一次函数的“最值”

一次函数的“最值”

湖北省黄石市下陆中学　宋毓彬

一次函数y=kx+b中，x、y均可取一切实数．如果缩小x的取值范围，则其函数值就会出现最大值或最小值．

一次函数的“最值”由一次函数的性质决定，与其k值、自变量的取值范围密切相关：

⑴k＞0时，y随x增大而增大．因此，x取最小值时，y有最小值；x取最大值时，y有最大值．

⑵k＜0时，y随x增大而减小．因此，x取最小值时，y有最大值；x取最大值时，y有最小值．

k值、自变量的取值范围与函数最大值、最小值的对应情况如下表：

x	y=kx+b
	k＞0	k＜0
x≤m	x有最大值，y有最大值 y最大值=km+b	x有最大值，y有最小值 y最小值=km+b
x≥m	x有最小值，y有最小值 y最小值=km+b	x有最小值，y有最大值 y最大值=km+b
m≤x≤n	x=m时（最小），y最小值= km+b； x=n时（最大），y最大值=kn+b	x=m时（最小），y最大值= km+b； x=n时（最大），y最小值=kn+b

求一次函数的最大、最小值，一般都是采用“极端值法”．即用自变量的端点值，根据函数增减性，对应求出函数的端点值（最值）．

请看以下实例．

例1．已知一次函数y=kx+b中自变量x的取值范围是-2≤x≤6，相应的函数取值范围是-11≤y≤9．求此函数的解析式．

解析：x的取值范围与函数y的取值范围的对应情况，由k值的符号确定．故应分类讨论．

⑴k＞0时，y随x增大而增大．x=-2时，y=-11；x=6时，y=9．

∴   解得     ∴y=x-1

⑵k＜0时， y随x增大而减小．x=-2时，y=9；x=6时，y=-11．

∴   解得     ∴y=－x+14

例2．康乐公司在A、B两地分别有同型号的机器17台和15台，现在运往甲地18台、乙地14台．从A、B两地运往甲、乙两地的费用如下表；

	甲地（元/台）（18）	乙地（元/台）（14）
A地（17）	600（x）	500（17-x）
B地（15）	400（18-x）	800（x-3）

⑴如果从A地运往甲地x台，求完成以上调运所需总费用y（元）关于x（台）的函数解析式；

⑵若康乐公司请你设计一种最佳调运方案，使总的费用最少，则该公司完成以上调运方案至少需要多少费用？为什么？

解析：⑴y=600x+500（17-x）+400（18-x）+800（x-3）=500x+13300

⑵由①x≥0；②17-x≥0；③18-x≥0；④x-3≥0  ∴3≤x≤17

∵k=500＞0，∴y随x增大而增大，x取最小值时，y有最小值．

∴x=3时，y最小值=500×3+13300=14800（元）

故该公司完成以上调运方案至少需14800元运费．调运方案为：由A地运往甲地3台，运往乙地14台；由B地运往甲地15台．

 

作者简介：宋毓彬，男，44岁，中学数学高级教师．在《中学数学教学参考》、《中学数学》、《中学生数学》、《数理天地》、《数理化学习》、《数理化解题研究》、《中学课程辅导》、《数学周报》、《数学辅导报》、《数理报》、《少年智力开发报》、《学习报》、《小博士报》等报刊发表教学辅导类文章70多篇．主要致力于初中数学中考及解题方法、技巧等教学方面的研究．

2011-09-09  人教网