第六章 概率初步

 

第六章 概率初步

6.1 感受可能性

探究1：5名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序。签筒中有5根形状大小相同的纸签，上面分别标有出场的序号1，2，3，4，5。小军首先抽签，他在看不到的纸签上的数字的情况从签筒中随机（任意）地取一根纸签。请考虑以下问题：

（1）抽到的序号是0，可能吗？这是什么事件？

（2）抽到的序号小于6，可能吗？这是什么事件？

（3）抽到的序号是1，可能吗？这是什么事件？

（4）你能列举与事件（3）相似的事件吗？

探究2：小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6的点数。请考虑以下问题，掷一次骰子，观察骰子向上的一面：

（1）出现的点数是7，可能吗？这是什么事件？

（2）出现的点数大于0，可能吗？这是什么事件？

（3）出现的点数是4，可能吗？这是什么事件？

总结：1.怎样的事件称为随机事件？

 

2.随机事件与必然事件和不可能事件的区别在哪里？

 

探究3：袋中装有4个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球。我们把“摸到白球”记为事件A，把“摸到黑球”记为事件B。事件A和事件B是随机事件吗？哪个事件发生的可能性大？

 

归纳：一般地，不确定事件发生的可能性是有大有小的。

练习：

1．20张卡片上分别写着1，2，3，…，20，从中任意抽出一张，号码是2的倍数与号码是3的倍数的可能性哪个大?

2．80件产品中，有50件一等品，20件二等品，10件三等品，从中任取一件，取到哪种产品的可能性最大?取到哪种产品的可能性最小?为什么?

 

3.一个袋子里装有20个形状、质地、大小一样的球，其中4个白球，2个红球，3个黑球，其它都是黄球，从中任摸一个，摸中哪种球的可能性最大？

 

4.已知地球表面陆地面积与海洋面积的比均为3：7。如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，“落在海洋里”与“落在陆地上”哪个可能性更大？

6.2 频率的稳定性

一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率（probability）, 记作P（A）.

注意：

1．概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映.

2．概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同.

3.频率与概率有什么区别与联系?

从定义可以得到二者的联系, 可用大量重复试验中事件发生频率来估计事件发生的概率.另一方面,大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数(事件发生的概率)附近，说明概率是个定值,而频率随不同试验次数而有所不同,是概率的近似值,二者不能简单地等同.

4. 0≤P(A)≤1。

5.必然事件发生的概率为       ，不可能事件发生的概率为     ，不确定事件发生的概率P(A)为     与    之间的一个常数。

  用线段表示事件发生可能性大小：

（三）学生展示教师激励

1.下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果

投篮次数（n）	50	100	150	200	250	300	500
投中次数（m）	28	60	78	104	123	152	251
投中频率（m/n）

计算表中投中的频率（精确到0.01）并总结其规律。

 

 

2.小颖有20张大小相同的卡片，上面写有1~20这20个数字，她把卡片放在一个盒子中搅匀，每次从盒中抽出一张卡片，记录结果如下：

实验次数	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200
3的倍数的频数	5	13	17	26	32	36	39	49	55	61
3的倍数的频率

 

 

 

 

 

（1）完成上表；

（2）频率随着实验次数的增加，稳定于数值     左右

（3）从试验数据看，从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率估计是        

（4）根据推理计算可知，从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率应该是        

6.3 等可能事件的概率

  第1课时  摸到红球的概率

等可能事件概率的定义：

一般地，如果一个试验有n种等可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为：P(A)=

   注：      ≤ P(A) ≤      。

 例1. 掷一个骰子，观察向上的一面的点数，求下列事件的概率：

  （1）点数为4；（2）点数为偶数；（3）点数大于3小于5；

 

例2．一个袋中有2个红球和3个白球，每个球除颜色外其余特征均相同。

1. 任意摸出1个球，摸到红球的概率是          ；

2. 任意摸出1个球，摸到红球小明胜，摸到白球小凡胜，这个游戏对双方公平吗？如果不公平，怎样改变袋中球的数量才对双方公平？

    

   例3.做一做:用4个除了颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏.

3. 使得摸到红球的概率是,摸到白球的概率也是.

4. 摸到红球的概率为,摸到白球和黄球的概率都是.

   6.3  等可能事件的概率

                                         第2课时  停留在黑砖上的概率

   例1. 某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会。如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券（转盘等分成20份）。甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？他得到100元、50元、20元的购物券的概率是多少？

   解：甲顾客购物的钱数在100元到200元之间，可以获得一次转动转盘的机会。

   转盘一共等分成20个扇形，其中1份是红色、2份是黄色、4份是绿色，因此，对于该顾客来说，

   P（获得购物券）=_______________；
   

   P（获得100元购物券）=_______________；

   P（获得50元购物券）=_______________；

   P（获得20元购物券）=_______________。

   拓展：

   如图所示转盘被分成16个相等的扇形。请在转盘的适当地方涂上颜色，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针落在红色区域的概率为。

    

    

    
   

    

   例2.如图所示，有一个转盘，转盘分成4个相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置，求下列事件的概率：

   (1）指针指向绿色；

   (2）指针指向红色或黄色；

   (3)指针不指向红色．