新题型解析——应用性问题

新题型解析——应用性问题  

 新题型解析——应用性问题

 

    数学的应用是数学价值和功能的一种体现，它能培养数学意识，以解决实际问题为目标的应用性问题，是整个初中数学的重点和难点，也是近年来中考的热点。近年来应用性问题已不限于列方程（组）解应用题，而是在不断变化、发展。应用题的题意不断拓展，涉及的知识更加广泛，如列代数式、方程、不等式、函数、统计、几何、三角或是他们的综合。应用题的题型多样化，有选择题、填空题、作图题、解答题等。应用题突出考查运用数学知识分析和解决简单实际问题的能力，下面举例分析。

  1. 数与式应用题

  例1. 某原料供应商对购买其原料的顾客实行如下优惠办法：

    （1）一次购买金额不超过1万元，不予优惠；

    （2）一次购买金额超过1万元，但不超过3万元，给九折优惠；

    （3）一次购买超过3万元的，其中3万元九折优惠，超过3万元的部分八折优惠。

    某厂因库容原因，第一次在该供应商处购买原料付款7800元，第二次购买付款26100元，如果他是一次购买同样数量的原料，可少付金额为（    ）

    A. 1460元                    B. 1540元                    C. 1560元                    D. 2000元

    分析：第一次在该供应商处购买7800元原料，没有优惠；第二次购买付款26100元实际上是九折优惠，所以两次购买的原料若没有优惠，则应付款7800＋26100÷90％＝36800（元）。

    若一次购买同样重量的原料，按优惠办法（3），应付款30000×90％＋6800×80％＝27000＋5440＝32440（元），可少付金额（7800＋26100）－32440＝1460（元）。所以选A。

 

  例2. 随着通讯市场竞争日益激烈。某通讯公司的手机市话收费标准按原标准每分钟降低了a元后，再次下调了25％，现在的收费标准是每分钟b元，则原收费标准每分钟为（    ）

    A. 元                   B. 元

    C. 元                   D. 元

    分析：原收费标准每分钟为元，所以选D。

 

  2. 方程（组）型应用题

  例3. （1）据2001年中国环境状况公报，我国由水蚀和风蚀造成的水土流失面积达356万平方公里，其中风蚀造成的水土流失面积比水蚀造成的水土流失面积多26万平方公里。问水蚀与风蚀造成的水土流失面积各多少万平方公里？

    （2）某省重视治理水土流失问题，2001年治理了水土流失面积400平方公里，该省逐年加大治理力度，计划今明两年每年治理水土流失面积都比前一年增长一个相同的百分数，到2003年底，使这三年治理的水土流失面积达到1324平方公里，求该省今明两年治理水土流失面积每年增长的百分数。

    解：（1）设水蚀造成的水土流失面积为x万平方公里，则风蚀造成的水土流失面积为万平方公里。

    依题意，得

    解这个方程，得

   

    答：水蚀与风蚀造成的水土流失面积分别为165万平方公里和191万平方公里。

    （2）设该省今明两年治理水土流失面积每年增长的百分数为x

    依题意，得

    整理，得

    解得

    不合题意，所以只能取

    答：平均每年增长的百分数为10％。

    说明：本题是结合当前社会关注的热点问题–––环保问题设计的题组，寓德育于教学之中。解好本题的关键是认真阅读理解题意，特别是一些关键词语，剖析基本的数量关系，列方程（组）来解决。

 

  例4. 某电厂规定：该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A度，那么这个月这户只要交10元用电费。如果超过A度，则这个月除了仍要交10元用电费外，超过部分还要按每度元交费。

    （1）该厂某户居民2月份用电90度，超过了规定的A度，则超过部分应交电费__________元（用A表示）。

    （2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况：

    根据上表的数据，求电厂规定A度为多少？

    分析：本题是源于现实生活中的经济问题，情景熟悉。但问题有障碍，不能直接看出问题的答案，必须认真阅读和思考。

    问题（1）较简单，超过部分应交电费。问题（2），从表中看到，，根据3月份用电80度，交电费25元，可列出方程：

   

    整理，得

    解得

    但，不合题意舍去，

    解略。

 

