷牧草，16匹马54天可吃完24公顷的草．假设每公顷牧草原有草量相等，且每公顷草每天的生长速度相同．那么多少匹马36天可吃完40公顷的牧草？
分析：同例1一样，解这个题的关键在于求出每公顷每天新长的草量及每公顷原有草量即可．
设1匹马吃一天的草量为一份．20匹马72天吃32公顷的牧草，相当于一公顷原有牧草加上72天新长的草量，可供20×72÷32=45匹马吃一天，即每公顷原有牧草加上72天新长的草量为45份．同样，由16匹马54天吃24公顷的草量，知每公顷原有牧草加上54天新长的草量为16×54÷24=36份．这两者的差正好对应了每公顷72-54=18天新长的草量，于是求得每公顷每天新长的草量，从而求出每公顷原有草量，这样问题便能得到解决．
解：（1）每公顷每天新长的草量
（20×72÷32-16×54÷24）÷（72-54）
=0.5（份）
（2）每公顷原有草量
20×72÷32-0.5×72=9（份）
或16×54÷24-0.5×54=9（份）
（3）40公顷原有草量
9×40=360（份）
（4）40公顷36天新长的草量
0.5×36×40=720（份）
（5）40公顷的牧草36天吃完所需马匹数
（360+720）÷36=30（匹）
答：30匹马36天可吃完40公顷的牧草．
34.计算器上的一与零
如果你只能按计算器上1与0两个数字键，请试试看你是否能用不同的方式得出其他的数字。
例如，要想得到120，你可以按下
第一种方式需要按键9次，其他两种方式只需7次，因此后两种是比较有效率的方式。
请用最有效率的方式，在计算器上得出下列数字：
(1)77 (2)979 (3)1432
(4)1958 (5)2046 (6)15983
分析与解答：
(1) 100-11-11-1= 按12次键
或 10-1-1-1×11=
(2) 100-11×11= 按10次键
以这样的方式按键，有些计算器会得到-21，因此，最后的按法应该是：
100-11＝×11
或 1000-11-10= 按11次键
(3) 11×＝×11＋101= 按12次键
(4) 100-11×11= 按14次键
(5) 1+111-= 按10次键
(6) 11＋1×＝×111-1= 按13次键
在你用计算器核对这些运算时，可能会得到不一样的答案。即使是同一牌号的计算器，同样的按键次序也可能得到不同的答案，所以你必须彻底了解你所用的计算器。例如：
a-b×c
有的计算器会把它当作是(a-b)×c，有的则当作是a-(b×c)。
35.交叉的梯子
在两栋房屋之间的巷道里有两个梯子靠在墙上。AB长8m，CD长10m。
两个梯子的交叉点距地面4m。请问这两栋房屋相距多远？
分析与解答：
这个题目历史悠久，但并不如想象的那么容易。
根据勾股定理，可得
AC2＝102-a2=82-b2
因此 a2-b2＝36 (1)
利用相似三角形的特性，可得：
重新整理(2)式得：
将b代入(1)式得：
整理之后得到下列四次方程式：
a4-8a3-36a2＋288a-576＝0
用试误法，或是更复杂的数值分析法，可以得到：
9.25＜a＜9.255
因此 AC≈3.8m
还有一个类似的问题，也是听起来简单，但实际去做却相当困难：用一条绳子把一只羊拴在一块圆形草地边缘的木桩上。如果羊只能吃到一半草地的草，绳子长度是多少？
36.使用计算器的能力
艾伦、贝蒂和卡罗想出一种游戏，来检验彼此使用计算器的能力。这个游戏是要用最有效的方式，在计算机上依序得出1到20的整数。这并不像听起来那么容易，因为他们规定，每次按下的数字必须依照大小次序，从1开始，而且不得重复。例如按下3之后，下一次必须按4。
游戏进行到求8时，各人的按法如下：
