怎样将一条线段任意黄金分割

怎样将一条线段任意黄金分割

湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学　赵国瑞

在数学王国里有一个“数”像诗一样美妙，它就是美的密码——(准确值)=0.618(近似值)．

 

两千多年前，古希腊的数学家欧克多索斯发现：将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段PB与大段AP的长度之比等于大段AP与全段AB的长度之比，即，如图1所示．此时线段AP叫做线段AP、PB的比例中项，则可得出这一比值为，这种分割称为黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点．

 

                                    

 

                      图1

 

那么，应该怎样把一条线段进行黄金分割呢？或者说怎样作出已知线段的黄金分割点呢？下面提供一种作法：

 

如图2，已知线段AB，求作线段AB的黄金分割点．

 

                                         

 

　　　　　　　　　　　　　          图2

 

①过点B作BD⊥AB，使BD=AB；

 

②连结AD，在AD上截取DE=DB；

 

③在线段AB上截取AP=AE．

 

则点P是线段AB上的一个黄金分割点．

 

那么，为什么点P是线段AB上的一个黄金分割点呢？

 

事实上，若设AB=a，AP=x，由作图过程可知AP=．在Rt△ABD中，由勾股定理可得.整理可得x²=a(a-x)．因此点P是线段AB上的一个黄金分割点．

 

实际上，我们不仅可以把一条线段进行黄金分割，而且还可以把一条线段任意进行黄金分割，如何把一条线段任意进行黄金分割呢？为此我们先看一个与黄金分割有趣的数量关系．

 

如图3，点C是线段AB的一个黄金分割点(其中点C靠近端点B)，由于对称性，在线段AB上必然还有另一个黄金分割点D(其中点D靠近端点A)．

 

　　　　　　　　　　　　　

 

　　　　　　　　　　　　　图3

 

若设AB=a，由黄金分割的定义，得AC=BD=a，而，∴AD=BC=a．

 

∴CD=BD-BC=a-a===a．

 

∴．

 

　　　　　　　　　　　　　　　

 

      　　　　　　　　　　　　　　　　　　图4

 

于是点C是线段DB的一个黄金分割点(靠近端点D)．利用对称性，再作出线段DB的另一个黄金分割点E(靠近端点B)，则点E一定是线段CB的一个黄金分割点(靠近端点B)，如图4所示．这样我们就可以不断地利用对称性对线段AB进行黄金分割．

 

我们不但可以利用与黄金分割有趣的数量关系对一条线段任意进行黄金分割，还可以利用与黄金分割有关的几何图形对一条线段任意进行黄金分割．

 

黄金矩形  如果一个矩形的两边之比具有黄金分割比值，则称这种矩形为黄金矩形，它是由一个小正方形和另一个小黄金矩形组成的．

 

事实上，如图5，设大黄金矩形的两边分别为a、b，则，分出一个正方形后，所余小矩形的两边分别为(a-b)和b，它们的比为．这样我们可以将一个黄金矩形无限分割下去，就可以得到无限多个黄金矩形．

 

　　　　　　　　　　　　　　

 

　　　　　　　　　图5 　　　　　                    图6

 

黄金三角形  顶角为36°的等腰三角形叫做黄金三角形．其底与腰之比为黄金分割比值，底角平分线与腰的交点为腰的黄金分割点．如图6，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ACB的平分线CP交腰AB于P，则BC=CP=AP，且△ABC∽△CBP，∴，即AP²=BP·AB，∴．

 

再作∠ABC的平分线交CP于P₁，作∠BPC的平分线交BP₁于P₂，得到△BPP₁，△PP₁P₂，均为黄金三角形．如此下去则可得到一系列的黄金三角形．

 

亲爱的同学们，你知道怎样根据黄金矩形和黄金三角形的性质对一条线段任意进行黄金分割了吗？赶快动手试一试吧．

 

 

2011-08-09  人教网