两个斜率和截距互换的一次函数

两个斜率和截距互换的一次函数

湖北省襄阳市樊城区牛首镇竹条一中　谷兴武　张　琴

学习八年级数学（上）《一次函数》内容时经常遇到这样的习题：一次函数与的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（    ）

A.                           B.                        C.                       D.

笔者调查了本校的部分数学教师，归纳有两种方法传授给学生，方法一：逐个去分析这四幅图，就其中一幅图而言，首先假定其中任意一条直线是，由该直线的位置可得与0的大小关系（即判断出的符号），再用已确定符号的，试一试是否适合另一条直线的位置（假定另一条直线是），若适合，选择该图。方法二：也是逐个分析每一幅图，任意假定其中一条直线是，得到一组的符号；再假定另一条直线是，也得到一组的符号，如果这两组的符号一致，说明此图正确。

 

前不久笔者看到一本有关初中奥数的书中指出，直线与的交点是，交点的横坐标是定值1。本人当时就预感到自己和部分教师对“一次函数与的图象在同一直角坐标系内的大致位置”的认识欠深入，有必要再研究。

 

一、从两直线的交点入手

 

解一次函数与组成的方程组，但是在解的过程中，笔者发现：只有当时（即时），方程组才有唯一的一组解，即直线与在同一直角坐标系内交点才是唯一的，且为，可见，这个交点只在直线上(如图1)。容易看出，当时，一次函数与成同一条直线了，所以笔者认为文首题目的条件不严密，应添加：.

　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

二、从两直线所在的象限入手

 

笔者分析，一次函数图像的大致位置是由直线的斜率和它在y轴上的截距的符号来决定的，由于直线与的斜率和在y轴上的截距是互相交换的，所以这两条直线的位置互相牵制。当同号时，直线与同时过相同的三个象限；当异号时，它们不能同时过相同的三个象限。笔者通过探究，可归为三类：

 

1.当且时，两条直线都过一、二、三象限（如图2）

 

说明一下，图形中的位置可以互换（下文的图3同），但是同时两直线的解析式也发生互换。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

2.当且时，两条直线都过二、三、四象限（如图3）

　　　　　　　　　　　　　　　

3.当时，过一、三、四象限，过一、二、四象限。

 

当时，过一、二、四象限，过一、三、四象限。

显然，第三类的两种情况可以合二为一：当异号时，若一条直线过一、三、四象限，则另一条直线必过一、二、四象限（如图4）。反之，亦然。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

总结  综上所述，归纳如下：

 

情形 1  当同正且不相等时，一次函数与的图象在同一直角坐标系内都过一、二、三象限，这两条直线的交点一定在第一象限且在直线上.

 

情形2  当同负且不相等时，这两条直线都过二、三、四象限，交点一定在第四象限且也在直线上.

 

情形3  当异号时，它们其中一条直线过一、三、四象限，另一条直线过一、二、四象限，交点所在象限取决于的符号，若，交点在第一象限；若 ，交点在轴上（1，0）处；若 时，交点在第四象限。且交点必在直线上.

 

三、应用举例

 

例1　现在，我们再回过头来解决文章开头的题目（最好加个条件），首先从交点上分析，一次函数与的图象在同一坐标系内的交点必在直线上，淘汰选项B、D；然后再从这两条直线所经过的象限来分析，只有上述总结的三种情形，从而在剩余的选项A、C中把A淘汰掉，选择C. 显然，此法优于文章第二段介绍的方法。

 

例2　设且，将一次函数与的图象画在同一直角坐标系内，则图中正确的是（　）

　　　　

 

分析  首先根据条件，淘汰选项，再从这两条直线所经过的象限来分析，观察剩下的三个选项都符合前面总结的情形3，但是选项中两直线的交点所处的位置有所不同，从三幅图可得：异号且.又因已知，所以，可得交点在第四象限，故选

 

作者简介：谷兴武，男，39岁，中学一级教师，任教初中数学多年，有一定的教学经验。