艾伦的按法是-1＋2＋3＋4=
贝蒂的按法是1×2 3=
卡罗的按法是.1-2=
在求得某个数字时，按键次数最少的人得分；如果按键次数一样，则输入数字最小的人得分。以上面的情形为例，艾伦按了9个键，贝蒂和卡罗则只接了6个键。然而，卡罗只按了1和2两个数字，因此由他得到分数。
分析与解答：
这个游戏鼓励学生去探索计算器所具有的功能。例如，CASIO HL-807型计算器就有一种功能，在按下
1＋＝＝＝=
之后，会得到4，也就是按下n个等号键就会得到n。
使用记忆键也能得到类似的答案，不过这并不一定是最有效的方式。例如按下
1
之后会得到6，总共接了8次键。
但是按
1＋2＋3=
也会得到6，而只需按6次键。
或是按下
1×2×3=
或 1＋2==(使用CASIO HL-807)
或 1＋2=
都可以。
下面所列的是使用 CASIO fx-8100计算器按出1到20的方法，但不一定是最好的答案！
按键次数
1：1 1
2：1×2 3
3：1＋2＝ 4
4： 1×2×＝ 5
5：.1÷2＝ 6
6：1×2×3＝ 6
7：1＋2×3＝ 6
8：.1-2= 6
9：1+2＝×＝ 6
10：.1 3
11：1-2＋3×4＝ 8
12：.1+2= 6
13：1＋2 3＋4＝ 8
14：1×2＋3×4＝ 8
15：.1÷2×3= 8
16：1×2×＝×= 7
17：.1×2-3= 8
18：1＋2＝×= 9
19：1×2×＝×＝＋3＝ 10
20：.1×2＝ 6
37.飞镖游戏
由于飞镖游戏日渐流行，一个飞镖团体决定把称作“501分”的比赛稍作修改，使得它更具有挑战性。新的规定是每一回合的总分必须是质数才能列入记录。
每一回合，每一位参加比赛的人掷3支飞镖，每支飞镖可能得到的分数是1、2、3、…20，或是这些分数的2倍或3倍。如果飞镖射中“内圈”，可以得到25分，如果射中靶心，则得50分。如果飞镖没有射到靶盘，就算得0分。
例如某一回合的比赛，3支飞镖射中3倍20、2倍12和5分，那么总分就是89，是个质数，因此可以列入记录。如果每支飞镖都射中3倍30，虽然总分高达180，但因不是质数，所以不算。
3种可被列入记录的最高总分各是多少？
要想达到501分，最少要经过几个回合？
如果比赛必须掷出“2倍”分数后才能结束，那么参加比赛的人最少需投掷几支飞镖才可以获胜？
这个游戏的另一种玩法，就是从501分开始倒推，与每一回合总分的差是质数时才列入记录(此时每一回合的总分不必是质数)。
请证明，在第九支飞镖射中一个2倍分数后，就可使差为0。
分析与解答：
3种最高的分数是：
167＝3倍20＋3倍19+靶心
157=靶心+靶心+3倍19
151＝3倍19＋3倍18+2倍20
因为501=3×167，因此最少只需3个回合就可以得到501分，当然玩的人必须是位高手。
如果飞镖射中2倍分数区后才能结束比赛，那么这一回合就不可能得到167分，因此就需要进行第五回合。如果第四回合的分数是质数，那么它一定是奇数，这样 第五回合的得分也必须是奇数；又由于在第五回合必须得一个2倍分数才能结束，因此第五回合至少要掷2支飞镖。以14支飞镖得到501分的方法之一如下：
第一回合：3倍20＋3倍19+靶心 167
第二回合：3倍20＋3倍19+靶心 167
第三回合：3倍20＋3倍20＋7 127
第四回合：20＋15＋2 37
用9支飞镖使分数差为0，且每一回合总分的差均为质数的一种方法如下：
38.步步为营的战略
由图中的左上角开始，走过一个方格到达1，再走两个方格到达2，然后再走3个方格到达3，以此类推。行进过程中不得重复经过某一方格，最后要到达右下角的8。
