每周一招[5]lnx三板斧之“清君侧”（高二）小编的话 自然对数lnx在高一时很不“自然”，但到高二学习导数时就完全不同了，因为(lnx)′=1x. 自然对数是导数相关的问题中常见的函数组成部分，从这期开始，我们介绍处理lnx的三板斧——清君侧（让lnx静静）、偷天换日（利用对数的运算性质换元）与毁尸灭迹（将lnx放缩成其它函数，彻底消灭它），这三招处理lnx非常有效，思路总结及三板斧名称来自意琦行． 设函数f(x)为可导函数，则有(f(x)?lnx)′=f′(x)lnx+f(x)?1x. 这就意味着如果f(x)不为常函数，那么求导所得的式子中含有lnx，这样往往使问题需要多次求导才能解决，处理这类函数的一个有效方法就是将lnx前面的部分提出，然后研究剩余部分对应的函数，这种技巧形象的解释就是“清君侧”． 例题一 已知函数f(x)=xlnx，若f(x)?ax2+2a(a≠0)在(0,+∞)上恒成立，求a的最小值．
分析 直接移项需要处理函数F(x)=xlnx?ax2?2a，它的导函数F′(x)=lnx+1?2ax, 从它入手去研究F(x)的最小值有点复杂．为了避免求导后出现lnx，可以尝试先“清除”函数lnx前面的因式再求导． 解 设F(x)=f(x)?ax2?2a=x(lnx?ax?2ax), F(x)的定义域为(0,+∞)，令g(x)=lnx?ax?2ax(a≠0). 则题目条件等价于g(x)?0恒成立，即g(x)min?0. 对g(x)求导得g′(x)=?a2(x+1a)(x?2a)ax2. ①当a>0时，g(1)=?a?2a0，不满足题意； ②当a0时，g(x)在(0,?1a)上单调递减，在(?1a,+∞)上单调递增，于是g(x)min=g(?1a)?0, 解得?e3?a0. 综上，a的最小值为?e3． 例题二 若不等式lnxx+1+1x>lnxx?1+kx 在x>0且x≠1时恒成立，求k的取值范围． 分析与解 首先处理不等式，原不等式等价于lnxx+1+1x?lnxx?1?kx>0, 整理得?2x2?1?lnx+1?kx>0, 提因式，有?1x2?1?[2lnx+(k?1)(x?1x)]>0. 设f(x)=2lnx+(k?1)?(x?1x), 则题中不等式等价于(?0x1,f(x)>0)∧(?x>1,f(x)0).?(?) 通过求导研究函数f(x)，有f′(x)=1x2?[(k?1)x2+2x+k?1], 注意到f(1)=0，所以有f′(1)?0，解得k?0． 于是以0,1为分界点对k进行讨论： ①当k?0时，(k?1)x2+2x+k?1?0恒成立，即f′(x)?0，f(x)单调递减，满足题意； ②当k?1时，f′(x)?0，f(x)单调递增，不符合题意； ③当0k1时，分子对应的二次函数有零点x1,x2（令x1x2），因为x1x2=1，所以有0x11x2，于是f(x)在(x1,1)上单调递增，此时f(x)f(1)=0，不符合题意； 综上知k的取值范围为(?∞,0]． 注 本题是2011年高考新课标II卷压轴题，见每日一题[49]分离对数函数． 最后给出一道练习： 判断函数f(x)=lnxx?x+1的零点个数． 答案 f(x)有且仅有一个零点1． 提示 考虑函数h(x)=lnx?x2+x, 的零点即可． 注 在每周一招[4]恒成立问题中的端点分析的例题二中，就是首先使用了“清君侧”这一手段，使研究的函数更加简便．更多“清君侧”相关的问题见每日一题[307]清君侧，靖国难． 在本文的例题二中通过对x=1处的导数值的正负分析得到参数讨论的分界点，这是上周的端点分析的一般情况：即通过判断函数值相等的地方导函数的值的正负缩小参数的范围． 相关文章关于数海拾贝“数海拾贝”由中国最顶尖的高中数学教研老师兰琦和金叶梅主编。第一个栏目《每日一题》，每天精选一道高中数学好题，从破题的思路，图文并茂的讲解到精辟到位的总结，同学们每天只要花上10分钟认真阅读和思考，一定能在两三个月获得明显的进步，在高考中取得好成绩。 觉得有意思？微信扫描二维码，关注我们吧！ |
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