  例5. 某人用1000元人民币购买一年期的甲种债券，到期后兑换为人民币并将所得利息购买一年期的乙种债券。若乙种债券年利率比甲种债券低2个百分点，到期后某人的乙种债券可兑换人民币108元，求甲种债券的利率。

    分析：利息＝本金×利率×存期，本息＝本金＋利息

    甲种债券利息×（1＋乙种债券利率×存期）＝108

    解：设甲种债券的年利率为x，依题意，甲种债券的利息为1000x元，乙种债券的年利率为，则

    整理，得

   

    解得，（舍）

    答：甲种债券的年利率为10％。

 

  3. 不等式型应用题

  例6. 某企业为了适应市场经济的需要，决定进行人员结构调整，该企业现有生产性企业人员100人，平均每人全年可创造产值a元，现欲从中分流出x人去从事服务性行业，假设分流后，继续从事生产性行业的人员平均每人全年创造产值可增加20％，而分流从事服务性行业的人员平均每年可创造产值3.5a元，如果要保证分流后，该厂生产性行业的全年总产值不少于分流前生产性行业的全年总产值，而服务性行业的全年总产值不少于分流前生产性行业的全年总产值的一半，试确定分流后从事服务性行业的人数。

    分析：本题利用所学的知识来研究企业人员结构调整所引起产值利润的变化问题，为了便于掌握题中的数量关系，不妨列表分析：

    然后抓住题中的两个“不少于”，建立不等式组的数学模型。

    解：依题意，得

    解这个不等式组，得

    x为正整数

    取值为15，16

    答：从事服务性行业的人员为15人或16人。

    说明：本题是将实际问题抽象为不等式组的数学模型，通过解不等式组，得到实际问题的解答。需要注意的是，由数学模型不等式组得到的是实数解集，但回归到实际问题中，x只能取正整数。另外，解题时注意抓住题目中的关键字，如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等，理解其含意才能正确列出不等式组。

 

  4. 函数型应用题

  例7. 某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超规定，则需要购买行李票，行李票费用y（元）是行李重量x（公斤）的一次函数，其图象如图所示。

    求：（1）y与x之间的函数关系式；

    （2）旅客最多可免费携带行李的公斤数。

    分析：现实生活中，图象是获取信息的重要来源之一。本题将有关信息由图象给出，应通过读图获取所需信息。

    解：（1）设一次函数解析式为

    当x＝60时，y＝6；当x＝80时，y＝10

   

    解得

   

    （2）当y＝0时，

   

    旅客最多可免费携带30公斤行李。

 

  例8. 现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，使用B型车厢每节费用为8000元。

    （1）设运送这批货物的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写出y与x之间的函数关系式；

    （2）如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？

    （3）在上述方案中，哪个方案运费最省？最少运费为多少元？

    解：（1）设用A型车厢x节，则用B型车厢（40－x）节，总运费为y万元。

    依题意，得

   

    （2）依题意，得

   

    化简，得

   

   

    取整数，故A型车厢可用24节或25节或26节，相应有三种装车方案：①24节A型车厢和16节B型车厢；②25节A型车厢和15节B型车厢；③26节A型车厢和14节B型车厢。

    （3）由函数知，x越大，y越小，故当x＝26时，运费最省。这时（万元）

    答：安排A型车厢26节、B型车厢14节运费最省。最少运费为26.8万元。

    说明：对于一次函数性质的应用，已是中考中的常见题型，但本题是一次函数性质应用与不等式的综合题，是考查我们思维品质的新题型。

 

  例9. 一辆卡车要通过跨度为8米，拱高为4米的抛物线型隧道，车从隧道正中通过，为保证安全，车顶到隧道顶部的距离至少要0.5米，若卡车宽为1.6米，则卡车的限高为多少米？

    分析：首先要找出抛物线的解析式，其次计算宽为1.6米时，高为多少，再减去安全距离0.5米，即得限高。

    解：如图，在隧道的直截面中，以抛物线顶点到地面的垂线为y轴，地平面为x轴建立直角坐标系。

    依题意，抛物线通过（－4，0）、（4，0）、（0，4）三点，且以（0，4）为顶点

    设抛物线的解析式为，将（4，0）代入得

    抛物线的解析式为

    设AB为卡车底部的宽，则A、B的坐标分别为（－0.8，0）、（0.8，0）

    作轴，轴，分别交抛物线于D和C

    则

    遂道顶至少高车顶部0.5米。

   