只能直走或横走，不得沿对角线走。
请找出这样的路线。
分析与解答：
上面的答案是当初设计题目时的依据。显然用这些数字还可以排出许多其他的路线。利用不同方格的数字可以找到其他不同的答案，只不过这些答案绝非事先安排好的！
解这类问题的重要步骤，就是要以充分的耐心，由路线两端有系统地推敲。要自行设计出一个类似的问题并不困难，而且很值得一试。
39.一座中古世纪的修道院
有一坐中古世纪的修道院围绕着正方形的中庭，中庭里有一口井，僧侣们都是从这口井中汲取饮用水。这口井的位置与3个相邻顶点的距离分别是30m、40m、50m。请问这个中庭有多大？
分析与解答：
中庭的边长大约是56.54m。
这个题目其实很简单，利用勾股定理、代数运算，再加上一个计算器，就能轻易地得出答案。由图可知：
x2＋(a-y)2＝900 (1)
(a-x)2＋y2＝2 50 (2)
x2＋y2＝1 600 (3)
(1)-(3)得
a2-2ay＋700＝0 (4)
(2)-(3)得
a2-2ax-900＝0 (5)
把由第(4)式和第(5)式所得的x、y代入第(3)式：
a4-3 400a2+650 000=0
再把这个式子当作a2的二次方程求解
40.巧用数字来填空
请找出下列数列的规律，把数字填满，并写出16之后的下一个数字是多少？
(1)1，-，7，-，-，16
(2)1，-，-， 7，-，16
(3) 1，-，-，-，7，16
还有哪些规则，可以在1与16之间填入4个数字？
分析与解答：
理论上会有无限多种可能，这个题目的目的是要强调有许多方式可以完成一个数列。
(1)1，4，7，10，13，16，19。每次加3。
(2)1，2，4，7，11，16，22。每次加的数比上次多1。
(3)1，6，3，10，7，16，13。前后项的差有两种：加上5、7、9、…，与减去3。
1与16的差是15，因此有一种产生数列的方法是找到某种形式的5个差，其差的总和为15。例如，1，6，1，6，1的总和是15，故可产生如下的数列：
1，2，8，9，15，16
再如，7，-3，7，-3，7的总和也是15，因此可以产生下面的数列：1，8，5，12，9，16
41.红宝石婚纪念日
为了庆祝红宝石婚纪念日，威廉和露西与全家人一起举行聚会。威廉回想起这段漫长的婚姻生活，追忆当年在学校因与“年轻的露西”同桌而坠入情网。环顾周围的家人，威廉又想到不知等到金婚纪念时，所有的家人是否还能聚在一起。就在这样的思绪起伏中，他突然发现他的年龄的平方与露西年龄平方的差，正好等于他们子女数目的平方。
请问当年威廉和露西结婚时，两人各是几岁？他们共有几个子女？
在西方，结婚40周年纪念日被称为红宝石婚纪念日。另外，在英国，法定结婚年龄为16岁。
分析与解答：
这个问题的数学基础是毕氏三元数组。由于是红宝石婚，所以威廉和露西的年纪应该在56岁以上。而且他们曾在学校同桌，两人的年纪差应该不会超过1岁。因此，综合已知的资料，可以说题目是要找出两个相差1的数字，其平方差是另一个数字的平方。
现在试试 612-602=112
852-842＝132
两组答案看来都有可能。不过，第二组答案应该剔除，因为根据这组答案，威廉和露西40多岁结婚之后生了13个小孩。因此，威廉和“年轻的露西”结婚时，两人应为21岁和20岁，他们生育了11个子女。
42.巧记π的近似值
Sir，I bear a rhyme excelling
In mystic force and magic spelling
[size=+0] Celestial sprites elucidate
[size=+0] All my own striving can’t relate.
