求函数的解析式的方法

求函数的解析式的方法

求函数的解析式是函数的常见问题,下面对一些常用的方法进行讲解.

一．定义法：利用函数定义求出，有时需要对式子进行配凑。

例：已知 的解析式。

 

练习：（1）已知 , 求 的解析式.                       

（2）若 ,求 .                                    

(3) 已知f(x－1)= －4x，解方程f(x+1)=0                                     

 

(4) 设f(x)=2 －3x+1,g(x－1)=f(x) ,求g(x)及f [g (2) ].                 

 

二．换元法：已知f（g(x)）,求f(x)的解析式，一般的可用换元法。注意：换元后要确定新元t的取值范围。

例：已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.                                  

 

练习：（1）若 ,求 .

 

（2）已知 ，求 。                      

 

三．待定系数法：已知函数模型（如：一次函数，二次函数，指数函数等）求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入求系数。

例：设 是一次函数，且 ，求 .       

 

练习：（1）求一个一次函数f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+7 。                                  

 

（2）已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)－2f(x－1)=2x+17, 求f(x)的解析式。                                          

 

四．求分段解析式：利用已知特性求出未知部分解析式，一般会用到函数的奇偶性。

例：设 是偶函数,当x＞0时, ,求当x＜0时， 的表达式.                                      

 练习：已知函数f（x）在R上是奇函数，且当x＞0时 ,  求f(x)的表达式.

 

 

五．解方程组法:求抽象函数的解析式，往往通过变换变量构造一个方程，组成方程组，利用消元法求f（x）的解析式.

例：设函数 是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式 ,求 的解析式.               

练习：（1）设 求 。                            

 

（2）设 为偶函数， 为奇函数，又 试求 的解析式。                                      

六．特殊值法：一般的，已知一个关于x,y的抽象函数，利用特殊值去掉一个未知数y，得出关于x的解析式。

例：函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0.求f(x)的解析式。                                                    

 

 

 

练习：（1）已知： ，对于任意实数x、y，等式 恒成立，求 。                                         

 

 

（2）已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(3)=1.

1求f(9),f(27)的值。

2解不等式f(x)+f(x-8)＜2          

      

答案

 

1、  [  ]   [ f(x)= －1 (x≥0) ]    [  x= ±2 ]  [ , 171  ]

2、            [  ]

3、[  ]   [ f(x)=2x+1 ]     [ f(x)=2x+7 ]

4、[ f(x)=  ]

5、[  ]        [  ]   [ ，  ]

6、[  ]   [  ]    [ ,[-1,9]]