    答：卡车的高度不能超过3.34米。

 

  5. 统计初步应用题

  例10. 某公司销售部有销售人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月销售量如下：

    （1）求这15位营销人员该月销售量的平均数、中位数和众数；

    （2）假设销售部负责人把每位营销员的月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较合理的销售定额，并说明理由。

    分析：平均数、众数、中位数是显示一组数据集中趋势的特征数，求一组数据的平均数时，应根据这组数据的特点，选择适当公式，以便计算简便。第（2）问是用统计的知识分析和解决实际问题。320件是否合理，应考虑销售人员的一般水平。

    解：（1）平均数为：

    （件）；

    中位数为210（件）

    众数为210（件）

    （2）不合理。

   因为15人中有13人的销售额达不到320件，320件虽是所给一组数据的平均数，它却不能反映营销人员的一般水平。

    销售额定为210件合适一些，因为210既是中位数，又是众数，是大部分人能达到的定额。

 

  6. 几何应用题

  例11. 某居民小区搞绿化，要在一块矩形空地（如图）上建花坛，现征集设计方案。要求设计的图案由圆和正方形组成（圆与正方形的个数不限），并且使整个矩形场地成轴对称图形。请在下边矩形中画出你的设计方案。

    分析：这是一道联系实际的作图题，结合小区搞绿化，征集花坛的设计方案。这又是一个开放性问题，答案不唯一，只要根据矩形、圆、正方形的轴对称性，合理的安排，使整个图形成轴对称图形即可。下面给出四个设计方案（如图）（a）（b）（c）（d）供参考。

 

  例12. 如图，有一修路大队要修一段圆弧形的弯道，它的半径R是36m，圆弧所对的圆心角是，求这段弯道的长（精确到0.1m，）

    解：根据弧长公式，

    答：这段弯道的长约为37.7m。

 

  例13. 如图，在高2米，坡角为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米？（精确到0.1米）？

    分析：这是一个日常生活中的实际问题。观察图形可以发现，楼梯表面铺设地毯的长度至少应等于一个锐角为，其所对直角边长为2米的直角三角形两条直角边的长度之和。解此直角三角形，可求得

    两直角边长度之和

                 

    地毯的长度至少需要5.5（米）。

    解略。

 

  例14. 由于过度采伐森林和破坏植被，使我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭。近日，A市气象局测得沙尘暴中心在A市的正西方向300千米的B处，以千米/时的速度向南偏东的BF方向移动（如图），跟沙尘暴中心200千米的范围是受沙尘暴严重影响的区域。

    （1）通过计算说明A市必然会受到这次沙尘暴的影响；

    （2）计算A市受沙尘暴影响的时间。

    分析：这是一个有关环保、生态的实际问题，根据题意，把这个问题转化为几何问题是很自然的。

    沙尘暴中心在沿BF方向移动的过程中，若其与A市的距离在200千米内，则A市必然会受到这次沙尘暴的影响。换个角度来说，以A市所在位置为圆心，以200千米为半径画圆（如图），若此圆与BF有交点，即沙尘暴中心在移动过程中与A市的距离会小于或等于200千米。所以问题就转化为判断⊙A与射线BF的位置关系。判断圆与直线的位置关系，常用的一个方法就是求圆心到直线的距离，所以问题就转化为通过计算说明A到BF的距离小于或等于200千米。

    解：（1）如图，过点A作，垂足为M

    在中，（千米）

    （千米）

    A市到沙尘暴移动路线的距离小于200千米

    A市必然会受到这次沙尘暴的影响。

    （2）以A为圆心，200（千米）为半径画圆，交BF于C、D两点（如图），连结AC、AD

    在中，AC＝200，AM＝150

    由勾股定理，得

   

   

    沙尘暴中心移动速度为（千米/时）

    又

    A市受沙尘暴影响的时间为10小时。

    由以上几例看出，解应用性数学问题，关键是将实际问题中内在的、本质的联系，抽象、转化为数学问题，进而建立数学模型，通过对数学问题的求解，得出实际问题的答案。解题程序可用下图表示：

