三角形的周长和面积平分线

三角形的周长和面积平分线

湖北省襄阳市樊城区牛首镇竹条一中　彭　洁　谷兴武

例（1996年全国初中数学联赛试题）如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的…………………(　　)
　　(A)内心　(B)外心　(C)重心　(D)垂心
　　

分析：当该直线过三角形的顶点时，三角形是等腰三角形，这条直线（下文笔者称具有这样特征的直线为三角形的周积平分线）是底边的中垂线，显然它过内心、外心、重心和垂心。当该直线不过三角形的顶点时，结论: 三角形的周积平分线，一定经过此三角形的内心．

 

　　证明： 如图1，设GH为△ABC的一条周积平分线，P为△ABC的内心，令△ABC的内切圆半径为r．

 

 

　　不失一般性，设△ABC的三边长为，，， 三边两两互不相等，记，令G、H两点分别在边AB、AC上．

 

　　∵ AG+AH=

 

　　连接PA、PB、PC、PG、PH，则

 

===

 

          ==

 

　　又∵=+=+=

 

∴=

 

∴G，P，H三点共线，即GH经过点P．

 

　　可见，任意一个三角形，它至少存在一条周积平分线，最多有三条周积平分线(如等边三角形)．这些周积平分线必过此三角形的内心．

 

而且，可以证明过内心的一条直线只要平分了周长也就必然平分面积；同样可以证明过内心的一条直线平分面积也必然平分周长，它们互为充要条件。下文笔者将侧重于展示过三角形的内心平分三角形的面积和过三角形的内心平分三角形的周长的周积平分线的尺规作图法。

 

若三角形是等腰三角形，那么它的一条周积平分线过它的顶角顶点和底边中点。

 

所以，下面笔者把研究的重心放在三边互不相等的三角形上：

 

1、过内心P作一直线，使该直线将△ABC的面积平分为两等份（如图2）

 

作法：① 取AC的中点D，作△ABE∽△APD(两个三角形所处的位置犹如绕点A发生了位似旋转变换)，A、P、E三点在一条直线上；

 

② 再作PE的垂直平分线并且在该垂直平分线上取一点O，使∠POE=∠BAC；

 

③ 以O为圆心，OP为半径作圆，该圆与AB相交于点G（取与A点较远的交点），则由P、G两点所确定的直线平分△ABC的面积。

 

注意：①作△APD时，要让AP>AD；②以O为圆心，OP为半径作圆，该圆在边AB上要有交点(与A点较远的交点G必须在线段AB上)，如果不能满足这两点，就换另外两个顶点或中点试试.

    证明：由△ABE∽△APD可得：AD·AB = AP·AE ……（1），∠PAB=∠PAD，设直线GP与AC的交点为H，因P、E、G三点共圆，所以⌒ PE对的圆周角∠PGE=∠POE=∠BAC=∠PAC=∠PAB，所以∠APH=∠AGP+∠PAB=∠AGP+∠PGE=∠AGE，很容易证明△AGE∽△APH，由此可得AG·AH = AP·AE，结合（1）式可知道AD·AB = AG·AH，从而有AD·ABsin∠BAC =AG·AHsin∠BAC，由于点D是AC的中点，所以有：AD·ABsin∠BAC = 即AG×AHsin∠BAC =，故直线GH平分△ABC的面积。

 

也可由AD·AB = AG·AH变形成比例式：AD:AH = AG:AB，所以连结GD、BH(图略)，则GD∥BH，再连结BD得中线(图略)，利用两平行线之间同底等高的三角形面积相等的原理，易证：，这样就可以回避用正弦定理扩展出的三角形面积公式来理解：直线GH平分△ABC的面积了。

 

那么，GH平分△ABC的周长吗？

 

    因为P为△ABC的内心，所以令△ABC的内切圆半径为r（即P点到△ABC的三边的距离），可得：=+，=++，又因，所以有：AG+AH=(AB+BC+AC），故直线GH也平分△ABC的周长。
    2.过内心P作一直线，使该直线将△ABC的周长平分为两等份（如图3）

 

    ① 分别在边AB、AC或其延长线上截取AD、AF，使AD=AF=（可以把AB，AC的长度转化到直线BC上，再取AB、BC、AC三条线段之和的四等分）；

 

    ② 分别过点D作直线AB的垂线与∠BAC的平分线AP相交于点E，连结EF，易证EF⊥AC，ED=EF；

 

    ③ 过点P、E作圆（作圆方法略，见图2）与AB相交于点G（取与A点较远的交点），使⌒ PE对的圆周角∠PGE=∠PAC=∠PAB；

 

④ 由P、G两点所确定的直线与AC的交点为H，GH平分△ABC的周长。

 

证明：连结EG、EH，因为∠PGE=∠PAC，所以点A、G、E、H四点共圆(可假设点A在G、E、H三点共圆的圆内或圆外两种情况,得证)，于是∠DGE=∠FHE(因为同一条弦AE所对异侧的两个圆周角互补)。又因为∠EDG=∠EFH=，ED=EF，所以≌，这样就得到DG=FH，这样AG+AH=AD+AF=，因此直线GH平分△ABC的周长。

 

那么，GH平分△ABC的面积吗？

 

    因为P为△ABC的内心，所以令△ABC的内切圆半径为r（即P点到△ABC的三边的距离），可得：=+，=++，又因AG+AH=，所以有：，故直线GH也平分△ABC的面积。

 

综上所述，三角形的周积平分线必过它的内心；过三角形内心的一条直线平分周长也必然平分面积；过三角形内心的一条直线平分面积也必然平分周长。

 

另外，本文所阐述的过三角形内心平分周长的方法，可以推广到：过三角形内任意一点作平分周长的直线（提示：如图4，P是△ABC内任意一点，AE是∠BAC的平分线，∠PGE=∠EAC），这个问题留给读者验证。