[size=+0] 这两段韵文都是为了相同的目的而作的。你知道究竟其目的何在？
[size=+0]分析与解答：
[size=+0] 这两段韵文都可以帮助记忆π的近似值。计算一下每个单词的字母数目…
[size=+0]π＝3.141 592 653 589 793 238 46…
43.小矮人与巨人之战
这是两个人玩的游戏。可以在纸上画出如下图的棋盘，也可以在木板上钻孔，用图钉作棋子，或是在木板上挖出凹洞，用小石头作棋子。
用3个棋子代表小矮人(D)，还要一个不同颜色或大小的棋子代表巨人(G)。开始时，各棋子的位置如图所示。小矮人先走，可以向下或向旁边移动到任何空 位。例如在开局时，最左边的小矮人可以向下移动到2号圆圈，或斜向移动到1号圆圈。巨人的走法与小矮人相似，不过它还可以往上走。
[size=+0] 这个游戏的目标是要使小矮人包围巨人，让它无法移动。
[size=+0] 想想看，是否有致胜的策略？
[size=+0] 如果你将开局时棋子的位置作不同的安排，结果会如何？
[size=+0]分析与解答：
[size=+0] 由图上所示的位置开始，小矮人必须将巨人困在5号圆圈才能获胜，但只要走错一步，巨人就能闪身而过。
[size=+0] 如果由其他位置开始，对巨人会比较有利。例如，小矮人的位置仍然如图所示，但巨人却从1号圆圈开始，那么巨人将会获胜。
[size=+0] 看看你能否发现从哪些位置开始可以保证小矮人会赢(只考虑正确的走法)，而哪些位置对巨人有利。
44.平方数25的特性
1)平方数25有种特性，把它的每位数都加 1之后成为36，还是一个平方数。只有一个四位数的平方数具有相同的特性，请问它是多少？
(2)一个二位数ab，它的平方与ba的平方的差也是一个平方数。请问这个数字是多少？
(3)两个平方数的和与另两个平方数和的乘积，一定是两个平方数的和。例如：
(12＋22)×(22＋32)＝65＝42＋72
请问这个叙述是否正确？
分析与解答：
(1)2 025＝452 3 136＝562
2 025＋1 111＝3 136，而且45＋11=56
(2)652-562＝332
(3)这个平方数的关系可用下式表示：
(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac+bd)2＋(ad-bc)2
或是
(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac-bd)2＋(ad＋bc)2
如果你了解复数的观念，那么就可以知道这些等式是由下面的式子推算出来的：(a＋ib)(c+id)＝(ac-bd)＋(ad＋bc)i (a-ib)(c+id)＝(ac＋bd)＋(ad-bc)i
45.可能性的深入了解
请将1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字排列成某种次序，使得：
前两位数可被2整除
前三位数可被3整除
前四位数可被4整除
以此类推，直到9为止。
排成 123 654 987看来好像有希望，因为
12可被 2整除
123可被3整除
1236可被4整除
12 365可被5整除
123 654可被6整除
但可惜，1236 549无法被7整除。再试一次吧！
分析与解答：
这个题目能使你增进对数字“可除性”(divisibility)的了解。例 如，5一定是在中间位置，因为利用1、2、…9所构成的数字的前五位数，没有其他方式可以被5除尽。因为所有数字的总和是45，所以无论这些数字如何排 列，都可被9除尽。因为前六位数要被6整除，所以前面6位数字的和必须可被3除尽，而且第六位数必须是偶数。同时，还必须使偶数作间隔排列，如此才能被 2、4、6、8所整除。
上述的分析很有帮助，不过要找到能被7整除的数，还是需要试误演算。
唯一的答案是：381 654 729。
但是在这里要提醒你，不要太依赖计算器。因为如果你的计算器只能显示8位数，那么963 258 147看起来就会像是一个答案，因为计算器上会显示出96 325 814可被8整除；但这是不可能的，因为814不能被8整除。
46.乘积与原来的数顺序相反的数字
你是否能找出一组数字，当乘上9时，所得的乘积与原来的数字正好顺序相反。