 

【模拟试题】（答题时间：60分钟）

一. 填空题

  1. 国家规定个人发表文章、出版著作所获稿费应纳税，其计算方法：（1）稿费不高于800元不纳税；（2）稿费高于800元，但不高于4000元应缴纳超过800元的那一部分的14％的税；（3）稿费高于4000元应缴纳全部稿费的11％的税，今知王教授出版一本著作获得一笔稿费，他缴纳了550元的税，王教授的这笔稿费是____________元。

  2. 某地向北京打长途电话，设通电时间x（分），需付电话费y（元），通话3分钟以内话费为3.6元，请你根据图中y随x变化的图象，找出通话5分钟，需付电话费_________元。

  3. 某单位准备和一家个体车主或一国营出租车公司签订月租车合同，设汽车每月行驶x千米，应付给个体车主的月费用是y₁元，应付给出租车公司的月费用是y₂元，y₁、y₂分别与x之间的函数关系图象（两条射线）如图，观察图象回答下列问题：

    （1）每月行驶的路程在_________千米范围内，租国营公司的车合算？

    （2）每月行驶的路程是__________千米时，租两家车的费用相同？

    （3）如果这家单位估计每月行驶的路程为2300千米，那么这个单位租____________车合算。

  4. 如图，观察硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度，当温度为40℃时，_________的溶解度大于_____________的溶解度。

  5. 光线以如图所示的角度照射到平面镜I上，然后在平面镜I、II之间来回反射。已知，，则_________

  6. 在某地震多发地区有互相垂直的两条交通主干线，以这两条主干线为轴建立直角坐标系，长度单位为100km，地震临测部门预报该地区将有一次地震发生，震中位置为（－1，2），影响范围的半径为300km，则下列主干线沿线的6个城市在地震影响范围内的有____________。

    主干线沿线的6个城市为：

    A. （0，－1）                           B. （0，2.5）

    C. （1.24，0）                          D. （－0.5，0）

    E. （1.2，0）                            F. （－3.22，0）

    参考数据：

  7. In the figure（图形）1, suppose that an arch（拱形门）is shaped like a parabola（抛物线）. It is 40 feet wide at the base and 25 feet high. How wide is the arch 16 feet above the ground? Answer : ____________ feet.

    （译文：如图，假定一拱门形状是抛物线，底部宽40英尺，高25英尺，试问：离地面16英尺处拱门有多宽？答：____________英尺）。

 

二. 选择题

  8. 随着通讯市场竞争日异激烈，某通讯公司的手机市场收费标准按原标准每分钟降低了a元后，再次下调了25％，现在的收费标准是每分钟b元，则原收费标准每分钟为（    ）

    A. （）元                            B. 元

    C. 元                          D. 元

  9. 受季节影响，某种商品每件按原售价降价10％后，又降价a元，现在每件售价为b元，那么该商品每件的原售价为（    ）

    A.                               B.

    C.                               D.

  10. 一家三人（父亲、母亲、女儿）准备参加旅游，甲旅行社告知：“父母买全票，女儿按半价优惠”，乙旅行社告知：“家庭旅游可按团体票计价，即每人均按全价的收费”，若这两家旅行社每人的原票价相同，那么优惠情况是（    ）

    A. 甲比乙更优惠                       B. 乙比甲更优惠

    C. 甲与乙相同                           D. 与原票价有关

  11. 我们知道，溶液的酸碱度由pH确定。当pH>7时，溶液呈碱性；当pH<7时，溶液呈酸性。若将给定的盐酸加水稀释，那么在下图中，能反映盐酸的pH与所加水的体积（V）的变化关系的是（    ）

  12. 在某一电路中，若电压保持不变，电流I与电阻R成反比例关系。当电阻R＝100时，电流，则I关于R的函数关系是（    ）

    A.

    B.

    C.

    D.

