函数单调性问题的求解思路

一. 掌握几种常见函数的单调性，会求复合函数的单调区间

    复习过程中要熟练掌握几种常见函数（如一次函数、二次函数、反比例函数、指、对数函数及三角函数）的单调性，并能利用复合函数单调性的性质求解复合函数的单调性问题。

    例1. 已知，如果，那么（    ）

    A. 在区间（-1，0）上是减函数

    B. 在区间（0，1）上是减函数

    C. 在区间（-2，0）上是增函数

    D. 在区间（0，2）上是增函数

    解：函数是由和复合而成的。

    又在上递减，在上递增；

    上为减函数，在上为增函数。

    当时，得

    当时，得或

    由此可得，函数在或时为减函数

    函数在或时，为增函数

    故选（A）

    本题是有关二次函数的复合函数确定单调区间问题，要求会利用复合函数的单调性来研究简单复合函数的单调性的问题。复合函数单调性的判定法则是，若与同是增（减）函数，则在其定义域上是增函数；若是一增一减函数，则在其定义域上是减函数。上述法则可简述为：同增异减。

 

二. 利用函数的图象求解

    例2. 指出函数的单调区间。

    解：作出函数的图象。

    根据图象可得，函数在以及上为增函数；

    在以及上为减函数

图1

 

三. 利用函数单调性的定义

    例3. 求函数在上的单调区间。

    解：任取，则

    

    因为

    所以

    若函数为增函数，则

    

    所以

    因为

    所以，故

    同理，若为减函数，则

    因此，当时，函数为增函数

    当时，函数为减函数

    从定义出发，利用定义解题是数学解题的一个基本出发点。本题从函数单调性的定义出发，把求字母a的取值范围的问题，转化为恒成立的问题来加以求解，同时得出了很重要的分式函数的单调区间。利用此结论，我们可以研究此类分式函数在某个区间上的最值问题。

 

四. 利用导数求解

    例4. 已知函数在上为单调增函数，求a的取值范围。

    解：因为在上为单调增函数

    所以在上恒成立

    即恒成立

    即恒成立

    因为，所以

    说明：导数是高中数学和高等数学的连接点，是高中教材新增加的内容，许多高次函数、分式函数以及无理函数的单调区间和最值问题的研究都离不开导数，因此不可忽视导数在函数中的作用。例1若用导数解则更简便，由得函数的增区间为及；由得减区间为及。很快就能确定答案为（A）。由此可以看出，导数在单调区间的求解方面有着很大的优势。

 

    例5. 已知函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围。

    解法1：利用例3中的结论。

    函数在上为减函数，在上为增函数。

    由题知，该函数在上是减函数

    所以，得

    解法2：利用函数的单调性的定义。

    任取，则

    

    因为

    所以且

    因为在上为增函数

    所以恒成立

    所以恒成立

    因为，所以，得

    解法3：利用导数

    因为

    所以

    因为在上为减函数，所以对恒成立

    即对恒成立

    因为当时，

    所以

    说明：本题从三个不同角度对问题作出了解答，不同的方法各有巧妙，突出了不同知识在解题中的作用。通过此问题的求解可加强各知识间的联系，提高对所学知识的全面认识。

 

    例6. 设，求函数的单调区间。

    解：求导数得：

    

    当时

    

    （1）当时，对所有，有

    

    即

    此时在内单调递增

    （2）当，对，有

    即

    此时在（0，1）内单调递增，在内单调递增

    又知函数在处连续，因此，函数在内单调递增

    （3）当时，令

    即

    解得或

    因此，函数在区间内单调递增

    在区间内也单调递增

    令，即

    解得

    因此，函数在区间内单调递减

    本题主要考查导数在求函数单调区间方面的应用，对求导公式及复合函数的求导有一定的要求，对考生分类讨论思想和等价转换思想有较高要求。