谨防“等腰三角形五陷阱”

谨防“等腰三角形五陷阱”

湖北省黄石市下陆中学　陈　勇

等腰三角形是一类比较特殊的三角形，命题人常利用等腰三角形“无图多解”的特点设置“陷阱”，来考查学生分析问题的严密性和全面性．解答这类问题时，应对进行分类讨论，切勿受思维定势的影响而掉入“陷阱”，出现漏解的现象．

 

一、腰长或底边长的“陷阱”

 

例1　已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为6，则它的周长为______．

 

分析：已知条件中等腰三角形的腰长不确定，而从题意来看，两边都可以作腰，故只考虑其中一种情形时，就会掉进命题“陷阱”，出现漏解现象．所以此问题应分别以5和6为腰进行分类求解，则它的周长为16或17．

 

二、顶角或底角的“陷阱”

 

例2　已知等腰三角形一个角的度数为，则它的另两角的度数为_____．

 

分析：由于已知条件中未指明已知角是顶角还是底角，而从题意来看，它既可以作顶角，又可以作底角．故只考虑它既可以作顶角或作底角其中一种情形时，就会掉进命题“陷阱”，出现漏解现象．所以此问题应分为已知角作顶角和作底角两种情况来考虑，即（1）当角作顶角时，其余两角的度数为；（2）当角作底角时，其余两角的度数为、．

 

三、高的“陷阱”

 

例3　已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角度数为______．

 

分析：由于等腰三角形一腰上的高与等腰三角形的位置关系不确定，但题意来看，一腰上的高不可能与另一腰重合，故只考虑一腰上的高在等腰三角形内部（或外部）时，就会掉进命题“陷阱”，出现漏解现象．所以此问题应分为一腰上的高在等腰三角形内部和外部两种情形，如图1所示，即（1）当高在内部，且时，顶角∠BAC的度数为；（1）当高在外部，且时，顶角的度数为．

 

 

四、腰上的垂直平分线的“陷阱”

 

例4　在中，=，的垂直平分线与所在的直线相交所成的角为，则底角的度数为___________．

 

分析：已知条件中的垂直平分线相交的具体位置不确定，从题意上看，故只考虑的垂直平分线与另一腰（或另一腰的延长线）相交时，会掉进命题“陷阱”，出现漏解现象．所以此问题应分为的垂直平分线与另一腰相交和的垂直平分线与另一腰的延长线相交两种情形，如图2所示，即（1）当的垂直平分线与腰相交，且时，底角∠B的度数为；（2）的垂直平分线与腰的延长线相交，且时，则，所以底角的度数为．

 

五、腰上中线的“陷阱”

 

例5　已知等腰三角形一腰上的中线把等腰三角形的周长分成9和12两部分，则等腰三角形的腰长为___________．

 

分析：已知条件中未具体指明等腰三角形一腰上的中线把等腰三角形周长分成的哪两部分的大小，从题意上看，故只考虑一部分长度为9（或12）时，会掉进命题“陷阱”，出现漏解现象．所以此问题应分为一部分长度为9 和12两种情形，如图3所示，即（1）当+=12、+=9时，解得=8、=5；（2）当+=9、+=12时，解得=6、=9．所以它的腰长为8或6．

2011-08-09  人教网