数的开方、二次根式的乘除法 直角三角形

数的开方、二次根式的乘除法 直角三角形  

 

代数：数的开方、二次根式的乘除法

    几何：直角三角形

 

［学习目标］

    代数：

    了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用数学符号表示；

    了解开方与乘方互为逆运算，会求某非负数的平方根、算术平方根、立方根；了解无理数与实数的概念，会求简单的二次根式的乘除法运算及进行简单的分母有理化。

    几何：

    理解掌握勾股定理及逆定理。

 

二. 重点、难点：

    重点：

    代数：平方根、算术平方根、立方根的求解，无理数的概念，二次根式的乘除法运算。

    几何：勾股定理及逆定理。

    难点：

    代数：平方根、算术平方根的求解，无理数的概念，二次根式乘除法的运算。

    几何：勾股定理及逆定理的应用。

 

［知识结构］

   

   

   

   

   

 

【典型例题】

  例1. 填空：

    （1）64的平方根___________

    （2）16的算术平方根___________

    （3）的立方根___________

    （4）125的立方根___________

    （5）的立方根___________

    （6）的平方根___________

    （7）若，则有___________

    （8）的倒数___________

    解：（1）±8；（2）4；（3）；（4）5；

        （5）；（6）；（7）；（8）。

 

  例2. 指出下列哪些数是有理数，哪些是无理数？

    ，0.373773777……

    解：有理数：

    无理数：

 

  例3. 当x为何实数时，下列各式在实数范围内有意义？

    （1）            （2）            （3）

    （4）           （5）

    （6）               （7）

    解：（1）；（2）；（3）且

    （4）x为任何数；（5）；

    （6）；（7）x为任意数。

 

  例4. 化简计算：

    （1）；（2）；（3）；

    （4）；（5）（m为正整数）；

    （6）；（7）

    （8）；（9）；

    （10）

    解：（1）

    （2）

    （3）

    （4）

    （5）

    （6）

                            

    （7）

    （8）

    （9）

    （10）

        

 

  例5. 如图，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，BD＝12，AD＝13，求：四边形。

    解：在中，

    在△ABD中，

    发现

    ∴∠ABD＝90°

   

               

 

【模拟试题】（答题时间：90分钟）

一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（每小题3分，共30分）

  1. 3的平方根是（    ）

    A.         B.           C. 9        D. ±9

  2. 在△ABC中，有一个角为直角的一半，另一个角为平角的，那么△ABC是（    ）

    A. 锐角三角形                    B. 等腰三角形

    C. 钝角三角形                    D. 直角三角形

  3. 下列各式变形正确的是（    ）

    A.                     B.

    C.          D.

  4. 国旗是一个国家的象征，观察下面的国旗，是轴对称图形的有（    ）

    A. 1个           B. 2个           C. 3个           D. 4个

  5. 下列多项式能因式分解的是（    ）

    A.                          B.

    C.                D.

  6. 下面说法中正确的是（    ）

    A. 无理数包括正无理数、零和负无理数

    B. 无理数是用根号表示的数

    C. 无理数是有理数开方开不尽的平方根

    D. 无理数是无限不循环小数

  7. 下列各组线段中，不能构成直角三角形的是（    ）

    A. 5，12，13               B.

    C. 4，7，5                          D.

  8. 已知，则x满足（    ）

    A.               B.               C.              D. 且

  9. 如图，在△ABC中，下列推理错误的个数有（    ）

    （1）∵AB＝AC，∠1＝∠2

    ∴AD⊥BC，BD＝DC

    （2）∵AB＝AC，AD⊥BC

    ∴∠1＝∠2，BD＝DC

    （3）∵AB＝AC，BD＝DC

    ∴∠1＝∠2，AD⊥BC

    （4）∵BD＝DC，AD＝AD

    ∴AD⊥BC，AB＝AC

    A. 0个           B. 1个           C. 2个           D. 3个

  10. 如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，则（    ）

    A. △ABD≌△AFD                    B. △AFE≌△ADC

    C. △AFE≌△DFC                     D. △ABC≌△ADE

 

二. 填空题：把答案填在题中的横线上（11～15题每小题2分，16题4分，共14分。）

  11. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，则第三边CA长的取值范围是____________。

  12. 在公式中，所有字母都表示正数，已知，则____________。

  13. 若是完全平方式，则m的值为____________。

  14. 已知时，分式无意义，时，此分式的值为零，则___________。

  15. 如图，已知△ABC中，∠B＝90°，∠C＝15°，DE垂直平分AC交BC于点E，若EC＝8，则BE的长为____________。

  16. 如图，已知OA＝a，P是射线ON上一动点（即点P可在ON上运动），∠AON＝60°。填空：

    （1）当OP＝_________时，△AOP为等边三角形；

    （2）当OP＝_________时，△AOP为直角三角形。

 

三. 化简计算：（每小题3分，共9分）

  17.

