走进概率“百花园”

走进概率“百花园”

湖北省黄石市下陆中学　宋毓彬

概率问题不仅与我们的生活实际联系密切，而且还可以与数学中许多其它知识相联系，还广泛应用到数学之外的学科。

 

一、在搏彩游戏中

 

 

例1　现有一项帮助贫困生的公益活动，每位参赛者需交赞助费5元。活动规则如下：如图，是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成6个相等的扇形，参与者转动这两个转盘，转盘停止后，指针各指向一个数字（若指针在分隔线上，则重转一次，直到指针指向某一数字为止）。若指针最后所指的数字之和为12，则获一等奖，奖金20元；数字之和为9，则获二等奖，奖金10元；数字之和为7，则获三等奖，奖金5元；其余的均不得奖。此次活动所收集到的赞助费除支付获奖人员的奖金外，其余全部用于资助贫困生的学习和生活。

 

⑴分别求出此次活动中获得一等奖、二等奖、三等奖的概率；

 

⑵若此项活动有2000人参加，活动结束后至少有多少赞助费用于资助贫困生。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

分析：⑴每次两个转盘中指针所指数字之和共有36种情况。如下表：其中和为12有1种，和为9有4种，和为7有6种。

	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

 

∴P（一等奖）=；P（二等奖）==；P（三等奖）==。

 

⑵由⑴，活动结束时赞助费为：

 

2000×5－2000××20－2000××10－2000××5=5000（元）

 

点评：这是一道以人文关怀为背景的博彩概率问题，将概率计算与社会生活实际紧密联系。解决转盘博彩的概率问题，主要是通过列表（或树形图）分析出总共有多少可能性以及每种情况出现的可能性。然后用样本概率对实际问题进行估算。

 

二、在生活决策中

 

例2　某商场设计了两种促销方案：

 

第一种是顾客在商场消费每满200元就可以从一个装有100个完全相同的球（球上分别标有数字1，2，……，100）的箱子中随机摸出一个球（摸后放回）。若球上的数字是88，则返购物券500元；若球上的数字是11和77，则返购物券300元；若球上的数字能被5整除，则返购物券5元；若是其它数字，则不返购物券。

 

第二种是顾客在商场消费每满200元直接获得购物券15元。

 

估计促销期间将有5000人次参加活动。请你通过计算说明商家选择哪种促销方案合算些？

 

分析：方案一，100个球中数字是88的1个，数字为11和77各1个共两个，被5整除的数字共20个。

 

返购物券金额为（500×+300×+5×）×5000=60000（元）

 

方案二，返购物券金额为15×5000=75000（元）

 

由此可确定，选方案1合算。

 

点评：根据概率发生的大小，对事件发生可能性的预测，经常是现实生活中进行科学决策的重要依据。

 

三、在函数中

 

例3　已知函数y=x－5，令x=，1，，2，，3，，4，，5，可得函数图象上的10个点。在这十个点中随机取两个点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），则P、Q两点在同一反比例函数图象上的概率是      。

 

分析：由y=x－5，令x=，1，，2，，3，，4，，5，

 

可得到这十个点的坐标分别为（，－），（1，－4），（，－），（2，－3），（，－），（3，－2），（，－），（4，－1），（，－），（5，0）

 

反比例函数解析式y=中，k=xy，即横、纵坐标乘积相等的点在同一个反比例函数图象上。在10个点中任意取两个不同的点共有10×9中取法，其中有8种情况两个点的横纵坐标成绩相等。

 

∴P（两点在同一反比例函数图象上）==

 

点评：满足函数式的点坐标在函数图象上。函数图象上的点与点的坐标、函数式之间有着一一对应的关系。通过函数式的特征找出满足函数式的所有点，即可求出满足函数图象的概率。

 

四、在几何中

 

 

例4　在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：

 

    ①AB=DC；②∠ABE＝∠DCE；③AE=DE；④∠A=∠D。

 

    小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张。请结合图形解答下列两个问题：

 

    ⑴当抽得①和②时，用①②作为条件能判定△BEC是等腰三角形吗？说说你的理由；

 

⑵请你用树形图或表格表示抽取两张纸片上的等式所有可能出现的结果（用序号表示），并求以已经抽取的两张纸片上的等式为条件，使△BEC不能构成等腰三角形的概率。

 

分析：⑴用①②作为条件能判定△BEC是等腰三角形。

 

      ∵AB=DC，∠ABE＝∠DCE，又∠AEB＝∠DEC

 

      ∴△AEB≌△DEC（AAS）   ∴EB=EC  △BEC是等腰三角形。

 

⑵由抽出的样本不放回，可列表如下：

 

 抽取两张纸片所有可能出现的结果共有12种，其中使△BEC不能构成等腰三角形的情况有4种。

 

 ∴P（△BEC不能构成等腰三角形）==

 

	①	②	③	④
①		②①	③①	④①
②	①②		③②	④②
③	①③	②③		④③
④	①④	②④	③④

 

 

 

 

 

 

点评：将概率与几何证明相结合，关键是看所给的条件中有多少组合可能证明要证的结论。一方面要熟悉证明三角形全等的正确条件，另一方面对概率的定义要熟悉。

 

五、在物理学科中

 

例5　如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或是同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光。

 

 

 

⑴任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于多少？

 

⑵任意闭合两个开关，请用画树形图或列表的方法求出下灯泡发光的概率。

 

分析：⑴分别闭合A、B、C、D共四种情况，只有闭合D一种小灯泡发光。

 

∴P（闭合一个开关，小灯泡发光）=。

 

⑵任意闭合两个开关，树形图如图。共有12种情况。其中只要D闭合，小灯泡就能发光，有6种情况。

 

∴P（闭合两个开关，小灯泡发光）==

 

点评：本题将《物理》中的电路问题与数学中的概率相结合，要求学生既要熟悉《物理》中并联电路的通、断条件，还会用概率估计各种实验结果的可能性大小。是一道典型的跨学科综合题，将数学知识与其他学科的知识有机地联系在一起，让学生体会到所学知识之间不是孤立的，而是有着密切的联系。