一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程的根与系数的关系  

一元二次方程的根与系数的关系

 

［学习目标］

  1. 熟练掌握一元二次方程根与系数的关系（即：韦达定理及逆定理）；

  2. 灵活运用一元二次方程根与系数关系确定字母系数的值；求关于两根的对称式的值；根据已知方程的根，构作根满足某些要求的新方程。

  3. 在解题中锻炼分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力；

  4. 提高自己综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力。

  5. 体会特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律，有意培养自己发现规律的兴趣，及树立勇于探索规律的精神。

 

二. 重点、难点：

  1. 教学重点：

    一元二次方程根与系数关系及其推导和应用，注意往往不解方程，用两根和与积或各系数就可解决问题，这时解了方程反而更麻烦。

  2. 教学难点：

    正确理解根与系数的关系，掌握配方思想，把某些代数式配成两根和与积的形式才能将系数代入。

 

【典型例题】

  例1. 已知方程的一个根是，求它的另一个根及b的值。

    分析：含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。

    解：（方法一）设方程的另一根为，则由方程的根与系数关系得：

   

    解得：

    （方法二）由题意：

    解得：

    根据韦达定理设另一根为x，则

   

    点拨：解法一较简单，主要原因是突出了求解的整体性。

 

  例2. 已知方程的两根为，求下列代数式的值：

    （1）；（2）；（3）

    分析：若方程两根，则不解方程，可求出关于的对称式的值，只须将其配成含有、的形式。

    解：由已知，根据韦达定理

    （1）

    （2）

    （3）

         

   

    点拨：体会配方思想，将代数式配成含有的形式，再代系数即可。

 

  例3. 已知：是两个不相等的实数，且满足，那么求的值。

    分析：由两个条件可得出为方程的两不等实根，再对所求代数式配方变形。

    解：由题意，为的两个不等实根

    因而有

    又

   

    点拨：善于转化未见过的题，充分挖掘已知条件。

 

  例4. 已知关于x的一元二次方程与有一个相同的根，求k的值。

    解：（解法一）设方程两根α、β，方程的两根，则有：

   

    由

    当时，代入

    当时，由

    代入

    则

    代入

    把代入<2>中，

    或

    （解法二）将与相减得：

   

    此时方程根为0或，即题中两方程相同根为0或

    （1）若是0则；

    （2）若是，则；

    或

    点拨：两种解法各有千秋，一运用了解方程组思想，二运用了“若方程与有公共根，则公共根必满足方程”的结论。

 

  例5. 已知方程

    （1）若方程两根之差为5，求k。

    （2）若方程一根是另一根2倍，求这两根之积。

    分析：对含字母系数的一元二次方程，可根据题设中方程根与系数关系，确定方程系数字母的值。

    解：（1）设方程两根与，由韦达定理知：

   

    又

   

    （2）设方程两根，由根系关系知：

   

   

    点拨：已知两根的关系，应用韦达定理解决系数求值问题。

 

  例6. 已知方程两根之比为1：3，判别式值为16，求a、b的值。

    分析：必用判别式，又韦达定理知，，显然可求a、b。

    解：设已知方程的两根为m，3m

    由韦达定理知：

    即

   

   

    把代入

    得：

    点拨：把判别式、韦达定理综合出题，更易贯通新旧知识。

 

  例7. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根。

    （1）用含m的代数式表示；

    （2）当时，求m的值。

    分析：应注意，即可用根系关系。

    解：（1）由题意：

                     

   

            

    （2）由（1）得：

    解得：

    检验：当时，原方程无实根。

    ∴舍去

    当时，原方程有实根。

    ∴

    点拨：易忽略检验，要学会灵活应用一元二次方程有关概念，及判别式，根系关系。

 

  例8. 已知方程的两根为，求一个一元二次方程，使它两根为和。

    分析：所求方程，只要求出的值即可，转化成例2类型了。

    解：设所求一元二次方程为

   

    为方程的两根

    ∴由韦达定理

    又

   

    ∴所求一元二次方程为

    即：

    点拨：应用根系关系构造方程，如果方程有两实根，那么方程为，当为分数时，往往化成整系数方程。

 

［总结扩展］

  1. 一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。

  2. 以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力。

  3. 本节课学习了根与系数的关系的应用，主要有如下几方面：（1）验根；（2）已知方程的一根，求另一根；（3）求某些代数式的值；（4）求作一个新方程……

  4. 通过根与系数的关系的应用，能较好地熟悉和掌握了根与系数的关系，由此锻炼和培养了学生逻辑思维能力。

 

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

一. 选择题。

  1. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k与另一根分别为（    ）

    A. 2，-1                B. -1，2                C. -2，1                D. 1，-2

  2. 已知方程的两根互为相反数，则m的值是（    ）

    A. 4               B. -4                     C. 1               D. -1

  3. 若方程有两负根，则k的取值范围是（    ）

    A.              B.               C.              D.

  4. 若方程的两根中，只有一个是0，那么（    ）

    A.                      B.

    C.                      D. 不能确定

  5. 方程的大根与小根之差等于（    ）

    A.            B.           C. 1               D.

  6. 以为根的，且二次项系数为1的一元二次方程是（    ）

    A.                      B.

    C.                      D.

 

二. 填空题。

  7. 关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则m＝________。

  8. 已知一元二次方程两根比2：3，则a，b，c之间的关系是______。

  9. 已知方程的两根，且，则________。

  10. 已知是方程的两根，不解方程可得：________，________，________。

  11. 已知，则以为根的一元二次方程是______

________________________。

 

三. 解答题。

  12. 已知方程的两个实根中，其中一个是另一个的2倍，求m的值。

  13. 已知方程的两根不解方程，求和的值。

  14. 已知方程的两根，求作以为两根的方程。

  15. 设是方程的两个实根，且两实根的倒数和等于3，试求m的值。

 

【试题答案】

一. 选择题。

  1. A            2. B               3. D               4. B               5. C               6. B

二. 填空题。

  7.

  8. 设，则

   

  9.

   

   

    或

    时，原方程△＜0，故舍去，

  10.

   

   

            

   

  11.

    由此

   

    或

    或

    所求方程或

三. 解答题。

  12. 解：设方程的一个根为x，另一根2x

    由根系关系知：

    解得：

   

  13. 解：由题设条件

   

   

             

   

  14. 解：由题意

    即

   

    故所求方程是，即

  15. 解：

    由

   

    由

   

   

    不符合题意，舍去

   

 

【励志故事】

果断

有一个6岁的小男孩，一天在外面玩耍时，发现了一个鸟巢被风从树上吹掉在地，从里面滚出了一个嗷嗷待哺的小麻雀。小男孩决定把它带回家喂养。

当他托着鸟巢走到家门口的时候，他突然想起妈妈不允许他在家里养小动物。于是，他轻轻地把小麻雀放在门口，急忙走进屋去请求妈妈。在他的哀求下妈妈终于破例答应了。

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