  13. 一个圆台形物体的上底面积是下底面积的，如图放在桌面上，对桌面的压强是200帕，翻过来放，对桌面的压强是（    ）

    A. 50帕                       B. 80帕                C. 600帕                            D. 800帕

  14. 某种细菌在培养过程中，细菌每半小时分裂一次（由一个分裂为两个），经过两小时，这种细菌由1个可以分裂繁殖成（    ）

    A. 8个                  B. 16个                C. 4个                  D. 32个

  15. 两个受力面积分别为S_A（米²），S_B（米²）（S_A，S_B为常数）的物体A，B，它们所受压强P（帕）与压力F（牛）的函数关系图像分别是射线，，如图所示，则（    ）

    A.                                      B.

    C.                                      D.

  16. 如图，天平右盘中每个砝码的重量都是1g，则图中显示出某药品A重量（    ）

    A. 大于2g                                 B. 小于3g

    C. 大于2g且小于3g                 D. 大于2g或小于3g

  17. 一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，当重物上升10cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为（    ）（假设绳索与滑轮之间没有滑动，取3.14，结果精确到1°）

    A. 115°                             B. 60°

    C. 57°                               D. 29°

 

三. 解答题

  18. 在压力不变的情况下，某物体承受的压强P（Pa）是它的受力面积S（m²）的反比例函数，其图象如图所示：

    （1）求P与S之间的函数关系式；

    （2）求当时物体承受的压强P。

  19. 计算机存储容量的基本单位是字节，用B表示，计算机中一般用KB（千字节）或MB（兆字节）或GB（吉字节）作为存储容量的计量单位，它们之间的关系为，，。一款电脑的硬盘存储量为20GB，它相当于多少KB?（结果用科学计数法表示，并保留三个有效数字）

  20. 已知金属棒的长度是温度t的一次函数。现有一根金属棒，在0℃时的长度是200cm，温度每升高1℃，它就伸长0.002cm。

    （1）求这根金属棒的长度与温度t的函数关系式；

    （2）当温度为100℃时，求这根金属棒的长度；

    （3）当这根金属棒加热后长度伸长到201.6cm时，求金属棒的温度。

  21. 某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时时血液中含药量最高，达到每毫升6微克（1微克＝10^－3毫克），接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）的变化如图所示。

    当成人按规定剂量服药后

    （1）分析求出和时y与x之间的函数关系式。

    （2）如果每毫升血液中含药量在4微克或4微克以上时治疗疾病是有效的，那么这个有效时间是多长？

【试题答案】

一. 填空

  1. 500         2. 6         3. （1）小于1500；（2）1500；（3）个体车主

  4. 硝酸钾，氯化铵          5. 40°

  6. B、D、E、F城市受影响

  7. 24

二. 选择

  8. D                  9. A               10. B                     11. C                    12. C

  13. D                 14. B              15. C                    16. C                    17. C

三. 解答

  18. ，P＝200（Pa）

  19.

  20. （1）；（2）200.2m；（3）t＝800℃

  21. （1）当时，；当时，

    （2）有效时间为6小时。

 

【励志故事】

疼痛是个好消息

扮演“超人”的克里斯多弗·里夫，在一九九五年的一次坠马中，伤势严重，导致颈部以下全部瘫痪。三年来，他凭着坚强的意志，与死神作着不懈的抗争。

经过一年的知觉训练，他脊椎末端的神经又恢复了知觉。他说，现在碰它一下，就有疼痛的感觉，但这疼痛的感觉很舒服，“请相信我说的全是真的。”

大多时候，疼痛是一种痛苦，但“超人”这回的痛，是生命的一道光亮。人有一种可贵的智慧，便是给每一种现象赋以意义。西班牙和美国心理学家在一九九二年巴塞罗那奥运会田径比赛场上，用摄像机拍摄了二十名银牌获得者和十五名铜牌获得者的情绪反应。心理学家们发现，在冲刺之后和在颁奖台上，“第三名”看上去比“第二名”更高兴。

研究人员分析认为：因为铜牌获得者通常不是期望值很高的人，获得铜牌已经很高兴了：而银牌得主往往是冲着金牌而来的，因此就会为没有夺得金牌而感到难过。确实，在领奖后采访获奖运动员时，许多亚军都伤心地说：差一点就成了冠军。而季军获得者也许会说：差一点就名落孙山。

你是否会成为情绪的主人，关键在于你站在什么位置上看问题。只要你能确立好自己的位置，就没有一件坏事能靠近你。