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几何学的五个公理是什么？
唐翠娥的博客
在上周的宝安区基地教研研讨会上，李龙副主任提到了几何学的五个公理是什么？为了了解得更清楚一些，我整理出下面的信息供大家参考：
公理是证明的基础，人们总是依据一些公理以及又公理推出来的定理去证明一个命题是否正确。
欧几里得（约3000年前的希腊数学家）的几何学是由五个公理展开的：
公理一： 任何点都可以和其他的任何点连成直线
公理二： 任一条直线都可以从两头无限地延长
（上述两个公理加起来就是“能通过两点的只有一条”）
公理三： 以任何一点为中心，可以用任何半径画出一个圆
公理四： 所有直角都相等
公理五： 两条直线和一条直线相交时，如果同一边的内角和比两个直角小，那么两条直线在那一边继续延长时，一定会相交。
上述公理，第一到第四都很简单，一看就懂，但第五条，显得复杂。回顾以前的教科书，多写作：假设有一条直线和直线外的某一点，通过这一点与此直线平行的线只有一条。这就是平行线公理。 同前几个公理相比，显得很不一样。
这是公理？假设两条铁轨无限延长，我们站在某一条上，眺望远处，可以发现自己在的那很直，但令一条却好像逐渐弯到你站的那条。难道在极限上有什么不同？
数学家们怀疑公理五不是真的公理，而是从其他四个公理推论出来的。然而直到19世纪之前几千年的绞尽脑汁，数学家们还是无法参透这个问题。
后来出现一个天才数学家叫巴罗切夫斯基，他通过归谬法来解决了这个问题。
何谓归谬法？ 简单说就是以什么为前提时，会导致不合理的结果，因而的出前提是错误的结论。比如要证明根号2（sqrt(2)）是无理数，只要将其假设成有理数，然后在此条件下推论出矛盾，就反而证明了其为无理数。
假设sqrt(2)是有理数
设sqrt(2)=p/q,p>q>0，且p,q互素
有：2=p^2/q^2
p^2=2*q^2
于是p是偶数
设p=2*r，
得(2*r)^2=2*q^2=4r^2
得2*r^2=q^2
故q也是偶数
这与p，q互素矛盾
因此，sqrt（2）是无理数
罗巴切夫斯基的方法是： 首先针对公理五，作出与之矛盾的假设。他预料可以碰到矛盾。具体就是假设“通过直线外的一点与此直线平行的直线不只一条”。他去证明传统的“公理”！ 若出现矛盾则说明公理五的正确性，若不出现，则可以重新勾践几何学体系。志向实在是很大的。
令人惊奇的是： 一旦开始证明，再怎么走都没有出现矛盾。他否定欧几里得公理五，根据新的公理一步步推论，不断发现新的公理，并且不管走到哪里都没有发现矛盾。等他察觉时候，他已经创造出与欧几里得的几何学大异其趣的非欧几何学！
这件事情可以说是数学甚至是科学的“革命性事件”。
它揭示了一个重大的事实：“公理不是自明之理，而只是个假设！”公理不是绝对的！公理只是数学家订出来的！
几千年来，人们认为所谓空间就是指只有一个“欧几里得”空间，丝毫没有想到，除了这个空间之外， 还有其他超乎想象的空间！
就现代的想法： 在欧几里得空间外，还可以创造出无限多不同构造的“空间”！
而且自从非欧几何的发现，几何学的研究方法从真理得发现跃身为模型的构建，这可以说是革命性的一大步！并且以“几何学革命”为主轴，在所有科学的领域中，研究的态度也同样从真理的发现转变为模型的建构！
包括很多自然科学以及社会科学都如此！
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