等你找到这组数字所具有的共同形式之后，再试试看你是否能找到乘以4之后会顺序相反的数字。
分析与解答：
如果 abc…k×9＝k…cba，那么很容易就可以看出 a＝1，k＝9，因为任何其他的a都会产生进位，使乘积比原来的数字多一位。
但是19×9≠91，因为个位数9乘上9时会有进8的情形。
考虑1b9×9，显然由于会进位，所以结果不会等于9b1。
再考虑
1bc9×9＝9cb1
可以发现当b＝0，c＝8时，能够符合题目的条件。
1 089×9＝9801
这是四位数中唯一的答案。
接着的3组答案是：
10 989 五位数
109 989 六位数
1 099 989 七位数
此时数字的形式已呼之欲出。八位数的答案则有两种：
10 999 989和10 891089
九位数的答案有：
T109 999 989和108 901089
十位数有3种答案：
1 099 999 989 1 089 001 089 1 098 910989
这些数字都是从已知的答案而来，任何位数的数字都可以依照以上的规则找出答案。
乘以4之后会顺序相反的数字，与上述这些数字的关系非常密切。事实上，就是上列数字的两倍。
1 089×2＝2 178 而 2 178×4＝8712
10 989×2＝21 978 而 21 978×4＝87919
以此类推。
47.趣味的井字游戏
这个游戏类似井字游戏，在设计时可以针对各种不同的运算方式，以及不同的难易程度作灵活运用。
如图的这个例子是4×4的数字方阵，其中的16个数字是由A＝(23，42，19，36)与B＝(17，28，5，12)中各挑出一个数字相乘的乘积所构成。由于填入的方式并不规则，因此这是随机的排列。
[size=+0] 玩的人轮流从A及B集合中各挑出一个数字，用计算器算出这两个数字的乘积，然后在写有答案的方格上画上记号。先使3个记号连成一直线的人赢。
[size=+0] 为了节省重新写上这些数字的时间，可以准备一张画好4×4空格的纸，以○或×的符号标记计算出的乘积的位置。
48.收藏毛毯的木箱
彼得到木材行买合成板，打算做一个长方体的木箱收藏毛毯。如果要切一块完整的合成 板，价钱很贵，但如果买已经裁切下来的剩余材料就很便宜。彼得在剩余材料堆中用心寻找，终于找到3块合成板正好符合他的要求。其中一块正好做箱底与一个长 侧面；另一块裁成两块正好做一个长侧面和一个短侧面；第三块可以做盖子和剩下的一个短侧面。木材行的老板丈量这3块合成板的面积(以便计算价钱)，分别 是：
6048cm2，4563cm2，4995cm2
合成板的厚度不计，请问这个木箱的尺寸是多少？
分析与解答：
木箱的尺寸可以用试误法求得，也可以通过下列系统的分析求出。
假设木箱尺寸如图所示为a、b、c，并假设3块合成板的面积分别是X、Y和Z，
49.重修一座早已倾颓的古庙
一群历史学家在经过多年的资料收集与研究之后，有意重修一座早已倾颓的古庙。他们知道其中一 个大厅较长的那面墙贴的是橡木壁板，面对房门的墙面挂着来自法国的织锦，地板上则铺着名贵的波斯地毯。他们知道这些装演的设计细节与颜色，也知道橡木壁 板、织锦和地毯的面积分别是648m2、388m2和1296m2。可是他们查遍资料，就是找不到这个大厅的尺寸。你能帮帮他们吗？
分析与解答：
答案为 54m×24m×12m。
假设这个大厅的长、宽、高分别是a、b和c，那么 ac＝648 bc＝288 ab=1296
50.安妮的圣诞礼物
安妮的圣诞礼物是一盒积木。每块积木都是边长5cm的立方体，所有的积木装满一个也是立方体的盒子。就像其他小孩一样，安妮对堆积木很感兴趣。 她把积木倒出来，先搭起一个大的立方体，然后在它的上面再搭了一个较小的立方体，接着又搭了一个更小的立方体。安妮站起来，发现这个塔还是没她高，这令她 有点失望，不过，她因为能把所有的积木都用掉而感到很得意。
这个塔有多高？
分析与解答：
安妮把堆成一个大立方体的积木，重新堆成3个立方体，唯一可能的情况是，3个立方体的每边分别为5块积木、4块积木和3块积木，装积木的盒子则是每边为6块积木。这是因为
33＋43＋53＝63
没有其他合理的数字能符合这个条件。
因此塔高应该是12块积木的高度，也就是60cm。
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