升华解题思路：品味“化归” 20100308

2010年3月8日 星期 一 
升华解题思路：品味“化归”

　　化归思想是中学数学中常见的一种思想方法。 “化归”是转化和归结的简称，我们在处理和解决数学问题时,总的指导思想是把问题转化为能够解决的问题,这就是化归思想。在解题中表现为:化难为易,避繁从简,转暗为明,化生为熟。

　　化归思想无处不在,它是分析问题解决问题的有效途径。在初中数学学习中运用这种化归的思维方法解决问题的例子非常多。例如,在代数方程求解时大多采用“化归”的思路,它是解决方程(组)问题的最基本的思想。即将复杂的方程(组)通过各种途径转化为简单的方程(组),最后归结为一元一次方程或一元二次方程。这种化归过程可以概括为“高次方程低次化,无理方程有理化,分式方程整式化,多元方程组一元化”。这里化归的主要途径是降次和消元。虽然各类方程(组)具体的解法不尽相同,然而万变不离其宗, 化归是方程求解的金钥匙。下面举几个实例：

　　例1．已知m2+m－1=0，那么代数式m3+2m2－2005的值是___。

　　【分析】可以运用化归思想，化高次为低次来解决。

　　【解】由m2+m－1=0，得  m2=1－m, m2+m=1

　　∴m3+2m2－2005=m(1－m)+2m2－2005

　　=m－m2+2m2－2005

　　=m2+m－2005

　　=1－2005

　　=－2004

　　例2．若■=-■=■，则■=______。

　　【分析】消去未知数是解题的常见思路，常见的方法有代入消元和加减消元，本问题可采用“设k法”，表面上看似乎增加了未知数的个数，实际上找到了新的等量关系，如x=3k等，设参与消参的转化达到了化多元为一元的目的，使问题顺利求解。

　　【解】设■=-■=■=k , 则x=3k, y=－4k,z=7k ,代入原式，得

　　■=■=■=-3

　　例3．已知关于x的函数y=(m+6)x2+2(m-1)x+(m+1)的图象与x轴总有交点，求m的取值范围。

　　【分析】这是一个函数问题，可以根据函数与方程的联系，把它转化为：已知关于x的方程(m+6)x2+2(m-1)x+(m+1)=0总有实数根，求m的取值范围。

　　【解】当m+6=0即m=－6时，方程化为－14x=5它是一元一次方程，必有实数根，即函数的图象与x轴有交点。

　　当m+6≠0，即m≠－6时，方程为一元二次方程

　　∴△=4(m－1)2－4(m+6)(m+1)=4(－9m－5)≥0  ∴m≤-■

　　综上，m的取值范围是m≤-■

　　平面几何的学习中亦是如此。例如,研究四边形、多边形问题时通过分割图形,把四边形、多边形知识转化为三角形知识来研究；解斜三角形的问题，通过作三角形一边上的高，转化为解直角三角形问题；我们熟悉的梯形问题,常通过作腰的平行线或作两条高等常用辅助线,把梯形问题转化为平行四边形与三角形问题。又如，圆中有关弦心距、半径、弦长的计算亦能通过连结半径或作弦心距把问题转化为直角三角形的求解。还有，解正多边形的问题，通过添半径和边心距，转化为解直角三角形问题等等。下面也举几个实例：

　　例4．如图，在四边形ABCD中，已知AB:BC:CD:DA=2:2:3:1，且∠B=90°，求∠DAB的度数。

　　　　

　　【分析】对于给出的不规则四边形，没有现成的公式、法则进行计算，故设法对图形进行转化，化不规则为规则。

　　作辅助线是进行几何图形转化的常用手段，本题通过分析，连结AC，实现了化四边形为三角形的解题思路。

　　【解】连结AC.

　　∵AB:BC=2:2 ，∠B=90°

　　∴∠BAC=∠BCA=45°，AC=■AB

　　设AB=2x,则AC=2■x,AD=x,CD=3x，

　　∴∠CAD=90°   ∴∠DAB=90°+45°=135°

　　例5． △ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c．若∠C=90°，如图1，根据勾股定理，则a2+b2=c2。若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论。

  
  图1                                                        图2

  　　【分析】勾股定理是我们非常熟悉的几何知识，对于直角三角形三边具有a2+b2=c2的关系，那么锐角三角形、钝角三角形的三边又是怎样的关系呢？我们可以通过作高这条辅助线，将一般三角形转化为直角三角形来确定三边的关系.

  

　　在解综合题时，由于有些条件比较隐蔽，或所给的条件比较分散，或是所求的结论比较复杂，这时我们就更需要熟练运用化归的思想，把问题转化为我们比较熟悉的问题，从而较快地找到解题思路。

　　例6．如图，在直角坐标系中，点O'的坐标为（2，0），⊙O'与x轴交于原点O和点A.又B、C、E三点的坐标分别为（-1，0）、（0，3）、（0，b），且0＜b＜3.

　　（1）求点A的坐标和经过B、C两点的直线的解析式；

　　（2）当点E在线段OC上移动时，直线BE与⊙O'有哪几种位置关系？并求出每种位置关系时，b的取值范围。

　　【分析】要考察直线BE与⊙O'有哪几种位置关系，可先考察相切这种特殊位置，化一般为特殊，相切时直线与圆有可以运用的性质定理，此时求得的b的值就是一个分界点。在分析的过程中，应用本题的“静态”——直线与圆相切，作出图形，化动为静是解题的关键。

　　【解】（1）由已知得：A（4，0）

　　由待定系数法，得：经过B、C两点的直线的解析式为y=3x+3

　　(2) 当点E在线段OC上移动时，直线BE与⊙O'有三种位置关系:相离、相切、相交。

　　设当点E运动到OC上某处时，恰使直线BE切⊙O'于点M，连结O'M。

　　∵BM是⊙O'的切线  ∴O'M⊥BM且O'M=2

　　在Rt⊿BO'M中，BO'=3，O'M=2  ∴BM=■=■

　　又■=■

　　∴OE=■

　　∴当b=■时，直线BE与⊙O'相切；

　　当■＜b＜3时，直线BE与⊙O'相离；

　　当0＜b＜■时，直线BE与⊙O'相交。

　　“化归”思想，贯穿在整个初中数学之中，我们在学习的过程中如能有意识地体会这种科学的思维方法，有利于我们在解决问题的过程中，思维通畅、方法得当，从而达到事半功倍的效果。数学家雅诺夫思卡娅说：“解题——就是意味着把所要解的问题转化为已经解过的问题。”

　　上海市第十中学 鲁海燕