  18.

  19. 分母有理化

 

四. 作图题：（本题4分）

  20. 某小区有一块三条马路围成的三角形绿地（如图），准备在其中建一个小亭，供游人小憩。使小亭中心到三条马路的距离相等，试用尺规画出小亭的中心位置（不写作法，保留做图痕迹，写出结论）。

 

五. 计算题：（每小题5分，共15分）

  21.

  22. 先化简，再选一个你喜欢的数代入求值。

   

  23. 已知：如图，CF⊥AB于点F，∠A＝46°，∠B∶∠C＝3∶2，求∠EDC的度数。

 

六. 解下列方程：（每小题5分，共10分）

  24.

  25. （x是未知数，且）

 

七. 填空并证明：（本题5分）

  26. 如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是点R、S。若AQ＝PQ，PR＝PS，下面三个结论：

    （1）AS＝AR；（2）QP∥AR；（3）△BRP≌△CSP。

    正确的是__________________，并证明你的结论。

 

八. 列方程解应用题：（本题6分）

  27. 某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过，则每立方米收费2.9元，若每户每月用水超过，则超出部分每立方米收取较高的费用。1月份，张家用水量是李家用水量的，张家当月水费是34.5元，李家当月水费是54.5元。超出的部分每立方米收费多少元？

 

九. （本题7分）

  28. 已知：如图，△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ACB的平分线交AD于点F，交AB于点E，FG∥BC交AB于点G。

    （1）观察△AEF，若按边分类，它是哪一类三角形？并证明你的结论？

    （2）若AE＝3，AB＝8，求EG的长。

 

【试题答案】

一. 选择题。

  1. A            2. A               3. D               4. B               5. D

  6. D           7. C               8. B               9. B               10. D

二. 填空题。

  11.

  12.

  13. 7或

  14. 6

  15.

  16. （1）；（2）或

三. 化简计算。

  17. 解：原式

             

  18. 解：原式

  19. 解：原式

             

四. 作图题。

  20. 答：点P为两个角的角平分线的交点，因为三角形三条角平分线的交点到三边距离相等。

五. 计算题。

  21. 解：原式

             

  22. 解：原式

             

    即原式

    ∵且

    ∴选取0，2以外的数均可

    令，则

  23. 解：在Rt△BCF中，∠B＋∠C＝90°（直角三角形两锐角互余）

    又∠B∶∠C＝3∶2

   

    在△ABD中，

    ∠ADC＝∠A＋∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

           ＝46°＋54°

           ＝100°

    ∴∠EDC＝100°

六. 解下列方程。

  24. 解：

    方程两边同乘以，得：

   

    即

   

    检验：当时，

    是原方程的根

  25. 解：

    移项，得：

   

    即

七. 填空并证明：

  26. 正确的是：（1）（2）

    （1）证明：连结AP

    ∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR＝PS

    ∴∠1＝∠2（角平分线的判定定理）

    在Rt△APR和Rt△APS中

   

    ∴AR＝AS（全等三角形对应边相等）

    （2）在△APQ中，AQ＝PQ

    ∴∠2＝∠3（等边对等角）

    又∠1＝∠2

    ∴∠1＝∠3（等量代换）

    ∴QP∥AR（内错角相等，两直线平行）

八. 列方程解应用题：

  27. 解：设超出的部分每立方米收费x元

    如果每月用水，则水费应为（元）

    而

    则张家、李家用水都超过了

    张家用水量为：

    李家用水量为：

    则有

    两边同乘以3x解方程，得：

    检验：当时，

    ∴是原方程的根

    答：超出的部分每立方米收费4元。

九.

  28. 解：（1）△AEF为等腰三角形

    证明：在Rt△ADC中，∠3＋∠ACD＝90°（直角三角形两锐角互余）

    同理，在Rt△ABC中，∠B＋∠ACB＝90°

    ∴∠B＝∠3（等量代换）

    在△BCE中，∠AEF＝∠2＋∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

    在△ACF中，∠AFE＝∠1＋∠3（同上）

                        ＝∠1＋∠B

    又∠1＝∠2（角平分线定义）

    ∴∠AEF＝∠AFE（等量代换）

    ∴AE＝AF（等角对等边）

    ∴△AEF为等腰三角形

    （2）∵BC⊥AD，FG∥BC

    ∴FG⊥AD

    ∴∠AFG＝90°

    过点E作EH⊥BC于H

    则AE＝HE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）

    又AE＝AF，∴EH＝AF

    ∵FG∥BC，∴∠B＝∠4

    在Rt△AFG和Rt△EHB中

   

    ∴AG＝EB（全等三角形对应边相等）

    又AE＝3，AB＝8

    ∴EB＝5

    ∴AG＝5

   

    即EG＝2