先探寻充分条件　再证其为必要条件

先探寻充分条件　再证其为必要条件

──例谈一类不等式恒成立参数取值范围问题的统一解法

湖北省阳新县高级中学　邹生书

笔者在研究有关函数不等式恒成立求参数取值范围的问题时，发现其中一类问题倍受命题者特别是全国卷命题人的青睐，在06年到10 年这五年高考中就有四年对这类问题进行考查并且是作为压轴题进行考查。这类问题不能用常用方法转化为最值问题或函数取值范围问题来解，因为这类问题往往受知识限制无法求出最值或取值范围。因而解决这类问题必需另辟蹊径，不能一条路走到黑，否则将无功而返，要求解法突破常规，问题解决具有挑战性和探索性，对考生能力方面的要求较高。笔者通过解题实践找到了一个高中学生能理解、易接受可操作的一种解法：先探寻充分条件，再证其为必要条件。

 

例1（湖北稳派教育新课改革2011年5月高二年级摸底考试理科数学第21题）已知函数。（Ⅰ）当时，求的最小值；（Ⅱ）若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围；（Ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。

 

本题第三问就是不等式恒成立求参数取值范围的问题，本问难度较大与下文中的几道高考题不仅难度相当，而且解法惊人相似同出一辙（相对笔者解法而言）。先看第三问命题组给出的参考答案。

 

解法1（参考答案）恒成立，即恒成立，即恒成立。

 

当时，不等式显然成立。

 

当时，，所以，所以，于是在时恒成立。令，即求的最小值。设，则，且两点在的图象上，又，故，所以，故，即实数的取值范围是。

 

点评  本解法需要过两道难关，第一关是“开局关”，通过构造、联想、数形结合，将问题转化为函数图象上两点的斜率的取值范围问题；第二关是“收局关”，数形结合将两点的斜率与导数的几何意义沟通，从而将求斜率的取值范围问题转化为导数的取值范围问题。下面请看笔者给出的解法。

 

解法2（先探寻充分条件，再证其为必要条件）当时，不等式恒成立，即恒成立，也就是恒成立。

 

因为。令恒成立得，

 

恒成立，即恒成立，所以。于是当时，，所以在上单调递增，所以。此即表明“”是“当时，不等式恒成立”的充分条件。下证“”是“当时，不等式恒成立”的必要条件。

 

当，时，令得， ，解得。因为当时，；当时，，所以，即存在使得，这与“当时，不等式恒成立”矛盾。由此知，当，时，不等式不恒成立，故“”是“当时，不等式恒成立”的必要条件。

 

综上所述，“”是“当时，不等式恒成立”的充要条件，故所求实数的取值范围是。

 

下面我们用“先探寻充分条件，再证其为必要条件”的方法再来解几道高考题。

 

例2（2006全国卷Ⅱ第20题）设函数。若对所有的，都有成立，求实数的取值范围。

 

解  设，则问题等价于，当时，恒成立。注意到，于是要不等式成立，只需在上单调递增即可，只需在上恒成立。只需，又在上递增，故当即时，恒成立。下证这个条件是必要的。

 

当时，，而在上递增，故有唯一零点设为，则当时，，即在上单调递减。所以当时，这与恒成立矛盾。

 

综上可知，所求实数的取值范围是。            

 

其实我们并不需要求出的正零点，甚至有没有零点都不需要关心。我们的目标是：当时，在不恒成立。因此我们只需在内找到一个小区间，使得即可。故有如下解法：

 

当时，，所以必存在某个正数，使得当时，，即在上单调递减，所以这与恒成立矛盾。

 

例3（2008全国卷Ⅱ第22题）设函数。（1）求的单调区间；（2）如果对任何的，都有成立，求实数的取值范围。

 

解（2） 设，则问题等价于当时，恒成立。注意到，于是要不等式成立，只需在上单调递减即可，只需在上恒成立，只需。又

 

，设，则，所以，所以。

 

而当时，因，所以必存在某个正数，使得当时，。于是当时，在上单调递增，则这与恒成立矛盾。

 

综上可知，所求实数的取值范围是。

 

例4（2007全国卷Ⅰ第20题）设函数。（1）；证明的导数；（2）若对所有的，都有成立，求实数的取值范围。

 

解（2）设，则问题等价于，当时，恒成立。注意到，于是要不等式成立，只需在上单调递增，只需在上恒成立。做到这一步我们还不能判断的单调性，注意到在上单调递增，所以，所以要在上递增，只需即。故当时恒成立。

 

同例1可证时不恒成立，故是所求不等式恒成立的充要条件，故所求实数的取值范围是。

 

例5（2010年新课标全国卷第21题）设函数。（1）当时，求的单调区间；（2）若当时，，求的取值范围。

 

解（2）考虑到，所以当时，要只需在时单调递增，只需恒成立。又因为，则只需在时单调递增即可，只需恒成立。而在单调递增，故只需，即即可。

 

同例1可证也是成立的必要条件，故的取值范围是。

 

例6（2009年高考陕西卷理科第20题）已知函数，其中。（1）若在处取得极值，求的值；（2）求的单调区间；（3）若的最小值为，求的取值范围。

 

解（3）当时，的最小值为，即恒成立，也即，变形得恒成立。注意到，要不等式成立则只需在时单调递减，即恒成立。又因，所以在时单调递减，所以，故。

 

同例2可证是恒成立的必要条件，故所求实数的取值范围是。

 

例7（2010年全国卷Ⅱ第22题）设函数。（1）证明：当时，；（2）设当时，，求的取值范围。

 

解（2）当时，则，若，则，而为增函数，所以当时，，所以，这与恒成立矛盾，故不合。

 

当时，等价于，即，因为，所以只需在上单调递减即可，即在上恒成立。因为，只需在上恒成立。即在上恒成立，只需即，所以。

 

同例2可证当时，不恒成立，即也是恒成立的必要条件，故的取值范围是。

 

综上7例可知，这类参数取值范围问题都可最终等价转化为如下问题：

 

已知含参数的函数在上可导，且，求当时，（或）恒成立，求实数的取值范围。

 

解决这类问题的核心步骤是：先探寻充分条件，再证其为必要条件。

 

以恒成立为例，在寻找充分条件时，执行如下解题步骤：第一步，因为，当时，要恒成立，只要在上单调递增，即在恒成立即可；第二步，若单调递增，则令求出的取值范围，这个取值范围就是不等式成立的充分条件。否则，把当作返回第一步。一般不超过两次求导便可知其导数的单调性，当我们能确定导数的单调性的时候也就等于看到了胜利的曙光。

 

最后一步是证明上述所得到的充分条件也是不等式恒成立的必要条件，只要证当参数不在这个范围内时所证不等式不恒成立，从而只要找出一个子区间，使所证不等式在此区间内不成立即可。真是无巧不成书，探求出来的充分条件恰为必要条件，这也可能是该类题目倍受命题人青睐的一个重要原因，同时也是这类问题得以解决的契机之所在题目亮点之所在。

2011-08-09  人教网